线性代数之相似矩阵及二次型

1、-2-维向量维向量设有设有nTnTnyyyyxxxx),(,),(2121 xyyxyxyxyxyxTTnn 2211,. ,的的与与为为向向量量称称yxyx令令-3-;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( xxxxx有有时时且当且当著名的著名的Cauchy-Schwarz不等式不等式,2yyxxyx 即即 niiniiniiiyxyx121221 niiiiiiiytyxtxytx122220)()(2)(这由这由的判别式的判别式 易知易知.0 -4-非负性非负性. 1齐齐次次性性. 2三三角角不不等等式式. 3,22221nxxxxxx

2、. 或或的的维维向向量量为为称称xnx; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx (三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证不等式易证,见见P112)-5- . ,11为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yxyxyx ,arccos,0,02 时时当当 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角. ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交. ,0 与任何向量都正交与任何向量都正交则显然则显然若若xx -6- 若一个不含零向量的向量组若一个不含零向量的向量组 中的向中的向量两两正交量两两正交: , 则称该向量组为则称该向量组为正正交向量组交

3、向量组. 又如果这些向量都是单位向量又如果这些向量都是单位向量: ,则称该向量组为则称该向量组为规范正交向量组规范正交向量组. 若该向量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基的基, 又分别称又分别称为向量空间为向量空间 V 的的正交基正交基和和规范正交基规范正交基. )(0,jiji r ,211 i -7- 100,010,001321eee是向量空间是向量空间R3的一个规范正交基的一个规范正交基(通常称为自然基通常称为自然基).-8-(P112 定理定理1), 0021111 T由由.01 从而有从而有. 02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有又

4、又r ,2102211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T ,r21 设设 是正交向量组是正交向量组正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.-9-例例1(P115 例例3)00200032132121 AxxxxxxxxxTT 解解这相当于要求下面齐次方程组的非零解这相当于要求下面齐次方程组的非零解 12111121TTA 求得基础解系求得基础解系(即为所求即为所求)为为 1013 121,11121 已知已知 中两个正交向量中两个正交向量3R试求试求 使使 构成构成3 321 ,的一个正交基的一个正交基.3R-10- 设设 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基(坐标

5、系坐标系),如如何求何求 V 的一个规范正交基的一个规范正交基(坐标系坐标系)?r ,21这个问题就是这个问题就是找与找与 等价的正交向量组等价的正交向量组r ,21r ,21-11-11 ,1112122 111122221111, rrrrrrrrr 222321113133, 设设 线性无关线性无关r ,21令令则则 两两正交两两正交, 且与且与 等价等价.r ,21r ,21?111/ 222/ rrr / 是与是与r ,21等价的规范正交组等价的规范正交组施密特正交化过程施密特正交化过程-12-例例3TTTaaa)1, 1 , 5 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1

6、 , 1 , 1(321 Tab1 , 1 , 1 , 111 1112122,bbbabab TT1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 T3 , 1, 2, 0 求求 的一个规范正交基。的一个规范正交基。),span(321aaa222321113133,bbbabbbbabab TTT3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 T0 , 2, 1 , 1 易知易知 线性无关线性无关, 由施密特正交化过程由施密特正交化过程321,aaa-13-再单位化再单位化 111121111bb 3120141222bb 021161

7、333bb -14- ,为为则称则称满足满足阶方阵阶方阵若若AEAAAnT . cossinsincosA)1,(2 TnTREH例例4验证验证(1)旋转矩阵是正交矩阵旋转矩阵是正交矩阵(2)镜像矩阵是正交矩阵镜像矩阵是正交矩阵 (P40 例例8)-15-定义A是是n n阶方阵阶方阵, ,若若 是是正交矩阵正交矩阵A称称EAAT 性质2A的列的列( (行行) )向量组为正交单位向量组向量组为正交单位向量组是正交矩阵是正交矩阵A1 AAT性质性质1 是是正交矩阵正交矩阵则则A可逆且可逆且A设设性质性质3 设设 A、B 都是正交矩阵，都是正交矩阵， 则则 AB 也是正交矩阵。也是正交矩阵。EAAT

8、 jiji , jiji, 1, 0即即 A 的的 n 个列向量是单位正交向量组。个列向量是单位正交向量组。性质性质4 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则 AA与与1也是正交矩阵。也是正交矩阵。性质性质5 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则. 1 A-16-矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：工程技术中的振动问题和稳定性问题工程技术中的振动问题和稳定性问题;经济管理中的主成分分析经济管理中的主成分分析(PCA);数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性;图像图像(信息信息)处理中的压缩存取处理中

