高考球的问题(教师总结赠送历年高考真题)(共15页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上“球迷”侃球 “三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其中有简单题，中等题有时也会有难题。它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡。可是这类问题缺乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这类问题有很强的规律性，若在平时

2、解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。下面我借助具体问题，谈谈对球的认识，希望能对大家有所启发。球的问题可以从以下四个角度考虑，直接找球心，化锥为体找球心，线面垂直找球心，作过球心的截面图。其中直接找球心比较简单，这里不做讲解，我主要谈后面几个问题。一、 化锥为体找球心总体思想：化锥（或柱）为体。这里的“锥”指的是特殊的棱锥（侧棱与底面垂直的棱锥，侧面与底面垂直的棱锥，正四面体等，“柱”指的是直棱柱，“体”指的是长方体（含正方体）。长方体（或正方体）与球有天然联系，长方体的中心是它的外接球的球心，长

3、方体的体对角线是球的直径。所以通常把几何体放在长方体中研究，把它看成长方体的一部分，用长方体过渡，寻找突破口。例(13辽宁理10)已知直棱柱的6个顶点都在球的球面上，若AB=3，AC=4，则球的半径为_分析：很显然2例已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，,AB=2,AC=1, 则球O的表面积为_16_分析：根据余弦定理由勾股定理故如图所示可以把几何体放在长方体中SB为球的直径即球的表面积二、线面垂直找球心总体思想：若面DAG过小圆的圆心，且与小圆所在的截面垂直则过A，D，G三点的圆是球的大圆，在大圆上由于所以它所对的弦DG为直径，弦中点O为球心例点A，B，D，C均在同一球面上，其中是正三角形

4、，AD=6，AB=3，则该球的体积为_分析：利用正弦定理外接圆半径球的直径球的体积例（09全国第15题）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_的外接圆的的直径所以球的直径，从而可知答案为二、 作过球心的截面图纵截面（2013全国新课标文15）已知是球的直径上一点，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_。 分析：用截面图（纵截面）分析：,，利用射影定理横截面（16新课标理10）在封闭的直三棱柱ABC-内有一个体积为V的球。若，AB=6，BC=8，则V的最大值是（B）A、 B、 C、 D、分析：要想球的体积最大，则球与柱的三个侧面相切，或与两底面相切若为前者：作出

5、横截面 此时球在柱外不合题意若为后者，数学高考是选拔性考试，所以高考以基础题为主，注重通式通法，力主“淡化运算技巧”，但同时提倡“优化解题路径”。所以它给懒惰的人以教训，给勤奋的人以出路，给聪明的人以捷径。在数学学习的过程中并非一路坦途，不过山高自有客行路，水深必有渡船人。在此我相信并祝愿同学们能智慧的应对学习中各种问题，寻找到更多更好的方法，绝处逢生，柳暗花明，学海不苦，书山有路。10.6 球一、球心与小圆圆心连线与小圆面垂直例（04全国4）已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心到平面ABC的距离为（ A ）A1BCD2提示:用正弦定理求三角形外接圆

6、半径例（09全国一）15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_练习（05全国一）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（B）（A）（B）（C）（D）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，则此球的表面积等于_.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=3，BC=2，则棱锥O-ABCD的体积为（）某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( B ) A B C D注：利用正弦定理求外接圆半径（一般为正三角形或等腰三角形）在表面积为的球面上有A,B,C三点,AC=2A

7、B,球心O到平面ABC的距离是,则三棱锥O-ABC的体积是( D)A、 B、 C、8 D、4（94全国）(13) 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( D )(A) (B) (C) 4(D) （04辽宁）10设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（A）ABCD已知某几何体的三视图(单位:m)如图所示，则这个几何体的外接球表面积（单位：）等于（B）A、 B、 C、 D、已知正四棱锥OABCD的体积为54，底面边长为，则正四棱锥OABCD的外接球的表

