1专题7选考模块

1、专题7选考模块一、极坐标方程1.直角坐标与极坐标的互化公式是什么?x=cos ,y=sin ;2=x2+y2,tan =yx(x0).2.常见的极坐标方程有哪些?(1)直线的极坐标方程:若直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(-0).(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程:直线过极点:=(R).直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴:cos =a.直线过点Mb,2(b>0)且平行于极轴:sin =b.(3)圆的极坐标方程:圆心位于极点,半径为r:=r.圆心位于点M(r,0),半径为r:=2rcos .圆心位于点Mr,2,半径为r:=2rs

2、in .二、参数方程1.圆、椭圆的参数方程分别是什么?(1)圆心为点M(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为x=x0+rcos,y=y0+rsin(为参数,0<2).(2)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为x=acos,y=bsin(为参数,0<2).2.将参数方程化为普通方程有哪些方法?要注意什么?将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等,一般需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.3.直线的参数方程是什么?你能说出参数t的几何意义吗?经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程

3、为x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数).设P是直线上的任意一点,则t表示有向线段P0P的数量.21坐标系与参数方程能力1用曲线极坐标方程解决问题【例1】(2019衡水模拟)在极坐标系中,已知曲线C1:=2与C2:cos-4=2交于A,B两点.(1)求两交点的极坐标;(2)求线段AB的垂直平分线l的极坐标方程.解析(1)C1:=2的直角坐标方程为x2+y2=4,因为C2的极坐标方程为cos-4=2,即cos +sin =2,所以曲线C2的直角坐标方程为x+y-2=0.由x2+y2=4,x+y-2=0,解得x=2,y=0或x=0,y=2,所以两交点的直角坐标为(0,2),(2,0),

4、化为极坐标为2,2,(2,0).(2)易知直线l经过点(0,0)及线段AB的中点(1,1),所以其方程为y=x,化为极坐标方程为=4(R).由极坐标方程求与曲线有关的交点、距离等几何问题时,若能用极坐标求解,可直接用极坐标求解;若不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.(2019太原一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数),曲线C2:x2+y2-2y=0.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:=(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0<<2时,求

5、|OA|2+|OB|2的取值范围.解析(1)曲线C1的普通方程为x22+y2=1,化为极坐标方程为cos22+2sin22-2=0,即2=21+sin2.曲线C2的极坐标方程为=2sin .(2)联立=(0)与C1的极坐标方程得|OA|2=21+sin2,联立=(0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2,则|OA|2+|OB|2=21+sin2+4sin2=21+sin2+4(1+sin2)-4.令t=1+sin2,则|OA|2+|OB|2=2t+4t-4,当0<<2时,t(1,2).设f(t)=2t+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,2<|OA|2+|OB

6、|2<5,故|OA|2+|OB|2的取值范围是(2,5).能力2用参数方程解决问题【例2】(2019郴州模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=2+2sin(为参数),直线l的参数方程为x=1-22t,y=22t(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求|PM|·|PN|的值.解析(1)直线l的参数方程为x=1-22t,y=22t(t为参数),消去参数t,得x+y-1=0.故直线l的普通方程为x+y-1=0

7、.曲线C的参数方程为x=2cos,y=2+2sin(为参数),利用平方关系,得x2+(y-2)2=4,则x2+y2-4y=0.令2=x2+y2,y=sin ,代入得曲线C的极坐标方程为=4sin .(2)在直线x+y-1=0中,令y=0,得点P(1,0).把直线l的参数方程代入圆C的普通方程,得t2-32t+1=0,设点M,N对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=1.由直线参数方程的几何意义,得|PM|·|PN|=|t1t2|=1.1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取

8、值条件求解.2.过定点P0(x0,y0),倾斜角为的直线参数方程的标准形式为x=x0+tcos,y=y0+tsin(t为参数),t的几何意义是P0P的数量,即|t|表示点P0到点P的距离,t有正负之分.对于形如x=x0+at,y=y0+bt(t为参数)的参数方程,当a2+b21时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.(2019厦门中学质检)已知曲线C的参数方程为x=2cos,y=2sin(为参数),直线l的参数方程为x=t2,y=2+3t(t为参数).(1)写出直线l与曲线C的普通方程;(2)设曲线C经过伸缩变换x'=x,y'=12y得到曲线C',过点F(3,0

9、)作倾斜角为60°的直线交曲线C'于A,B两点,求|FA|·|FB|.解析(1)直线l的普通方程23x-y+2=0.曲线C的普通方程为x2+y2=4.(2)由x'=x,y'=y2,得x=x',y=2y',代入曲线C的普通方程,得x'2+4y'2=4,即x'24+y'2=1.则曲线C'的方程为x24+y2=1,它表示椭圆.由题设,得直线AB的参数方程为x=3+t2,y=32t(t为参数).设点A,B对应的参数分别为t1,t2,将直线AB的参数方程代入x24+y2=1,得134t2+3t-1=0,则

10、t1t2=-413,故|FA|·|FB|=|t1|t2|=|t1t2|=413.能力3会解极坐标与参数方程的综合问题【例3】(2019河北“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=5cos,y=sin(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos+4=2,l与C交于A,B两点.(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设点P(0,-2),求|PA|+|PB|的值.解析(1)由曲线C的参数方程x=5cos,y=sin(为参数)消去,得其普通方程为x25+y2=1.因为直线l的极坐标方程为cos+4=2,即

11、cos -sin =2,所以直线l的直角坐标方程为x-y-2=0.(2)点P(0,-2)在直线l上,则直线l的参数方程为x=22t,y=-2+22t(t为参数),代入x25+y2=1,整理得3t2-102t+15=0,由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=1023.1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.2.数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用和的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.(2019湖南长郡中学联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为-2cos -6sin +1=0,直线l的参数方程为x=3+12t,y=3+32t(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,点P的坐标为(3,3),求|PA|+|PB|的值.解析(1)由曲线C的极坐标方程-2cos -6sin +1=0,可得2-2cos -6sin +1=0,可得x2+y2-2x-6y+1=0,则曲线C的直角坐标方程为