行列式是线性代数的一个重要组成部分它是研究矩阵

1、第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要行列式是线性代数的一个重要组成部分组成部分. .它是研究矩阵、线性方它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具程组、特征多项式的重要工具. .本本章介绍了章介绍了n n阶行列式的定义、性质阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个及计算方法，最后给出了它的一个简单应用简单应用克莱姆法则克莱姆法则. .2第第1 1章章 行列式行列式nn n阶行列式的定义阶行列式的定义n行列式的性质行列式的性质n行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开n克莱姆法则克莱姆法则行列式的一个简单应用行列式的一个简单应用n数学实验数学实验3第第1.1节节 n阶行列式的

2、定义阶行列式的定义 本节从二、三阶行列式出发，给本节从二、三阶行列式出发，给出出n阶阶行列式的概念行列式的概念. .基本内容：基本内容：n二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式n排列及其逆序数排列及其逆序数nn阶行列式定义阶行列式定义n转置行列式转置行列式返回4 1. 1.二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式(1)(1)二阶行列式二阶行列式 22221211212111bxaxabxaxa的线性方程组的线性方程组考虑含有两个未知量考虑含有两个未知量21, xx 为求得上述方程组的解，可利用加减消元得为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：到： 21111222112221112222112112221

3、1)()(ababxaaaaababxaaaa时，时，当当021122211 aaaa方程组有惟一解方程组有惟一解5.,211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx 上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：2112221122211211aaaaaaaa 称其为称其为二阶行列式二阶行列式 .DDxDDx2211 ， 据此，解中的分子可分别记为：据此，解中的分子可分别记为：22111122221211,babaDababD 方方程程组

4、组的的解解可可表表为为时时当当,022211211 aaaaD6例例1 1 解二元线性方程组解二元线性方程组解解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组未知量的系数所构成的二阶行列式 534532121xxxx0154)3(33431 D155451,30353521 DD方程组有惟一解方程组有惟一解.又又于是方程组的解为于是方程组的解为. 11515215302211 DDxDDx，7(2)三阶行列式三阶行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 称为称为三阶行

5、列式三阶行列式.称称为为它它的的元元素素。（数数)3 , 2 , 1, jiaij 三元素乘积取三元素乘积取“+”号；号； 三元素乘积取三元素乘积取“- -”号。号。主对角线法主对角线法8例例2 计算三阶行列式计算三阶行列式解解:由主对角线法，有由主对角线法，有14 243122421 D411)2()2(2)3(2)4(4)2()4()3(12)2(21 D48243264 9例例3 解线性方程组解线性方程组解：解：系数行列式系数行列式 162942263321321321xxxxxxxxx1516219422613,2011611921263,5512161491126321 DDD方程组

6、有惟一解方程组有惟一解.又又于是方程组的解为于是方程组的解为. 3515, 452011555332211 DDxDDxDDx，05121142113 D10思考与练习思考与练习（三阶行列式）三阶行列式） 1. 方程化简为方程化简为 (x-1)2 =4, 其解为其解为x=3或或x=- -1； 94553532. 216121111. 1321321321xxxxxxxxxxx解线性方程组解线性方程组解方程解方程06126114513312. 2321 DDDD0, 1, 2321 xxx答答案案112.排列及其逆序数排列及其逆序数(1)排列排列 由自然数由自然数1,2,n,组成的一个有序数组组

7、成的一个有序数组i1i2in称为一个称为一个n级排列级排列.如：由如：由1,2,3可组成的三级排列有可组成的三级排列有3！=6个：个：123 132 213 231 312 321（总数为（总数为 n!个）个）注意注意:上述排列中只有第一个为自然顺序上述排列中只有第一个为自然顺序(小小大大),其其他则或多或少地破坏了自然顺序他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相元素大小与位置相反反)构成构成逆序逆序.12(2)排列的逆序数排列的逆序数n定义：定义： 在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),

