第2节可分离变量的微分方程ppt课件

1、转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第十二章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF这说明方程的解y (x) 满足代数方程式.则有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 反之，设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ( )yx 是隐函

2、数方程的解。当G(y) 与F(x) 可微且 ( )( )0G yg y时, 根据隐函数求导法则有( )( )( )( )( )F xf xyxG yg y 这说明( )yx 是微分方程的解。同理,当( )( )0F xf x时，由确定的隐函数x(y) 也是的解. 称为方程的隐式通解, 或通积分.例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变

3、形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页

4、 下页 返回 完毕 练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意根据题意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变

5、化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时机动 目录 上

6、页 下页 返回 完毕 cm100例例6. 有高有高 1m 的半球形容器的半球形容器, 水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,.cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解: 由水力学知由水力学知, 水从孔口流出的流量为水从孔口流出的流量为tVQddhgS262. 0即thgVd262. 0d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到 ),0d(dhhhhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 完毕 cm100rhhdhho对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd

7、)200(d2因此得微分方程定解问题:hhhthgd)200(d262. 021000th将方程分离变量:hhhgtd)200(262. 0d2321机动 目录 上页 下页 返回 完毕 gt262. 0两端积分, 得g262. 0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始条件, 得5101514262. 0gC因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:)310107(265. 4252335hhgt1000thcm100rhhdhho机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: 上节例1 ) 2) 根据物理规律列方程 (