2010年高三数学高考易错点睛：平面解析几何4VIP

1、2010年高考数学易错专题点睛：平面解析几何【原题】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程 【错误分析】：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 【答案】椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1【解析】法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+

2、2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0)，则kAB=，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1，kAB=1，设l的方程为y=x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1 解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直线l y=x过AB的中点()

3、,则,解得k=0，或k=1 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一【易错点点睛】本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式 解法二，用韦达定理 【原题】如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积【错误分析】：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取

4、值范围 不等式法求最值忽略了适用的条件 【答案】直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8【解析】法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中5m0由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1·x2=m2,|MN|=4 点A到直线l的距离为d= S=2(5+m),从而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128 S8,当且仅当22m=5+m,即m=

5、1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8 解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0m5 由方程组,消去x,得y 24 y 4m=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(4)2+16m=16(1+m)0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=4m,S= 4=4S8,当且仅当即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8【易错点点睛】涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算【原题】已知椭圆

6、的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围【错误分析】：通过，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式【答案】（1）（2）（1，）（，1）【解析】（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设由条件知且，又有，解得 故椭圆的离心率为，其标准方程为： （2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*）x1x2， x1x2 3

7、 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k2>0，1<m< 或 <m<1容易验证k2>2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 【易错点点睛】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【原题】若F1、F2分别为双曲线-=1的下、上焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足=，=(+)(>0).(1)求此双曲线的离心率；(2)若此双曲线过N(,2)，求此双曲线的方程；(3)若过N(,

8、2)的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2(B2在x轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且=，求时直线AB的方程.【错误分析】：本题考查双曲线方程及性质，双曲线与向量知识交汇问题是近年高考考查的方向. 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具【答案】.(1) e=2. (2) -=1. (3)y=x-或y=-x+.【解析】(1)=,PF1OM为平行四边形.又=(+)知M在PF1O的角平分线上，四边形PF1OM为菱形，且边长为|=|=c. |=2a+|=2a+c. 由第二定义知=e,即=e. +1=e且e>1e=2. (2)由e=2，c=2a,即b2=3a2. 双