9、的压缩存取.本章主要涉及在矩阵理论中非常重要的矩阵本章主要涉及在矩阵理论中非常重要的矩阵相似对角化相似对角化问题问题.-17-设设A是是n阶方阵阶方阵, 如果数如果数 和和n维维列向量列向量x满足满足 则称则称 为为A的的, 非零向量非零向量x称为称为A的对应于的对应于( (或属或属于于) )特征值特征值 的的。 把把(1)改写为改写为0 AE (2)的所有非零解向量都是对应于的所有非零解向量都是对应于 的特征向量的特征向量. 是是A的特征值的特征值)1(xAx )2(0)( xAE -18-nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)(nnnnnnncccc)1()1(1

10、12211 称为称为 A 的的特征多项式特征多项式，而，而 称为称为 A 的的特征方程特征方程。0)( AEf -19-nnnaaa 221121)1( An 21)2(P117).)tr(2211迹迹称为称为AaaaAnn def nAA ,0321 可可逆逆-20-特征值、特征向量的求法（特征值、特征向量的求法（会求！会求！）1 1、特征值的求法、特征值的求法个个特特征征值值的的就就是是，的的根根nAAEn 210 2 2、特征向量的求法、特征向量的求法 riiXAE , 0,1得基础解系得基础解系解解对特征值对特征值 所所对对应应的的特特征征向向量量为为i 不不全全为为零零rrrkkkk

11、,111 -21-解：解：第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值的特征方程，求出特征值.例：例： 求矩阵求矩阵的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量.110430102A AE 1104300102 2210特征值为特征值为1232,1第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组代入齐次线性方程组 0,AE x 求非零解。求非零解。-22-齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，12 20AE x系数矩阵系数矩阵 3102410100AE 100010000自由未知量自由未知量:3x120 xx令令 得基础解系得基础解系:31x 1001p 111(

12、0k p k常数常数)是对应于是对应于12 的全部特征向量。的全部特征向量。-23-齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，231 0AE x 210420101AE 10101200013232xxxx 得基础解系得基础解系2121p 222(0k p k常数常数)是对应于是对应于231的全部特征向量。的全部特征向量。-24-例例5 (P120 例例8) 结论要记住，会用！结论要记住，会用！设设 是方阵是方阵 A 的特征值的特征值, 对应的一个特征向量对应的一个特征向量 xxkxkAxAx)()()1( xxAxxAAxAxA22)2( 证明证明 (1) 是是 kA 的特征值，对应的特

13、征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。 k(2) 是是 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。2 2A(3) 当当 A 可逆时，可逆时， 是是 的特征值，对应的的特征值，对应的1 1 A特征向量仍为特征向量仍为 x。证证 xxAxAxAAxA 1)3(1111 -25-：设设 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， 则则 是是 的特征值。的特征值。k kAmmaaaa 2210)(mmAaAaAaEaA 2210)( 的特征值。的特征值。是是-26-3,AA 设设的的一一个个特特征征值值为为 ，是是相相应应的的特特征征向向量量，则则2 2 11*211323444

14、565AEAAAAAA 的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为的的一一个个特特征征值值为为 1322182481322A5 .1921252设设A A是一个方阵是一个方阵 102030,kAEAA 如如果果，则则的的一一个个特特征征值值为为如如果果，则则的的一一个个特特征征值值为为如如果果则则的的特特征征值值必必为为 -10000kkA -27-例例6(P120 例例9)设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为2 , 1, 1 求求EAA23 解解 A的特征值全不为零，故的特征值全不为

15、零，故A可逆。可逆。112 AAAA, 2321 AEAAEAAA23223)(1 的三个特征值为的三个特征值为)3 , 2 , 1(232)(1 iiii 计算得计算得3)2(, 3)1(, 1)1( 93)3()1(23 EAA因此，因此，-28-例例7(P135 习题习题9)，设设OEAA 232证明证明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2.设设 是是A的特征值，则的特征值，则 EAAA23)(2 的特征值为的特征值为23)(2 由于由于 是零矩阵，其特征值全是零，故是零矩阵，其特征值全是零，故)(A 21023)(2 或或-29-设设A，B都是都是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可

16、逆矩阵P，使，使BAPP 1则称则称B是是A的相似矩阵，或说矩阵的相似矩阵，或说矩阵。记为。记为AB。称称P为相似变换矩阵。为相似变换矩阵。 如果如果A与对角矩阵相似与对角矩阵相似，则称，则称A是是。-30-性质性质 （记住、会用）（记住、会用）)tr()tr(BA (1) 相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系;(2) A与与B相似相似, 则则r(A)=r(B);(3) A与与B相似相似, 则则 ; 从而从而A与与B有相同的特征值有相同的特征值;(4) A与与B相似相似, 则则 ;(5) A与与B相似相似, 则则 ;BEAE BA -31-例例1 xA10100002 12yB(1)

