2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版)

1、2021年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类湖南卷一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合 M = 1,0,1 , N=x|x2w x，贝V M n N 等于A . 0B. 0,1C. 1,1D. 1,0,1n2 .命题"假设，那么tan a= 1 的逆否命题是4nnA .假设，贝U tan a 1B.假设，贝y tanaM 144nnC.假设tan a 1，贝UD.假设tan a 1，贝U443.某几何体的正视图和侧视图均如下图，那么该几何体的俯视图不可能是4. 设某大学的女生体重 y单位：kg与身

2、高x单位：cm具有线性相关关系，根据一组样本数据 他yii = 1, 2,，n，用最小二乘法建立的回归方程为y 0.85x 85.71，那么以下结论中不正确的选项是 A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心x, yC. 假设该大学某女生身高增加1 cm，那么其体重约增加 0.85 kgD 假设该大学某女生身高为170 cm，那么可断定其体重必为58.79 kg2 2C的方程5. 双曲线 C :仔吿 1的焦距为10,点P2,1在C的渐近线上，那么 a b为)2222xy xy1A.1B.2055202222xy 彳xy_1C.1D.80202080n6. 函数 f(x)= s

3、inx cos(x+)的值域为(6A. 2,2 B . -3,、一3C. 1,17.在 ABC 中,AB = 2,33AC= 3, TBBCA . '一 3 B. , 7 C. 2、21，那么_BC等于D. , 23&两条直线11： y= m和12： ym> 0, I1与函数y= |log2x|的图象从左至2m 1右相交于点A, B, I2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C, D .记线段AC和BD在bx轴上的投影长度分别为 a, b,当m变化时，一的最小值为aA. 16、2 B. 8 2C. 834 D. 43 4二、填空题：本大题共 8小题，考生作答 7

4、小题，每题5分，共35分.把答案填在 答题卡中对应题号后的横线上.一选做题请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，那么按前两题记分asin ,3cos (93,那么- Ox t 1,x9在直角坐标系xOy中，曲线Cl：t为参数与曲线C2：y 1 2ty为参数，a> 0有一个公共点在x轴上，那么a=.10. 不等式|2x+ 1| 2|x 1|>0的解集为 11. 如图，过点 P的直线与-O相交于A, B两点，假设FA = 1 , AB = 2, PO:的半径等于.二必做题1216题12. 复数z= 3 + i2i为虚数单位，那么|z|=.13. 2仮 十丫的二项展开式中

5、的常数项为 .用数字作答14. 如果执行如下图的程序框图，输入x= 1, n = 3,那么输出的数 S=理图文图15. 函数f(x)= sin(3x+册的导函数y= f'x)的局部图象如下图，其中，P为图象与y轴的交点，A, C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.n3x/3(1)假设 一，点P的坐标为(0 ,)，贝U 3=；62假设在曲线段 ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，那么该点在ABC内的概率为16. 设N= 2n(n N*, n?2),将N个数xi, x2,，xn依次放入编号为1,2,，N的 N个位置，得到排列P0= X1X2xn.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数

6、取出，并按原顺序依次放入对应的前 N和后N个位置，得到排列P1 = X1X3xn-1x2x4xn ,将此操作称为C2 2N变换.将P1分成两段，每段孑个数，并对每段作C变换，得到P2；当2< 证明：CD丄平面PAE ; < n- 2时，将Pi +1.例如，当 N = 8 时，P2 =Pi分成2i段，每段 N个数，并对每段作C变换，得到2iX1X5X3X7X2X6X4X8，此时X7位于P2中的第4个位置.(1)当N = 16时，X7位于P2中的第个位置；(2)当N = 2n(n?8)时，xi73位于P4中的第 个位置.三、解答题：本大题共 6小题，共75分解容许写出文字说明、证明过程

7、或演算步骤.17. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购 物量1至4件5至8件9至 12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53这100位顾客中一次购物量超过 8件的顾客占55%.(1)确定x, y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)假设某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.18. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA丄平面 ABCD , AB = 4, BC

8、= 3, AD = 5,Z DAB =Z ABC = 90° E 是 CD 的中点.设P(xo, yo)(yoM 土 3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线 Ci相交 于点A, B和C, D .证明：当P在直线x =- 4上运动时，四点 A, B, C, D的纵坐标之积 为定值.22 .函数f(x)= eax- x,其中a丰0.(1)假设对一切x R , f(x)> 1恒成立，求a的取值集合；在函数f(x)的图象上取定两点 A(xi, f(xi), B(X2, f(x2)(xiv X2)，记直线 AB的斜率为 k.问：是否存在xo (xi, x2)，使f'

