第10讲----数阵图(二).

1、第 10 讲 数阵图和幻方（二）幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题。传说公元前二千多年， 在大禹治水的时候， 在黄河支流洛水浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案， （如图 1），后来人们把它称之为 “洛书”、相传在我国远古的时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇的图案，这就是所谓的 “河图”，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。一般地，在 nn（n 行 n 列）的方格内，不重不漏填上 nn个连续自然数，并且每行、每列、每条对角线上 n 个自然数的和都相等，则称它为 n 阶幻方

2、 。这个和叫做 幻和， n 叫做阶。幻方又叫 魔方，九宫算或纵横图 。魔方：我国的纵横图通过东南亚国家，印度、阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫作 Magic Square ，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。九宫算：所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格。每个小方格分别填入从1 到 9 这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和） ，两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相相等，这样得到的图就叫九宫（算）图。纵横图：长期以来，纵横

3、图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的续古摘奇算法一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。（定中间数，填四角数，算其余数 ）三阶幻方：就是将九个连续自然数填入 33（三行三列）的方格内，使每行每列、每条对角线的和相等，这叫做 三阶幻方 。奇数阶幻方：“罗伯法”“楼贝法”西欧在十六，十七世纪时，构造幻方非常盛行。十七世纪，法 E 路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣， 他专门派 De La Loub

4、ere （楼贝）出使泰国（1687-1688）， Loubere ：将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时左边放，排重便在下格填，右上排重一个样。扬辉方法： 扬辉在续古摘奇算法 中，写到“九子排列， 上下对易， 左右相更，四维挺出”杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图 1-9-3 ）。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构

5、造方法。如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。但可惜的是， 杨辉只停留在个别纵横图的构造上， 没有上升成一般的理论。 他所造出的百子图，虽然每一行和，每一列都等于（ 1+2+3+ 97+98+99+100）=505，但两对角和不是等于 505，直到我国清代的张潮（ 165？）费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是 505 的百子图。偶数阶幻方：对称交换的方法。1、将数依次填入方格中，对角线满足要求。2、调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调。3、调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。数阵图： 把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。1

6、、封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式， 通过以最小值到最大值的讨论， 来确定每条边上的几个数之和， 再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数， 其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。 （ 1 6）2、辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式， 通过整除性的讨论， 确定出中心数的取值， 然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和， 确定边上其他的数。（ 1 9 和相等）3、复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。 （17，和相等）典型举例 1将

7、18 这八个数分别填入右图的中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1 次，所以两个重叠数之和为21 2-(1+2+8)=6 。在已知的八个数中，两个数之和为 6 的只有 1 与 5， 2 与 4。每个大圆上另外三个数之和为 21-6=15。如果两个重叠数为 1 与 5，那么剩下的六个数 2，3，4，6，7，8 平分为两组，每组三数之和为 15 的只有2+6+7=15和 3+4+8=15，故有左下图的填法。如果两个重叠数为2 与 4，那么同理可得上页右下图的填法。练习 11、把 16 六个数字填入下图，使每个大圆上四个数字之和都是16。2、把 2、4、6、8

8、、10、12、14、16 这八个数分别填入下图，使每个大圆内五个数的和都是 44。典型举例 2将 16 这六个自然数分别填入右图的六个内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于 11。解：本题有三个重叠数， 即三角形三个顶点内的数都是重叠数， 并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于11 3-(1+2+6)=12。16 中三个数之和等于12 的有 1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三个重叠数是 1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于 11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是 16，不合题意。同理，三个重叠数也不能是3，4，5。经试验，当重叠数是2，4，6 时，可以得到符合题意的填法

9、( 见右上图 ) 。练习 2将 38 这六个数分别填入下图中，使得每条边上的三数之和都是15。典型举例 3将 16 这六个自然数分别填入下图的六个中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。解：与典型举例 2 不同的是不知道每边的三数之和等于几。 因为三个重叠数都重叠了一次，由 (1+2+ +6)+重叠数之和 =每边三数之和 3，得到每边的三数之和等于(1+2+6)+ 重叠数之和 3=(21+重叠数之和 ) 3=7+重叠数之和 3。因为每边的三数之和是整数， 所以重叠数之和应是 3 的倍数。考虑到重叠数是 16 中的数，所以三个重叠数之和只能是 6，9，12 或 15，对应的每条边上的三数之和就

10、是 9， 10，11 或 12。与例 2 的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和 =9 每边三数之和 =10 每边三数之和 =11 每边三数之和 =12典型举例 4将 29 这八个数分别填入右图的里，使每条边上的三个数之和都等于18。解：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是1 次。所以四个重叠数之和等于18 4-(2+3+9)=28。而在已知的八个数中，四数之和为28 的只有：4+7+8+9=28或 5+6+8+9=28。又由于 18-9-8=1 ， 1 不是已知的八个数之一，所以，8 和 9 只能填对角处。由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意。说

11、明：以上例题都是封闭型数阵图。一般地，在 m边形中，每条边上有n 个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。与“辐射型 m-n 图只有一个重叠数， 重叠次数是 m-1”不同的是， 封闭型 m-n 图有 m个重叠数，重叠次数都是 1 次。对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和 +重叠数之和=每边各数之和边数。由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题。前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图， 虽然大多数数阵问题要比它们复杂些，但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析，就能解决很多数阵问题。练习 41、将 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数分别填入下面的图里，使得每条边上的三个数

