静电场中的高斯定理

1、2022-2-131用一簇空间曲线形象地描述场强的分布。用一簇空间曲线形象地描述场强的分布。典型电场的电场线分布典型电场的电场线分布 一、电场线和电通量一、电场线和电通量 (electric field line and electric flux)2022-2-132场是一定空间范围内连续分布的客体场是一定空间范围内连续分布的客体温度温度T 温度分布温度分布温度场（标量场）温度场（标量场）流速流速v 流速分布流速分布流速场（矢量场）流速场（矢量场）电荷产生的场具有什么性质？电荷产生的场具有什么性质？ 期望从不同的角度揭示电场的规律性期望从不同的角度揭示电场的规律性经过探索通过与流体类比找到用

2、矢量场论来描述电场经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场2022-2-133流速场流速场有源（或汇）、有旋有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之、两者兼而有之 0000?0 lvSvL LS Sd d环流环流d d通量通量2022-2-134类比类比流线流线电力线电力线 流量流量电通量电通量 2022-2-135一一.电场线（电场线（ 线）线）E1. 线上某点的切向线上某点的切向EEE线线切线切线2. 线的密度给出线的密度给出 的大小。的大小。EEN S SNSNESddlim0 即为该点即为该点 的方向的方向；E为形象地描写场强的分布，引入为形象地描写场强的分布，引入 线。线。E2022

3、-2-136带正电的点电荷带正电的点电荷 电偶极子电偶极子均匀带电的直线段均匀带电的直线段几种电荷的几种电荷的 线分布：线分布：E2022-2-137几种电荷的几种电荷的 线分布的实验现象：线分布的实验现象：E单个点单个点 电电 极极2022-2-138正正 负负 点点 电电 极极2022-2-139两两 个个 同同 号号 的的 点点 电电 极极2022-2-1310单单 个个 带带 电电 平平 板板 电电 极极2022-2-1311分分 别别 带带 正正 负负 电电 的的 平平 行行 平平 板板 电电 极极2022-2-1312带带 异异 号号 电电 荷荷 的的 点点 电电 极极 和和 平平

4、 板板 电电 极极2022-2-1313“ 怒怒 发发 冲冲 冠冠 ”2022-2-1314二二. 电通量电通量 e定义：定义： cos ds=ds dsE 线线ESdscosdddSESEe通过整个曲面通量为：通过整个曲面通量为：SdEdssee通过封闭曲面的通量为：通过封闭曲面的通量为： SesEd2022-2-1315通过电场中某一面积的电力线的数目：通过电场中某一面积的电力线的数目：线线条条数数）的的（穿穿过过ESNe 的几何意义：的几何意义：e2022-2-13162022-2-13172, 0d即SE电力线穿出，如电力线穿出，如 处处1dS2, 0d即SE电力线穿入，如电力线穿入，

5、如 处处2dS对电通量的概念应注意以下几点：对电通量的概念应注意以下几点： 1）电通量是标量；）电通量是标量； 2）电通量）电通量e是对面而言不是点函数；是对面而言不是点函数； 3）电通量是代数量，有正、负之分。在场强一定）电通量是代数量，有正、负之分。在场强一定时，电通量的正时，电通量的正 负取决于面元法向的选取。负取决于面元法向的选取。约定：约定：闭合曲面闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。以向外为曲面法线的正方向。2022-2-1318例例8-2 如图所示有一个三棱柱体放在电场强度如图所示有一个三棱柱体放在电场强度E=200NC-1的匀强电场中。求通过此三棱柱体的电场强度通量。的匀强电场中

6、。求通过此三棱柱体的电场强度通量。yS1, enxZ, s2,en , s4en, s5EQMOPN s3R e e1 e2 e3 e4 e511seSdE111cosESESe 0432seeeSdE55cos5SESdEse 而而S5cos =S1， e5ES1 e e1 e2 e3 e4 e5ES1ES102022-2-1319上述结果表明，在均匀电场中穿入三棱柱体的电场线与穿出上述结果表明，在均匀电场中穿入三棱柱体的电场线与穿出三棱柱体的电场线相等，即穿过闭合曲面（三棱柱体表明三棱柱体的电场线相等，即穿过闭合曲面（三棱柱体表明的电场强度通量为零。的电场强度通量为零。yS1, enxZ,

7、 s2,en , s4en, s5EQMOPN s3R2022-2-13202022-2-1321三、高斯定理三、高斯定理（Gauss theorem）高斯定理是反映静电场性质的一个基本定理。高斯定理是反映静电场性质的一个基本定理。一一. 问题的提出：问题的提出：由由， qrrqeE2o4d 进一步搞清静电场的性质；进一步搞清静电场的性质； 便于电场的求解；便于电场的求解； 解决由场强求电荷分布的问题。解决由场强求电荷分布的问题。为何还要引入高斯定理？为何还要引入高斯定理？原则上，任何电荷分布的电原则上，任何电荷分布的电场强度都可以求出，场强度都可以求出，目的：目的：2022-2-1322Sq

