第七章第五节曲线和方程课件

1、 定义定义(教材教材P74)：在直角坐标系中，在直角坐标系中，如果某曲线如果某曲线C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x，y) = 0的实数解建立了如下关系：的实数解建立了如下关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方曲线上的点的坐标都是这个方程的解；程的解；(点不比解多点不比解多) (纯粹性纯粹性) (2) 以这个方程的解为坐标的点都以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点是曲线上的点 (解不比点多解不比点多) (完备性完备性) 那么，这个方程叫做那么，这个方程叫做曲线的方程曲线的方程；这条曲线叫做这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线(图形图形) 在笛卡尔以前，人们对代数方程在笛卡尔以前

2、，人们对代数方程已经有了一定的研究，但是对于二元已经有了一定的研究，但是对于二元方程的研究较少，因为大家认识到方程的研究较少，因为大家认识到二二元方程元方程f(x，y) = 0的解都是不确定的解都是不确定的的对于这种对于这种“不定方程不定方程f(x，y) = 0”，除了有少数人研究它的整数解以外，除了有少数人研究它的整数解以外，大多数人都认为研究它是没有意义的，大多数人都认为研究它是没有意义的，是不必要的笛卡尔却对这个是不必要的笛卡尔却对这个“没有没有意义的课题意义的课题”赋予了新的生命，赋予了新的生命，1坐标法坐标法 他没有把他没有把x，y看成是未知数，而看成是未知数，而是创造性地把是创造性

3、地把x看成是看成是变量变量(从此，变从此，变量引入了数学量引入了数学)，让，让x连续地变，则对连续地变，则对每一个确定的每一个确定的x值，一般来说都可以值，一般来说都可以从方程从方程f(x，y) = 0算出相应的算出相应的y值值(这就这就是是函数思想的萌芽函数思想的萌芽)然后，他把这些然后，他把这些点的集合构成了一条曲线点的集合构成了一条曲线C由这样由这样得出的曲线得出的曲线C和方程和方程f(x，y) = 0有非常有非常密切的关系：密切的关系： 1坐标法坐标法 曲线上每一个点的一对坐标都是曲线上每一个点的一对坐标都是方程的一个实数解；反之，方程的每方程的一个实数解；反之，方程的每一个实数解对应

4、的点都在曲线上这一个实数解对应的点都在曲线上这就是说，曲线上的点集和方程的实数就是说，曲线上的点集和方程的实数解集具有一一对应的关系这个解集具有一一对应的关系这个“一一一对应一对应”的关系导致了曲线的研究也的关系导致了曲线的研究也可以转化成对曲线方程的研究可以转化成对曲线方程的研究1坐标法坐标法 这种通过研究方程的性质，间接这种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做地来研究曲线性质的方法叫做坐标法坐标法(就是借助于坐标系研究几何图形的方就是借助于坐标系研究几何图形的方法法) 根据几何图形的特点，可以建立根据几何图形的特点，可以建立不同的坐标系不同的坐标系最常用的坐标系是直最常用的坐

5、标系是直角坐标系和极坐标系角坐标系和极坐标系在目前的中学在目前的中学阶段只采用了直角坐标系阶段只采用了直角坐标系1坐标法坐标法 在数学中，用坐标法研究几何图在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科，叫形的知识形成的一门学科，叫解析几解析几何何它它是一门用代数方法研究几何问是一门用代数方法研究几何问题的数学学科题的数学学科，产生于十七世纪初，产生于十七世纪初期期 法国数学家笛卡尔是解析几何的法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人奠基人另一位另一位法国数学家费马也是法国数学家费马也是解析几何学的创立者解析几何学的创立者2解析几何的创立意义及其基本问题解析几何的创立意义及其基本问题 他们创立解