9、;x0) > k成立？假设存在，求 xo的取值范围；假设不存在，请说 明理由.1. B 由 N=xx2wx，得 x2-x< 0? x(x- i)w 0,解得 Ow x< 1又 T M = 1,0,1, M n N= 0,1.nn2. C 命题"假设 一，那么tan a= 1的逆否命题是"假设 tanai,贝U 443. D 假设为D项，那么主视图如下图，故不可能是D项.4. D D项中，假设该大学某女生身高为170 cm,那么其体重约为：0.85X 170 85.71 =58. 79(kg).故D项不正确.5. A 由 2c= 10,得 c = 5,K；点

10、P(2,1)在直线y _x上,a 1 2b.又；a2+ b2= 25,. a2= 20, b2= 5.a2 y- 1.52故C的方程为二206. Bnf(x)= sinx cos(x+)6=si nx3 .=sinx2= 3( 3 si nx2=、.3s in(x 上)6应选B项.31 .、cosx sinx) 22cosx2-cosx)27. A、.3八 3.|cos(n B) 2|bC|( cosB) 1 ,& b 由题意作出如下的示意图.由图知 a = |xa xc|, b= |xd xb|, 又T xa xb= 1, xc xd = 1,xcI Xa Xc I1IXaXc |y

11、A + yc = log 2XA log 2XC,8 2m 1817=log2XAxc = m 一2m 12 2m 122当且仅当込 8 ，即m2 2m 1由一 lOg2XAXc > 7，得 log2XAXc <27从而 b -222 ,a | XaXc |-时取等号.27I，即 0v xaxcw 2 22当m 3时，b取得最小值8 2，应选B项.2 a39.答案：一2解析：/ C1：x t 1,二 C1 的方程为 2x+ y 3= 0.y 1 2t,asin ,二C2的方程为3cos ,2_y_91.t C1与C2有一个公共点在 x轴上，且a> 0,二C1与x轴的交点3 ,

12、 0在C2上,2代入解得a3_ 2 110.答案：x|x>4解析：对于不等式|2x+ 1| 2|x 1|>0,分三种情况讨论:1 ° 当 x 时，一2x 1-2( x+ 1) >0,2即3> 0,故x不存在；12 °当 一2x1 时，2x+ 1 2( x+ 1)>0,1即1 x 143° 当 x> 1时,2x+ 1 2(x 1) > 0,3> 0,故 x > 1.综上可知，x1，不等式的解集是x1x -4411.答案：解析：过P作圆的切线PC切圆于C点，连结OC. PC2=PA PB=1 X 3=3 , pc

13、、3.在 Rt POC 中，OC po2 pc26.12. 答案：10解析：/ z= (3 + i)2,. |z|= 32+ 12= 10.13. 答案：160 解析：(2.x -t)6的通项为 Tr 1 C6(2'、x)6 r( -t)rvxy x=(1)rC；26-rx3r当 3 r = 0 时，r = 3.故(1)3C；26 3= C；23= 160.14. 答案：4解析：输入x= 1, n = 3.i= 3 1= 2, S= 6 X ( 1) + 2 + 1 = 3; i= 2 1= 1, S= ( 3)X ( 1) + 1+ 1= 5;i= 1 1= 0, S= 5 X (

14、1) + 0 + 1 = 4;i = 0 1 = 1, 1v 0，输出 S= 4.n15. 答案：(1)3(2) f(x) = sin(+妨，f'x) =3cos(3x+©.解析： n时,6f'(0)f X)coCOS( 3x+ ) 6n 3,3,COS，3= 3.6 2nno(2)当 3x+ $=时，X 23n当 3X+ (= 3n 时，X 2由几何概型可知，该点在厶 ABC内的概率为1jlACI| |TnT_n 0 cos( x )21 , 2n 1 | |2 23n2sin( x )n2n23 nnsi n( 2 ) sin( 2 )n=2sin(4) sin(

15、n)2 2n=丄 nii 4.16. 答案：(1)6(2)3 X 2旷4+ 11解析：(1 )由题意知，当N= 16时，Po =X1X2X3X4X5X16, Pl = X1X3X5X15X2X4X16,贝 P2= X1X5X9X13X3X7X11X15X2X6X10X14X4X8X12X16 ,此时X7位于P2中的第6个位置.方法同(1)，归纳推理知X173位于P4中的第3 X 2厂4+ 11个位置.17. 解：(1)由得 25+ y+ 10 = 55, x+ 30= 45,所以 x= 15, y= 20,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视

16、为总体的一个容量为100的简单随机样本.将频率视为概率得153303251F(X 1)F(X1.5)F(X 2)10020300101004201c、101F(X 2.5)F(X3)100510010X的分布列为X11.522.53F3311120104510X的数学期望为33111E X =1+1.5+ 2 + 2.5+3=1.9 .20104510记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟，Xi(i = 1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，那么P(A) = P(X1= 1 且 X2 = 1)+ P(X1= 1 且 X2= 1.5) + P(X1= 1.5 且 X2= 1).