8、内内Esd0d内qsEse在真空中的静电场内，在真空中的静电场内，二二. 高斯定理的内容高斯定理的内容高斯定理：高斯定理：通过任意闭合曲面的电通量，通过任意闭合曲面的电通量，数和除以数和除以 0 。等于该曲面所包围电量的代等于该曲面所包围电量的代2022-2-1323三三. 1. 求以点电荷为球心的球面的求以点电荷为球心的球面的e 0020004ddSrSerseqsE 02004dSrsq20244rrq 0 q 由此可知：由此可知： 点电荷电场对球面的点电荷电场对球面的 与与 r 无关，无关，e 即各球面的即各球面的 连续连续e 点电荷点电荷的的 线连续。线连续。EE0dsrS0q高斯定理

9、的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理2022-2-1324+ 2. 点电荷在任意点电荷在任意封闭封闭曲面内的电通量曲面内的电通量cosd 4d20eSrq 20d 4rSq00ed 4qqSdSdSdrSdrSdd2其中立体角其中立体角2022-2-1325q 点电荷在封闭曲面之外点电荷在封闭曲面之外2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd210dSSE1dS1E2022-2-13263.求点电荷系的电场中任意闭合曲面的电通量求点电荷系的电场中任意闭合曲面的电通量 jjiiEEE（S外）外）sESed SSjjiisEsE)d(d)( i

10、SjSjisEsEdd00 iiq 0 内内qSsdiEEjEqiqj（S内）内）2022-2-1327 SVesEvd.1d0 4. 将上结果推广至任意连续电荷分布将上结果推广至任意连续电荷分布四四.几点说明几点说明1. 高斯定理是平方反比定律的必然结果；高斯定理是平方反比定律的必然结果；2. 由由 的值决定，与的值决定，与 分布无关；分布无关；e内内 q内内q3. 是总场强，它由是总场强，它由q内内 和和 q外外共同决定；共同决定；E4. 高斯面为高斯面为封闭封闭几何面，几何面， q内内和和q外外总能分清；总能分清；5.静电场是静电场是有源场有源场；VdvS 2022-2-1328高斯定理

11、的讨论高斯定理的讨论2022-2-1329终止于负电荷，终止于负电荷，6. 高斯定理给出电场线有如下性质：高斯定理给出电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷，电场线发自于正电荷，在无电荷处不间断。在无电荷处不间断。证：证： SsE0d则：则：，令令0S 若若P点有电场线终止，点有电场线终止，SPSP有有 qp 02022-2-1343解解:由于无限大的均匀带电平面两侧附近的电场具有对称性由于无限大的均匀带电平面两侧附近的电场具有对称性,两侧的电场强度垂直于该平面两侧的电场强度垂直于该平面图图 (a).取如图取如图 (b)所示的高所示的高斯面斯面,它穿过带电平面它穿过带电平面,且对带电平面是对称

12、的且对带电平面是对称的,其侧面的法其侧面的法线与电场强度垂直线与电场强度垂直.所以所以,通过侧面的电场强度为零通过侧面的电场强度为零.而底面而底面的法线与电场强度平行的法线与电场强度平行,且底面上的电场强度大小相等且底面上的电场强度大小相等,所以所以通过两底面的电场强度通量各为通过两底面的电场强度通量各为ES, 例例8-10 设有一无限大的均匀带电平面设有一无限大的均匀带电平面,单位面积上所带的单位面积上所带的电荷为电荷为 ，求距离该平面为，求距离该平面为r处某点的电场强度处某点的电场强度.+ EEEE+ S(a)(b)2022-2-1344由对称性分析知：由对称性分析知：E 的方向垂直板面向

13、外；距板同的方向垂直板面向外；距板同远处远处E 大小相同。取如图圆柱体为高斯面，由大小相同。取如图圆柱体为高斯面，由S侧S底EE 0 QSdE0)2( 底底右底右底底底左底左底侧面侧面右底右底左底左底SSEdSEdSESdESdESdESdE02 EneE20矢量式：2022-2-1345上式表明上式表明,无限大均匀带电平面的无限大均匀带电平面的E与场点到平面的距离与场点到平面的距离无关无关,而且而且E的方向与带电平面垂直的方向与带电平面垂直.无限大带电平面的电无限大带电平面的电场为均匀电场场为均匀电场.2022-2-1346小结小结 应用高斯定理求场强的要点：应用高斯定理求场强的要点：适用对象：适用对象： 有球、柱、平面对称的有球、柱、平面对称的某些某些电荷分布。电荷分布。方法要点：方法要点：（1）分析）分析 的对称性；的对称性；E（2）选取高斯面的原则：）选取高斯面的原则：1）需需通过待求通过待求 的区域；的区域；E2）在）在 S 上待求上待求 处，处，EsEd且等大，且等大，使得使得 ， sEsEdd 。或或，或或 sEEsEd00d其余处必须有其余处必须有2022-2-1347思考：思考：l均匀带电圆柱