8、则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数，称为它的逆序数， 记为记为 (i1i2in).n奇偶排列奇偶排列: 若排列若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列称它为奇（偶）排列.=3 =2例例4 (2413) (312)例例5 (n(n-1)321) (135(2n-1)(2n)(2n-2) 42) =0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)13n对换：对换： 在一个排列在一个排列i1isit in中，若其中某两中，若其中某两数数is和和it互换位置互换位置, 其

9、余各数位置不变得到另一排列其余各数位置不变得到另一排列i1itis in,这种变换称为一个对换这种变换称为一个对换, 记为记为( isit).例例6)43(12430125)31(3421)42(14231234结论：结论：对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. 任意一个任意一个n级排列与标准排列级排列与标准排列12n都可以经过一都可以经过一 系列对换互变系列对换互变.14的证明的证明n对换在相邻两数间发生对换在相邻两数间发生，即，即设排列设排列 jk (1) 经经j,k对换变成对换变成 kj (2) 此时，排列此时，排列(1)、(2)中中j,k与其他数与其他数是否构成逆序的情形未是否构成

10、逆序的情形未发生变化；而发生变化；而j与与k两数两数构成逆序的情形有变化：构成逆序的情形有变化： 若若(1)中中jk构成逆序构成逆序,则则(2)中不构成逆序中不构成逆序(逆序数减少逆序数减少1) 若若(1)中中jk不构成逆序不构成逆序,则则(2)中构成逆序中构成逆序(逆序数增加逆序数增加1)n一般情形一般情形设排列设排列 ji1isk (3) 经经j,k对换变成对换变成 k i1is j (4) 易知，易知，(4)可由可由(3)经一系列相邻对换得到：经一系列相邻对换得到： k经经s+1次相邻对换成为次相邻对换成为 kj i1is j经经s次相邻对换成为次相邻对换成为 ki1is j 即经即经2

11、s+1次相邻对换后次相邻对换后(3) 成为成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. |15思考练习思考练习（排列的逆序数）（排列的逆序数）1. (542163) (24(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)31）2. 若排列的若排列的x1x2xn逆序数为逆序数为I，求排列，求排列xn xn-1x1的逆序数的逆序数.I2)1()(. 2)12(31 )2(9)1(. 1112 nnxxxnnnn 答答案案详解继续继续16思考练习思考练习（排列的逆序数详解）（排列的逆序数详解）方法方法1 在排列

12、在排列x1x2xn中，任取两数中，任取两数xs和和xt(st),则它们必在排列则它们必在排列x1x2xn或或xnxn-1x1中构成逆序，中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列又在排列x1x2xn中取两数的方法共有中取两数的方法共有 依题意，有依题意，有2)1()!2( ! 2!2 nnnnCn故排列故排列 x1x2xn 与与 xnxn-1x1 中逆序之和为中逆序之和为2)1( nn.I2)1()(11 nnxxxnn 此即此即 17方法方法2 n个数中比个数中比i大的数有大的数有n- - i个个(i=1,2,n),若在排列若在排列x1x2xn中对

13、中对i构成的逆序为构成的逆序为li个个,则在则在xnxn-1x1中对中对i构构成的逆序为成的逆序为(n- - i)- -li,于是两排列中对于是两排列中对i构成的逆序之和构成的逆序之和为为li+(n-in-i)- -li= n- -i (i=1,2,n)2)1(12)2()1()()(1121 nnnnxxxxxxnnn 从而从而此即此即 .I2)1()(11 nnxxxnn 183. n阶行列式定义阶行列式定义n分析：分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为符号为322311

14、332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 321321jjjaaa“+” 123 231 312 （偶排列）（偶排列） “- -” 321 213 132 （奇排列）（奇排列）)(321)1(jjj (iii)项数为项数为 3！=6 321321321)()1(jjjjjjaaa 19推广之，有如下推广之，有如下n 阶行列式定义阶行列式定义n定义：定义： n阶行列式阶行列式是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积个元素的乘积nnjjjaaa2121并冠以符号并冠以