17、由于各顾客的结算相互独立，且X1, X2的分布列都与 X的分布列相同，所以P(A) = P(X1= 1) X P(X2= 1) + P(X1= 1) X P(X2= 1.5) + P(X1 = 1.5) X P(X2= 1)333333920 20 20 10 10 20 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为98018. 解：解法一：(1)如下图，连接 AC.由 AB=4, BC=3，/ ABC=90。得 AC=5.又 AD=5， E是CD的中点，所以 CD丄AE.因为PA丄平面 ABCD，CD 平面ABCD，所以PA丄CD .而 PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以

18、CD丄平面FAE.过点B作BG/ CD，分别与 AE，AD相交于点F，G，连结FF.由(1)CD丄平面FAE知，BG丄平面FAE.于是/ BFF为直线FB与平面FAE所成的角, 且BG丄AE.由PA丄平面 ABCD知，/ PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.bf一，所以 PA = BF.PBPA由题意/ PBA =/ BPF，因为 sin/ PBA =, sin/ BPF =PB由/ DAB = / ABC = 90°知，AD / BC .又BG / CD，所以四边形 BCDG是平行四边形.故 GD = BC = 3，于是 AG= 2.在 Rt BAG 中，AB = 4, AG

19、= 2, BG 丄 AF ,2/5 , BF ABBG , AB2 AG2是 pa= bf =又梯形ABCD的面积为所以168、5BG 2*51S=X (5 + 3) X 4= 16,所以四棱锥216 85128、一55P ABCD的体积为11V 丄S PA 丄33解法二：如下图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系.设PA = h,那么相关各点的坐标为:E(2,4,0), P(0,0, h).15AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0), D(0,5,0),(1)易知CD ( 4,2,0),因为 CD AE = 8 + 8 + 0 =

20、0, 是平面PAE内的两条相交直线，所以由题设和(1)知，CD ,而PB与平面AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos：CD,PB=(0,0, h).0,所以 CD 丄 AE, CD 丄 AP，而 AP, AE CD丄平面PAE.分别是平面FAE,平面ABCD的法向量.；| |cos. PA, PBCPB即由又CD = ( 4,2,0), PA = (0,0, h).(4,0, h)，故| 0 0 h2h、16 h2| 16 0 02i5 J6 h2解得h匕5.51又梯形ABCD的面积为S=X (5 + 3) X 4= 16,所以四棱锥 P ABCD的体积为11V S PA

21、-331628,5128 51519. 解：(1)对任意n N*，三个数A(n), B(n), C(n)是等差数列，所以B( n) A(n) = C( n) B(n),即 an+1 a1= an+ 2 a2, 亦即 an+ 2 an+1= a2 a1 = 4.故数列an是首项为1,公差为4的等差数列.于是 an= 1 + (n 1) X 4 = 4n 3.必要性：假设数列an是公比为q的等比数列，那么对任意n N*，有an+1 = anq.由an>0 知，A(n), B(n), C(n)均大于 0,于是B(n) a? a3 an 1A(n)印 a2anC(n)a?a4a.2B( n)a2

22、a3an1q(a1 a2an) qq ,a1 a2anq(a2 a3an 1) qq ,a2 a3an 1即 a2= qa1 , 从而 an+2 qan+1= 0. 电q.a1公比为q的等比数列.综上所述,数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 n N* , A(n) , B(n) , C(n)组成公比为q的等比数列.20.解：(1)设完成T2(x) , T3(x),由题设有2 30006x三个数T(x)A , B, C三种部件的生产任务需要的时间 (单位：天)分别为1000 一、2000 一、1500x ,2 x kx ,3 x 200 (1 k)x 'T1(x),即B

23、(n) C(n) q .所以三个数A(n), B(n), C(n)组成公比为q的等比数列.A(n) B(n)充分性：假设对任意 n N*，三个数A(n), B(n), C(n)组成公比为q的等比数列，那么B(n) = qA(n), C(n) = qB(n).于是 C(n)B(n)= qB(n) A(n),得 an +2 a2= q(an+1 a1)，即an+2 qan+1= a2 qa1.由 n = 1 有 B(1) = qA(1),因为an> 0,所以 n 2an 1故数列an是首项为a1 ,其中x , kx,200 (1 + k)x均为1至U 200之间的正整数.(2)完成订单任务的