12、之和是 12。2、将 29 这八个数填入下图，使每条边上的三个数的和都等于16。典型举例 5把 17 分别填入左下图中的七个空块里， 使每个圆圈里的四个数之和都等于13。解：这道题的“重叠数”很多。有重叠 2 次的 ( 中心数，记为 a) ；有重叠 1 次的 ( 三个数，分别记为 b， c， d) 。根据题意应有(1+2+7)+a+a+b+c+d=133，即 a+a+b+c+d=11。因为 1+2+3+4=10， 11-10=1，所以只有 a=1， b，c，d 分别为 2， 3， 4 才符合题意，填法见右上图。练习 5在下面圆圈内的空白处填入7、8、10、12，使每个院内的四个数的和都相等。4

13、61典型举例 6把 19 这九个数填入下图的方格中 ，并使每一行、每一列和对角线上的数的和都相等解：方法一：（ 1）先填中心数，把19 按从小到大顺序排成一排，第五个数填在中心格。（ 2）将剩下的八个数排成两排，第一排为1、2、 3、 4、第二排为 8、7、6、5即12348765（ 3）根据两排数字填上四个角，四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数，这两列数字按对角填。（ 4）用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。方法二：（ 1） 将这 9 个数字按照如下方式排列：1243576 89（ 2） 上下两个数互换：9243576 81（ 3）左右两个数互换：9247536 81（ 4

14、）填入表格即可。练习 61、将 20 28 填入九宫格中，使每行、每列、两条对角线的和相等。1、将 17 25 填入九宫格中，使之成为一个三阶幻方。A 基础训练1. 把 18 填入下页左上图的八个里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。2. 把 16 这六个数填入右上图的里， 使每个圆圈上的四个数之和都相等。3. 将 18 填入左下图的八个中，使得每条边上的三个数之和都等于15。4. 将 18 填入右上图的八个中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。5. 将 17 填入右图的七个，使得每条直线上的各数之和都相等。6. 把 1，3，5，7，9，11，13 分别填入左图中的七

15、个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于 34。答案与提示 练习 17每个圆周的四数之和 =12 每个圆周的四数之和 =13每个圆周的四数之和 =14每个圆周的四数之和 =15 每个圆周的四数之和 =163. 提示：四个顶点数之和为 154(1 2 8)=24 ，四个顶点数有 3，6，7，8 和 4，5，7，8 两种可能。经试验只有左下图一个解。4. 提示：每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于(1 2 8) 7 18。填法见右上图。 ( 填法不唯一 )5. 提示：顶上的数重叠 2 次，其它数都重叠 1 次。 (1 2 7) 2顶上数 =每条线上的和 5，56顶上数 =每条线上的和 5。由上式

16、等号左端是 5 的倍数，推知“顶上数” =4。所以每条线上的三个数之和为(56 4) 512。经试验填法如上图。 ( 填法不唯一 )6.与例 5 类似(见上图 )。B 冲刺夺冠1. 把 18 这 8 个数 , 分别填入图中的方格内 ( 每个数必须用一次 ), 使“十一 ”三笔中每三个方格内数的和都相等 .2. 把 111 这 11 个数分别填入如下图 11 个内 , 使每条虚线上三个内数的和相等 , 一共有几种不同的和 ?3. 在下图中的几个圈内各填一个数 , 使每一条直线上的三个数中 , 当中的数是两边两个数的平均数 , 现在已经填好两个数 , 那么 x ( ).x13174. 在图的每个圆

17、圈内填上适当的质数 ( 不得重复 ), 使每条直线上三个数的和相等 , 且均为偶数 .5. 图有五个圆 , 它们相交相互分成 9 个区域 , 现在两个区域里已经填上 10 与 6，请在另外七个区域里分别填进 2.3.4.5.6.7.9 七个数 , 使每圆内的和都等于 15.1066. 10 个连续的自然数中第三个的数是 9, 把这 10 个数填入图中的 10 个方格内 , 每格填一个数 , 要求图中 3 个 22 的正方形中 4 个数之和相等 , 那么这个和最小值是 _.7. 将 110 这十个数分别填入下图中的十个内 , 使每条线段上四个内数的和相等 , 每个三角形三个顶点上内数的和也相等

18、.8. 把 116 这 16 个数 , 填入图中的 16 个内 , 使五个正方形的四个顶点上内数的和相等 .9. 将 1-12 这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里 , 使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和 26.10. 在图中的空格中填入四个数 , 使每个横行 , 每个竖行的三个数的积都相等 .90 20365011. 在图中分别填入 1, 1, 2, 3和 1 , 2 , 4 , 7 , 8 ,使每横行,每竖列,每斜3555 1515151515行的三个分数之和都相等.12. 把 112这十二个数 , 填入下图中的 12 个内 , 使每条线段上四个数的和相等 , 两个同心圆上的数的和也相等 .13. 将 15 这五个数填入下图中 , 使每