15、符号 的项的和的项的和. )(21)1(njjj nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnjjjjjjaaa212121)() 1( )(ijaDet记记 (i) 是是取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的n个元素的乘积；个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；决定每一项的符号；(iii) 表示对所有的表示对所有的 构成的构成的n！个排列求和个排列求和.nnjjjaaa2121njjj21)(21njjj 20例例4 证明上三角行列式证明上三角行列式证：证： 由定义由定义nnnnnnaaaaaa

16、aaaD221122211211000 时时，1, 2, 1,121 jjnjnjnn和式中和式中,只有当只有当 nnnjjjjjjaaaD212121)()1( 02121 nnjjjaaannnnnaaaaaaD22112211)123() 1( 所以所以上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .21例例5 计算计算000000000000121nnD 解解11,21)321)1()1(nnnnnaaaD nnn 212)1()1( 由行列式定义由行列式定义,时时，1, 2, 1,121 nnjjnjnj02121 nnjjjaaa和式中仅

17、当和式中仅当 nnnjjjjjjaaaD212121)()1( 22 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明一般，可以证明n定理定理:n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的项可以写为的项可以写为nnnnjijijijjjiiiaaa22112121)()()1( niiiiiinnaaaD21)(2121)1( 其中其中i1i2in和和j1 j2 jn都是都是n级排列级排列 . nnnnjijijijjjiiiaaaD22112121)()()1( 或或另一定义形式另一定义形式另

18、一定义形式另一定义形式n推论推论:n阶行列式阶行列式D=Det (aij) 的值为的值为234.转置行列式转置行列式则则,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD .212221212111nnnnnnTaaaaaaaaaD n定义：定义：如果将行列式如果将行列式D的行换为同序数的列，得的行换为同序数的列，得到的新行列式称为到的新行列式称为D的的转置行列式转置行列式，记为，记为DT. .即若即若24 用定义计算用定义计算000000000. 2000100002000010. 15544332222211111bababaedcbaedcbann 0. 2!)1(21)1(.

19、11)123( DnnDnn 思考练习思考练习 （n阶行列式定义）阶行列式定义）答答案案25第第1.2节节 n阶行列式的性质阶行列式的性质 对多对多“0”0”的或是阶数较低的或是阶数较低( (二、三阶二、三阶) )的的行行列式利用定义计算较为容易列式利用定义计算较为容易, , 但对一般的、但对一般的、高阶的（高阶的（n n 4 4）行列式而言）行列式而言, ,直接利用定义计直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的算很困难或几乎是不可能的 . . 因而需要讨论因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算行列式的性质，用以简化计算. .返回返回26性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列

20、式相等.（D=DT）证：证：事实上事实上,若记若记 DT=Det(bij),则则), 2 , 1,(njiabjiij nnnjjjjjjTbbbD212121)()1( Daaaniiiiiinn 21)(2121)1( .00021222111nnnnaaaaaaD nnnnnnTaaaaaaaaaDD221122212111000 解解例例1 计算行列式计算行列式27性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(rirj)或列或列(cicj)，行列，行列式的值变号式的值变号 .n推论推论 若行列式若行列式D的两行（列）完全相同的两行（列）完全相同,则则D=0 .性质性质3 行列式某一行（

21、列）的所有元素的公因子可行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即以提到行列式符号的外面，即nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211 n推论推论 (1) D中一行中一行(列列)所有元素为零，则所有元素为零，则D=0； (2) D的两行的两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则D=0.28性质性质4 若行列式若行列式 某一行某一行(列列)的所有元素都是两个数的所有元素都是两个数的和的和,则此行列式等于两个行列式的和则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列这两个行列式的这一行式的这一行(列列