24、时间为f(x)=200*T2(x)为maxT1(x) , T2(x) , T3(x),其定义域为x|0vxv , x N .易知，T1(x),1 k2减函数，T3(x)为增函数.注意到 T2(x) = - T1(x),于是k当 k= 2 时，T1(x)= T2(x),此时f(x)= max T1(x) , T3(x)10001500=max ,.x 200 3x由函数T1(x), T3(x)的单调性知， 当10001500 时f(x)取得最小值，解得x -400x 200 3x9亠十 400250300由于 4445 ,而 f(44)= T1 (44) =, f(45) = T3(45) =,

25、 f(44) v f(45).91113250故当x= 44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)= 竺.11当k>2时，T1(x)>T2(x)，由于k为正整数，故k> 3,此时1500200(1 k)x375记 T (x)50 x1500200 (1 3)x37550 x,0(x)= maxTi(x), T(x)，易知 T(x)是增函数，那么f(x)= max T1(x), T3(x) > max T1(x), T(x)八 彳 1000375=<Xx) = max ,.x 50 x由函数Ti(x), T(x)的单调性知，当400112501110003

26、75时*)取最小值，解得x250375,*7)= T(37)=-1113x 50250由于 3637，而 «36) = T1(36)=-119250此时完成订单任务的最短时间大于.11当kv 2时，(x)v T2(x)，由于k为正整数，故2000750f(x)= max T2(x), T3(x) = maxxk= 1,此时由函数T2(x) , T3(x)的单调性知，当'1002000类似的讨论，此时完成订单任务的最短时间为9综上所述，当k= 2时，完成订单任务的时间最短, 数分别为44,88,68.21 解：方法一：设 M的坐标为(x, y),由得 |x 2| (x 5)2

27、y23.易知圆C2上的点位于直线x= 2的右侧，于- x750时f(x)取最小值，解得100 x250250-,大于.11此时，生产A, B , C三种部件的人80011 ，x+ 2> 0，所以y2= 20x.曲线Ci上任意一点M到圆Ci是以(5,0)为焦点，直线x=(X 5)2 y2x+5.C2圆心(5,0)的距离等于它到直线 x= 5为准线的抛物线.故其方程为y2 =化简得曲线C1的方程为 方法二：由题设知，x = 4上运动时，P的坐标为(一4, y0).又土 3,那么过P且与圆 k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y- y0刚15k y0 4k |=k(x+ 4

28、),即卩 kx y+ y°+ 4k= 0.于是5的距离因此，曲线 20x.3.(2)当点P在直线 C2相切的直线的斜率Jk2 1整理得 72k2 + 18y0k+ y。2 9= 0.设过P所作的两条切线PA, PC的斜率分别为k1, k2,那么k1, k2是方程的两个实根.故724由邸y y0 4k1 0,得y 20xk1y2 20y+ 20(y°+ 4k1) = 0.设四点A, B, C, D的纵坐标分别为 y1, y2, y3, y4,贝y1, y2是方程的两个实根,所以y y220(y0 4k1)ki同理可得y3y420(y0 4k2)k2于是由三式得k1k27172

29、7374400(¥0 4k1)(y0 4k2)400y。2 4(ki k2)y。16牡2】400(y。2 y。2 16?)6 他所以，当P在直线x =-4上运动时，四点 A, B, C, D的纵坐标之积为定值 6 400.22.解：(1)假设av 0,那么对一切 x>0, f(x) = eax-xv 1,这与题设矛盾又a丰0,故a> 0.而 f，x) = aeax-1，令刈=0 得 x In1.a a1 1 、x In 时，f'x)v 0, f(x)单调递减；当 a a1 . 11 1 、In 时，f'x)> 0, f(x)单调递增.故 a11 11

30、、 1 1 , 1In 时，f(x)取最小值f ( In )Ina aa a a a a于是对一切x R, f(x) > 1恒成立.当且仅当111In1.aaa令 g(t) = t tint,那么 g 't(= Int.当0vtv 1时，g't(>0, g(t)单调递增；当t> 1时，g't(v 0, g(t)单调递减.故当t= 1时，g(t)取最大值g(l) = 1因此，当且仅当11，即a= 1时，式成立.a综上所述，a的取值集合为 由题意知，k 丄型1 f (N)axoaxie-1.x2x1ax2ax|e e令 o(x)= f'x( k= aeax-ax.<Xxi)=eX2ax?ea(x2 x1) a(x2 x1) 1, e伙x2)=ea(x1 X2) a(x1 X2) 1.X2 X1令 F(t) = et t 1，贝y F 't(= et 1.当tv 0时，F 't(v 0, F(t)单调递减；当t> 0时，F 'tX> 0, F(t)单调递增.故当0 时，F(t)