第三章随机变量的数字特征

1、第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理3.13.1数学期望数学期望一一. .数学期望的定义数学期望的定义例例1 设某班设某班40名学生的概率统计成绩及得分名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：人数如下表所示： 分数分数 40 60 70 80 90 100 人数人数 1 6 9 15 7 2则学生的平均成绩是总分则学生的平均成绩是总分总人数总人数(分分)。即。即)( 5 .7627159611002907801570960

2、6401分 定义定义 1. 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称1|kkkpxnkkkpxXE1)( 定义定义 2. (p73)若XPX=xk=pk, k=1,2,且 为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。，则称.)(1kkkpxXE为r.v.X的数学期望例例2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的数学期望。的数学期望。2761)(61ikXE定义定义 3 若若Xf(x), - x0)a0)dyaeyYEaby12)(22dxebaxx222baeaby12122定理定理2 若Xf(x), -x, 则Y=g(X)的期望 .dx)x( f

3、 )x(g)X(gE)Y(E推论推论 若若(X, Y) f (x, y), - x , - y0,DY0，则DYDX)Y,Xcov(XY 称为X与Y的相关系数相关系数. 注：注：若记若记DX)X(EXX* 称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且).(),cov(*YXEYXXY2.相关系数的性质相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1； (3) X与Y不相关 XY=0;1.设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0y0, 使得1|XX|Plimnn 则称Xn依概率收敛依概率收敛于于X. 可记为可记为.XXPn切比雪夫不等式切

4、比雪夫不等式aXPn如如意思是意思是:当当aaanXaXn而而意思是意思是:0, 0n|aXnn时时,Xn落在落在),(aa内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当00,nnn0nn 二二.几个常用的大数定律几个常用的大数定律1.切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则PnkknXnY11即若任给0, 使得1|limnnYP证明证明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式.)(1| )(|2nnnYDYEYP这里这里nkknXEnYE1)(1)(nXDnYDnkkn212)(1)(.1|22nYPn故故1|limnnYP2.伯努

5、里伯努里大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，记，记fn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的频发生的频率，则率，则npfpn证明证明:设设01iX第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则)1 ()(,)(ppXDpXEii由切由切比雪夫大数定理比雪夫大数定理pnXfPniin 13. 辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk,k=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列, EXk= , k=1, 2, 则则PnkknXnY11推论推论:若若Xi,i=1.2,

6、.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列, E(X1k)= , 则则)(111kPnikiXEXn3.6.3. 中心极限定理中心极限定理一一.依分布收敛依分布收敛 设设Xn为随机变量序列，为随机变量序列，X为随机变量，其为随机变量，其对应的分布函数分别为对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在若在F(x)的的连续点，有连续点，有),x(F)x(Flimnn 则称则称Xn依分布收敛依分布收敛于于X. 可记为可记为.XXwn.),1, 0(.,1*满足中心极限定理则称的标准化若现令nnkwnnknXNYvrYXY二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理1.独立同分布独

7、立同分布中心极限定理中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk= ，DXk= 2 ，k=1, 2, , 则则Xn满满足中心极限足中心极限定理。定理。根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时)(1nnxxXpnii例例1.1.将一颗骰子连掷将一颗骰子连掷100100次，则点数之和不少于次，则点数之和不少于500500的概率是多少？的概率是多少？解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中

8、心极限定理由中心极限定理1235102710050015001001iiXP0)78. 8(1设随机变量设随机变量 n(n=1, 2, .)服从参数为服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则的二项分布，则).1, 0( Nnpqnpwn2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)证明证明:设设01iX第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则niiniiXppXDpXE1),1 ()(,)(由中心极限定理由中心极限定理,结论得证结论得证 例例2 2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？解解 设设X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中其中n= 10000，p=0.6%，设设Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润， Y=10000 12-1000X于是于是由中心极限定理由中心极限定理 (1)PY0=P10000 12