22、)的元素分别为对应的两个加数之一，的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行其余各行(列列)的元素与原行列式相同的元素与原行列式相同 .即即证证nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211 niinnjijijjjjjjabaaaD)()1(212121)( ninninnjijjjjjjnjijjjjjjabaaaaaa2121212121)(21)()1()1( 21DD 29性质性质5 行列式行列式D的某一行的某一行(列列)的所有元素都乘以数的所有元素都乘

23、以数 k加到另一行加到另一行(列列)的相应元素上的相应元素上,行列式的值不变行列式的值不变,即即nnnnjninjijinkrrnnnniniinaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaji21221111211212111211 )(DDjikrr 30例例2 计算行列式计算行列式3111131111311113)3(5240432323214232)2(415132321)1( DD解解 415132321)1( D1190510321121325 rrrr3400510321239 rr3434) 1(1 31解解5240432323214232)2( D373000625800

24、88102321232484 rrrr524043234232232121 rr5240268088102321121323 rrrr2914300062580088102321345830 rr2862914358)1(1 32解解3111131111311113)3( D3111131111316666421 iirr31111311113111116 2000020000201111614,3,2rrii 48)2221 (6 33例例3 3 计算计算n n阶行列式阶行列式), 2 , 1, 0(111111111)3()2() 1 (21212121niaaaaDxaaaaxaaaax

25、aDxaaaxaaaxDinnnnnnn 解(2)解(3)解(1)34解解(1) 注意到行列式各行注意到行列式各行(列列)元素之和等于元素之和等于x+(n-1)a,有有1)()1( naxanxxaanxaxanxaaanxDiccnin) 1() 1() 1(1, 3 , 2 axaxaaanxrrnii 00001)1(1, 3, 2xaaxaaanx111)1( 返回35解解(2)(2) 注意到行列式各行元素之和等于注意到行列式各行元素之和等于11)( nniixaxnniinniinniiccninaxaaxaaxaxaaaxDi 212121, 3 , 21xxaaaxnniirrn

26、ii00001)(21,3,21 nnnniiaxaaaxaaax 2221111)(,1 niiax有有返回36nrrninaaaaaaaDi0000001111131211,3,21 nniicaacniaaaaaii00001112211,3,211 nniiaaaaa2211)1 ( niinaaaa121)11 (解解 (3)(3)返回箭形行列式箭形行列式37例例4 证明证明证证 0)3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1()3()2() 1()2(4) 1(2222222222222222 ddddccccbbbbaaaaabcdefefcfbfdecdbdaea

27、cab111111111)1( abcdef左边左边20002011132 abcdefrr0202001111213 abcdefrrrr右边右边 abcdef438证证964412964412964412964412)2(22224,3,21 ddddccccbbbbaaaaccii左边左边右边右边 062126212621262122222232324 ddccbbaacccc392.证明证明1.计算行列式计算行列式)2(212121)2(2164729541732152) 1 (222111 nnaaanaaanaaaDDnnnn2221112222221111112cbacbacba

28、accbbaaccbbaaccbba 思考练习思考练习 （行列式的性质）行列式的性质）4093)3(1130000300311022513300030031102251021061203110225102103110612022512461759243712251) 1.(1342324321312143122,4 rrrrrrrrrrrrrrccD 2, 02,111111111)2(2121,3,21nnaanananaDnccnini当当当当思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案） 4122222211111122222211111112. 2acacbaacacbaacac

29、baaccbbaaccbbaaccbbacc 左左边边22222111112222211111222223cacbacacbacacbacacbacacbacacbacc 2121322221112222111122cccccccabcabcabcabacabacaba 2221112cbacbacba=右边右边思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案） 42第第1.3 节节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j