8、面积为 .已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，S在内的射影点为的中心点D，且SD=3，则三棱锥外接球表面积_16_已知的三个顶点在同一球面上，AB=1，AC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的体积为_球O的半径R=13，球面上有三点A，B，C，AC=BC=12，则四面体的体积是（）、注：球心在小圆面上的射影是小圆的圆心，也是小圆面内接三角形外心,利用正弦定理求外接圆半径三棱锥P-ABC,若PB=2AB=2BC=4,AC=3,PA=PC=,则该三棱锥外接球表面积为_二、化锥(柱)为体找球心在平行四边形ABCD中，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-B

9、CD的外接球的表面积为（A） A、 B、 C、 D、已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 12，AB =2，AC =1，BAC=60°，则此三棱柱的体积为 _ _（95全国）正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( B )(A) (B) (C) 2a2(D) 3a2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C)A B C D(2015葫芦岛二模)10.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA平面ABCD，且SA=2,则此四棱锥的外接球的表面积为DCDD DA12p

10、 B24p C144p D48p例(13辽宁)已知直棱柱的6个顶点都在球的球面上，若AB=3，AC=4，则球的半径为_例（03全国）12一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）A3B4C3D6提示:化锥为体例已知三棱柱的个顶点都在球的球面，则球的半径为C (A) (B) (C) (D) (12辽宁)已知正三棱锥，点P，A，B，C都在半径的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直且相等，则截面ABC的面积为_（91全国）在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa那么这个球面的面积是_21、(2014辽南协作体二模) 11、设

11、A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足ABAC、ADAC、ABAD，则的最大值是_8_A、4 B、8 C、12 D、16.一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为 (A) (B) (C) (D)三、线面垂直找球心例已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，,AB=2,AC=1, 则球O的表面积为_16_注：化锥为体找球心也行例点A，B，D，C均在同一球面上，其中是正三角形，AD=6，AB=3，则该球的体积为_例已知三棱锥P-ABC中，PA面ABC，为等腰直角三角形，AC=2AB=4，则三棱锥外接球表面积为BA、 B、 C、 D、

12、AD=6，AB=3，则该球的体积为_22(2015河南模拟)（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（） A B C D 已知三棱锥，在底面中，则此三棱锥的外接球的表面积为（D ）A B. C. D. 已知直三棱柱的6个顶点都在直径为球的球面，且，则三棱柱的的体积为72(2015桂林十八中)15. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, 平面，,则该球的表面积为_32_。(2014葫芦岛二模)如图所示，一个三棱锥的三视图中，其俯视图是正三角形，主视图及左视图的轮廓都是直角三角形，若这个三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（

13、）答案.四、面面垂直找球心四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为D A B C D15如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 .图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为已知如右图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直,，则球的表面积为 五、截补法求体积4、(11辽宁)已知球的直径SC=4，A，B是该球面上的两点，AB=，则棱锥的体积为_半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A-BCD的体积为（A）A

14、、 B、 C、 D、已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC为球O的直径，且，为等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为8、（12年新课标）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ A ） 注：六、最值问题点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=，AC=2若四面体ABCD体积最大值为，则这个球的表面积为_ 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球O在同一球面内，当此四棱锥体积最大时它的表面积等于，则球O的体积等于_【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球

15、面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为的球，则三棱柱的体积的最大值为 1 .注：导数求最值七、正四面体与正棱锥外接球与内切球正棱锥在三棱锥A-BCD中，底面BCD的边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为，则三棱锥外接球体积为（07陕西）6一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ C ）ABCD已知正四棱锥OABCD的体积为54，底面边长为

16、，则正四棱锥OABCD的外接球的表面积为 .体积为的球放置在棱长为4的正方体上， 且与上表面相切，切点为该表面的中心， 则四棱锥的外接球的半径为_；已知三棱锥A-BCD中平面ACD，AC=AD=2，AB=4，CD=，则三棱锥A-BCD外接球的表面积与内切球表面积的比为（C）A、 B、8 C、24 D、正四面体例已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球表面积为，内切球的表面积为，则的值为CA B C9 D注：正四面体外接球与内切球半径比为3:11、一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体 在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 2、一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点做球的截面，则该截面圆面积是八、直接找球心15已知边长为的菱形中，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为_.九、直棱柱的内切球（14湖南理）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（B）A、1 B、2 C、3 D、4一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为 （ D ）ABCD十、最值问题已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射