17、与与相似，相似，求求x与与y和和A的特征值。的特征值。 11322002aA bB21(2) 与与相似，相似，求求a与与b。解解 (1) , )tr()tr(BA BA yyx22122 10yxA的特征值等于的特征值等于B的特征值为：的特征值为：1,1,2 -32-2 ba2, 0 ba(2)2)tr()tr( baBA2 baBAAaAAEfA )4()(tr)(23BEfB )(BbB )2()(tr23 11322002aA bB21-33- APP1 1 2 n 下面讨论对角化的问题下面讨论对角化的问题n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A有有n个线性无关个线性无

18、关的特征向量。的特征向量。(P123定理定理4 （重要（重要)-34- n 阶矩阵阶矩阵 A 如有如有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则A 一定可一定可对角化。对角化。(P123定理定理4下下)-35-例例2(P125 例例11) 00111100 xA问问 x 为何值时，为何值时，A 可对角化？可对角化？ 11)1(011110 xAE2)1)(1( 11 是单重根，恰有一个特征向量是单重根，恰有一个特征向量(不需讨论不需讨论)。132 是二重根，是二重根，A可对角化可对角化123)r(2 AE 00010010110101101xxAE1 x-36-例例3(P135 习题习题17)

19、100,340430241AA求求 提示：提示：A 可对角化可对角化 5511APP.,)(312112 APPPPPPA1 PPA-37-对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.(P124 定理定理6) 对称矩阵的特征值必为实数。对称矩阵的特征值必为实数。(证明自学证明自学)从而特征向量可取到实的。从而特征向量可取到实的。(P124 定理定理5)-38-如果如果A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A必可用正交必可用正交矩阵对角化。矩阵对角化。（重要）（重要） 即设即设A是对称矩阵是对称矩阵, 则存在正交矩阵则存在正交矩阵Q使得使得 AQQAQQT1 1 2

20、 n (P124定理定理7)-39-根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2. ;, 0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法（重要）利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法（重要）-40-例例1(P125 例例12) 011101110A把对称矩阵把对称矩阵 正交对角化。正交对角化。:求特征值。求特征值。 111111| AE 1111011)1( 21111001

21、)1( 2)1)(2( , 21 132 111101121 rr-41-:求线性无关的特征向量。求线性无关的特征向量。对对 ，解方程组，解方程组21 0)2( xAE求得基础解系求得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量) 1111 0001101012111211122AEr-42-132 对对 ，解方程组，解方程组0)( xAE 000000111111111111AEr求得基础解系求得基础解系(即最大无关特征向量即最大无关特征向量) 101,01132 1111 前面的前面的?,21 ?,31 ?0,32 -43-:检验重特征值对应的特征向量是否正交检验重特征值对应的特征向量是

22、否正交, 如果不如果不 正交正交, 用施密特过程正交化用施密特过程正交化, 再把正交的特征向再把正交的特征向 量单位化。量单位化。 101,01132 22 2112110121011,2223233 -44-:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。单位化：单位化： 11131111 01121222 21161333 则则 1121APPAPPT令令 ,3, 21 P 62316121316121310-45-46- nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为称为二次型二次型. .的

23、的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn, 121一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念-47-只含平方项的二次型只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkkxx111,称为二次型的称为二次型的。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形0 , 1, 1 221221rppxxxxf 称为二次型的称为二次型的。-48-,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是2111121211 nna xa x xa x x1 1用和号表示用和号表示22212111222(,)nnnnf xxx

24、a xa xa x.1,xxajinjiij 1212131311222nna x xa x xa x x2323242422222 nna x xa x xax x(1)12 nnnnaxx2211222222 nna x xa xax x21122nnnnnnna x xax xa x-49-2 2用矩阵表示用矩阵表示（重要）（重要）nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnn

25、nnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(-50-., 为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,-51-一般地，对于一般地，对于n维的二次型维的二次型)(ijjiaa njijiijnxxaxxxf1,21,AxxT 上式称为上式称为。也常记为也常记为 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA21212222111211,(对称对称)其中其中AxxfAxx

26、xfTT 或或)(-52-对称矩阵对称矩阵A叫做叫做;f 叫做叫做;AxxxfT )(-53-解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例-54- )1(,1,21 njijiijnxxaxxxf对给定的二次型对给定的二次型找可逆的线性变换找可逆的线性变换(坐标变换坐标变换)： nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111)(可逆可逆其中其中ijcC 代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形2222211nnykykykf 称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为标准形。-55-(P129 定理定理8) 总有总有任给二次型任给二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换fPyx, -56-用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型为标