30、列，余下的元素按列，余下的元素按原来的顺序构成的原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素aij的的余子余子式，记作式，记作Mij；nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 而而Aij=(-1)i+jMij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式.返回返回返回43例例1 求出行列式求出行列式解解.65131022323的的值值的的余余子子式式及及代代数数余余子子式式中中，元元素素 aD 13)1(,13215512323322323 MAM44行列式按一行（列）展开定理行列式按一行（列）展开定理n阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222

31、111211 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即子式的乘积之和，即), 2 , 1(), 2 , 1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或45证证 (i)D的第一行只有元素的第一行只有元素a11 0，其余元素均为零其余元素均为零,即即nnnnnaaaaaaaD21222211100 上上式式中中第第二二项项得得零零）由由定定义义() 1() 1() 1()(2)(11121)(121)(32221212112121 nnnnnnnjjjnjjjjjnjjjjjjjn

32、jjjjjjaaaaaaaaa 1111Ma 而而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故故D= a11A11 ; 46(ii)当当D的第的第i行只有元素行只有元素aij 0时，即时，即 nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 将将D中第中第i行依次与前行依次与前i-1行对调行对调,调换调换i-1次后位于第次后位于第1行行 D中第中第j列依次与前列依次与前j-1列对调列对调,调换调换j-1次后位于第次后位于第1列列经经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后次对调后, aij 位于第位于第1行、第行、第1列列,即即(iii) 一般地一般地ijijijijjiijijjiAaM

33、aMaD )1()1(2由由 (i)47nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21112112121121121111211000000 ininiiiiAaAaAa 2211由由(ii)njnjjjjjAaAaAaD 2211同理有同理有48推论推论 n阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即代数余子式的乘积之和为零，即)(0)(02

34、2112211tjAaAaAasiAaAaAantnjtjtjsninsisi 或或49证证考虑辅助行列式考虑辅助行列式).2211tjAaAaAantnjtjtjt （列展开列展开按第按第0= nnjnjnnjjnjjaaaaaaaaaaaaD2122221111111 t列j列50例例2 2 计算行列式计算行列式132020321 D解解132020321 D1312111321AAA 行行展展开开按按第第)4(30221 132020321 D2322212020AAA 行行展展开开按按第第3220)1(31200)1(21302)1(1312111 1231)1(222 法法1法法2选

35、取选取“0”多多的行或列的行或列)5(2 1010 51例例3 计算行列式计算行列式6427811694143211111D481840126203210111112, 3 , 4iirriD解解36100620321121324rrrr481841262321126072361062计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.52例例4 计算计算n阶行列式阶行列式000100002000010)2(000000000000)1(nnDxyyxyxyxDnn 解解11212111111)1(nnnAaAaAaD 列列展展开开按按第第yxyyxyyxyxyx

36、yxxn00000000000000)1(0000000000000)1(111 nnnyx1)1( 53!)1(1000020000200001)1(11nnnnnn 11212111111nnAaAaAa 列展开列展开按第按第000100002000010)2(nnDn 解解54例例5 证明范得蒙行列式（证明范得蒙行列式（Vandermonde).)()()2()(111111121121的乘积的乘积（表示所有可能的表示所有可能的其中其中ijxxxxnxxxxxxxxDjinijjinijjinnnnnn 证证 结论正确；结论正确；时时,11,212212xxxxDn 用数学归纳法用数学归

37、纳法55 假设对假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑虑 n 阶情形阶情形.12112313122121213231222113122,.,1,000111111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnnnrxrnniii 1121121111 nnnnnnxxxxxxD56niixx211)(列展按第提取公因子2232232111 nnnnnxxxxxx nijjixx1)()()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 57例例6

38、 已知已知4阶行列式阶行列式.32.521534120813171113121144342414的代数余子式的代数余子式为为其中其中的值的值及及求求ijijaAAAAAAAAD 解解法法1.,)4 , 3 , 2 , 1(4然后相加（略）然后相加（略）的值的值直接计算直接计算 iAi法2利用行列式的按列展开定理，简化计算利用行列式的按列展开定理，简化计算.0121514121813171111114434241444342414 AAAAAAAA58.493313255651513130255605111390015513931050155139031050015003215215341208