6、析几何，在数学史上他们创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义：具有划时代的意义： 一是在数学中首次引入了变量的一是在数学中首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来概念，二是把数与形紧密地联系起来了了 解析几何的创立是近代数学开端解析几何的创立是近代数学开端的标志，为数学的应用开辟了广阔的的标志，为数学的应用开辟了广阔的领域领域2解析几何的创立意义及其基本问题解析几何的创立意义及其基本问题 (1) 根据已知条件求出表示平面根据已知条件求出表示平面曲线的方程；曲线的方程； (2) 通过方程，研究平面曲线的通过方程，研究平面曲线的性质性质 本节主要通过例题的形式学习第本节主要通过例题的形式

7、学习第一个问题，即如何求曲线的方程一个问题，即如何求曲线的方程 3平面解析几何研究的主要问题平面解析几何研究的主要问题 例例1设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(1，0)、( 1，0)，若，若kMA kMB = 1，求动点，求动点M的轨迹方程的轨迹方程x2 + y2 = 1 (x 1) 说明：说明：所求的方程所求的方程x2 + y2 = 1后后面应加上条件面应加上条件x 1 例例2点点M到两条互相垂直的直线的到两条互相垂直的直线的距离相等，求点距离相等，求点M的轨迹方程的轨迹方程 解：解：取已知两条取已知两条互相垂直的直线为互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标轴，建立直角坐标系如图所示坐标系如

8、图所示设点设点M的坐标为的坐标为(x，y)，点，点M的轨迹的轨迹就是到坐标轴的距离相等的点的集合就是到坐标轴的距离相等的点的集合RMQxOyP = M | |MR| = |MQ|， 例例2点点M到两条互相垂直的直线的到两条互相垂直的直线的距离相等，求点距离相等，求点M的轨迹方程的轨迹方程 其中其中Q、R分别是点分别是点M到到x轴、轴、y轴的垂线的轴的垂线的垂足垂足RMQxOyP = M | |MR| = |MQ|， 因为点因为点M到到x轴、轴、y轴的距离分别轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所是它的纵坐标和横坐标的绝对值，所以条件以条件|MR| = |MQ|可写成可写成| x | =

9、| y |，即即x y = 0 (1) 由求方程的过程可知，曲线上由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的点的坐标都是方程的解；的解；下面证明下面证明是所求轨迹的方程是所求轨迹的方程 (2) 设点设点M1的坐标的坐标(x1，y1)是方程是方程的解，那么的解，那么x1 y1 = 0，即，即即即x y = 0 | x1| = | y1|，而，而| x1|、| y1|正是点正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这到这两条直线的距离相等，点两条直线的距离相等，点M1是曲线上是曲线上的点的点 由由(1)(2)可知，可知，方程方程是所求轨迹是所求轨迹的方程，图形如图的方

10、程，图形如图所示所示 点评：点评：建立适当的坐标系，能使建立适当的坐标系，能使求轨迹方程的过程较简单所求方程求轨迹方程的过程较简单所求方程的形式较的形式较“整齐整齐”x y = 0 RMQxOy (1)建立适当的坐标系，用有序实建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点数对表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标； (2)写出适合条件写出适合条件P的点的点M的集合；的集合； (3)用坐标表示条件用坐标表示条件P(M)，列出方，列出方程程f(x，y) = 0； (4)化方程化方程f(x，y) = 0为最简形式；为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线

11、上的点标的点都是曲线上的点4求简单曲线方程的一般步骤：求简单曲线方程的一般步骤：练习练习 1. 点点P到点到点F(4，0)的距离比它到的距离比它到直线直线x + 5 = 0的距离小的距离小1，求求点点P的轨的轨迹方程迹方程y2 = 16x 2. 过点过点P(2，4)作互相垂直的直线作互相垂直的直线l1，l2，若，若l1交交x轴于轴于A，l2交交y轴于轴于B，求线段求线段AB中点中点M的轨迹方程的轨迹方程x + 2y 5 = 0PBMA xOy (1)建立适当的坐标系，用有序实建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点数对表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标； (2)写出适合条件写出适合条件P的点的点M的集合；的集合； (3)用坐标表示条件用坐标表示条件P(M)，列出方，列出方程程f(x，y) = 0； (4)化方程化方程f(x，y) = 0为最简形式；为最简形式； (5