39、1303213213122131211 rrrrAAA59思考练习思考练习 （按行展开定理）按行展开定理）计算行列式计算行列式1000010001000100010000. 2001000000100. 11322111nnnnnaaaaaaaaDaaaaD 60思考练习思考练习（按行展开定理详解（按行展开定理详解1）00000000000010000) 1(10000000000000000) 1(. 11111aaaaaaaaDnn 列列展展按按第第aaaaannn0000000000000000)1()1()1(11 2212)1( nnnnnaaaa61思考练习思考练习（按行展开定理详

40、解（按行展开定理详解2）10000100010001000100000. 2132211121nnnrrnaaaaaaanDnii nnnnnnaaanaaaaaaan2113221)1(11)1()1(0000000000000)1()1( 行行展展按按第第622.2.拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理nk阶子式阶子式 在在n阶行列式中，任意选定阶行列式中，任意选定k行、行、k列列 （1kn）位于这些行列交叉处的）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来个元素按原来顺序构成的一个顺序构成的一个k阶行列式阶行列式N，称为行列式，称为行列式D的一个的一个k阶子式阶子式.nk阶子式阶子式N

41、的余子式及代数余子式的余子式及代数余子式 在在D中划去中划去k行、行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行阶行列式列式M，称为，称为k阶子式阶子式N的余子式的余子式;而而 MAkkjjjiii)()(2121) 1( 为其代数余子式为其代数余子式.这里这里i1,i2,ik, j1, j2, jk分别为分别为 k阶子阶子式式N的行标和列标的行标和列标.63在在n阶行列式阶行列式 中，中，nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理任意取定任意取定k行行(1 k n),由这由这k行元素组成的

42、行元素组成的k阶子式阶子式N1, N2 ,V t 与它们的代数余子式与它们的代数余子式 的乘积之和的乘积之和等于等于D，即，即)(knCt ttANANAND 2211.的代数余子式的代数余子式是是其中其中iiNA641500310000430021 D解解例例7 7 计算行列式计算行列式66554433221121ANANANANANAND 行行展展、按按第第.3215164000001531432103000)1(00005310)1(04021030)1(04025010)1(03011030)1(03011531)1(4321)43()21()42()21()32()21()41()2

43、1()31()21()21()21( ）（）（65一般地一般地.000011111111111111111111nnnnkkkknnnnknnkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaa 66第第1.4节节 克莱姆法则克莱姆法则 下面以行列式为工具下面以行列式为工具,研究含有研究含有n个未知量、个未知量、n个个方程的方程的n元线性方程组的问题元线性方程组的问题.定理定理（克莱姆法则）（克莱姆法则） 如果如果n元线性方程组元线性方程组) 1 (22112222212111212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa, 0212222111211 nnnnnn

44、aaaaaaaaaD则方程组有惟一解则方程组有惟一解的系数行列的系数行列式式返回返回返回67)2(,2211DDxDDxDDxnn 其中其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式D中第中第j列的元素列的元素换成方程组的常数项换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的所构成的n级行列式级行列式,即即定理的结论有两层含义：定理的结论有两层含义：方程组（方程组（1）有解；）有解； 解惟一且可由式解惟一且可由式(2)给出给出.nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121, 221, 22111, 111, 111 68证证 首先证明方程组首先证明方程组(1)有解有解.事实上事实上, ,将将 代入第代入第i个方程的左端，再将个方程的左端，再将Dj按第按第j列展开列展开), 2 , 1(njDDxjj ), 2 , 1(2211njAbAbAbDnjnjjj 得得 iinninnininininiiiiininiininiinnnnninnninnininiibDbDAaAaAabAaAaAabAaAaAabAaAaAabDAbAbAbaAbAbAbaAbAbAbaDDDaDDaDDa 1)