线性代数概念、性质、定理、公式整理.

1、概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r ( A)nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为 0A0Ax只有零解x， AxRn , Ax总有唯一解AT A是正定矩阵AEAp p2psp 是初等阵1i存在 n阶矩阵 B,使得 ABE或AB E注n ：全体 n 维实向量构成的集合R 叫做 n 维向量空间 .A不可逆r ( A)nA 0A的列（行）向量线性相关0是 A的特征值Ax有非零解 , 其基础解系即为 A关于r (aEbA)n注(aEbA) x有非零解 aE bA=-ab向量组等价矩阵等价 ()具有反身性、对称性、传递性矩阵相似 ()矩阵合同 () 关于 e1 , e

2、2 ,en ：称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量 e , e ,e 线性无关；12n0的特征向量p教材 87 ； e1 , e2 , , en 1； trE=n ；任意一个 n 维向量都可以用e1, e2 , en 线性表示 .a11a12a1n行列式的定义 D na21a22a2n(1) ( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anj nj1 j2jnan1an2ann 行列式的计算：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.AOAAOOB=

3、BA BOB（拉普拉斯展开式）若 A与 B 都是方阵（不必同阶） , 则AAO=BO( 1)mn A BBO上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.a1nOa1na2n 1a2 n 1n( n1)关于副对角线：(1)2a1n a2 nan1 （即：所有取自不同行不an1Oan1O同列的 n 个元素的乘积的代数和）111x1x2xn范德蒙德行列式：x12x22xn2xix j1 j inx1n 1x2n 1xnn 1a11a12a1n矩阵的定义由 mn 个数排成的 m 行 n 列的表 Aa21a22a2n称为 m n 矩阵 . 记作： A aij或 Am nm nam1am2amn

4、A11A21An1伴随矩阵A*AijTA12A22An2， A 为A 中各个元素的代数余子式 .ijA1nA2nAnn 逆矩阵的求法 :Aab11db主换位 A1注A ：cdadbcca副变号(A E)初等行变换(E A1)a11111a1a1a3a21a21a2a3a2a311a3a1 方阵的幂的性质：Am AnAmn( Am )n( A) mn 设 Amn , Bns, A 的列向量为1 ,2 , ,n , B 的列向量为1 ,2 ,s ，b11b12b1s则 ABCm1 ,2 ,b21b22b2sc1 , c2 , csA i ci， (i1,2 , s)i 为snbn1bn2bnsAx

5、ci 的解A1,2 ,sA1, A2 , Asc1 , c2 ,csc1,c2 , cs 可由 1 ,2 , ,n 线性表示 . 即： C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵 .同理： C 的行向量能由B 的行向量线性表示，AT 为系数矩阵 .a11a12a1n1c1a11 1a12 2a1 n 2c1即：a21a22a2 n2c2a21 1a22 2a2n 2c2an1an2amnncmam1 1am 2 2amn 2cm 用对角矩阵左 乘一个矩阵 ,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；乘一个矩阵 ,向量 .用对角矩阵右相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列 两

6、个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.ABTC T 分块矩阵的转置矩阵：ATCDBTD TA111B 1分块矩阵的逆矩阵：AABB 1BA 1A C11A1CB11A 1OAA OO BOBC BB1CA1BA11B11A11B11nAn分块对角阵相乘：A, BAB,A11B22A22B22A22nA22A*BA*(1)mn A B分块对角阵的伴随矩阵：ABAB*B(1)mn B A 矩阵方程的解法 (A0 ) ：设法化成 (I)AXB或(II)XA B(I) 的解法：构造 ( A B)初等行变换(E X)(II) 的解法：将等式两边转置化为 AT X T BT，用(I) 的方法求出

7、 X T，再转置得 X 零向量是任何向量的线性组合 , 零向量与任何同维实向量正交 .单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关 , 整体必相关；整体无关, 部分必无关 .（向量个数变动）原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关 .（向量维数变动）两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材 114 .向量组1, 2,n 中任一向量i (1 i n) 都是此向量组的线性组合 .向量组1, 2,n 线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n 1 个向量线性表示 .向量组 1, 2,n 线性无关向量组中每一个向量i 都不能由其余 n1 个向量线性

8、表示 .m 维列向量组1,2 ,n 线性相关r ( A)n ；m 维列向量组1 ,2 ,n 线性无关r ( A)n .若1,2,n 线性无关，而1, 2, n ,线性相关 , 则 可由 1, 2, n 线性表示 , 且表示法唯一 .矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 . 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0 时，称为行最简形矩阵? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩 , 且不改变列向量间的线性关系；矩阵的

9、列初等变换不改变矩阵的秩 , 且不改变行向量间的线性关系 .即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 A 施行一次初等 行 变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵 左 乘 A ；对 A 施行一次初等 列 变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵 右 乘 A .矩阵的秩如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r1 阶子式均为零，则称矩阵A的秩为 r . 记作 r ( A)r向量组的秩向量组1 ,2 , ,n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩. 记作 r ( 1 ,2 , ,n )矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B. 记作：A B向量组等价1,2

10、,n 和1, 2, n 可以相互线性表示. 记作：1 , 2 , , n1, 2, n? 矩阵A与B等价PAQB ， P, Q 可逆r ( A)r (B), A, B为同型矩阵A, B 作为向量组等价, 即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵 A 与 B 作为向量组等价r ( 1 , 2 ,n )r ( 1, 2 ,n )r ( 1,2 ,n , 1 , 2 ,n )矩阵 A与 B等价.?向量组1,2 ,s 可由向量组1 ,2 ,n线性表示AXB 有解r ( 1 , 2 , n )= r ( 1 , 2 ,n , 1, 2 , s)r ( 1, 2 , s) r ( 1, 2 , n ) .?向量

11、组1,2 ,s 可由向量组1 ,2 ,n线性表示 , 且 s n ，则1 ,2 ,s 线性相关 .向量组1,2 , s 线性无关 , 且可由1,2 , n 线性表示 , 则 s n .?向量组1,2 ,s 可由向量组1 ,2 ,n线性表示 , 且 r ( 1 ,2 ,s )r (1 ,2 , , n ) , 则两向量组等价；p教材 94, 例 10?任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.?若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等.? 设 A 是 mn 矩阵 , 若 r ( A)m ， A 的

12、行向量线性无关；若 r ( A)n ， A 的列向量线性无关 , 即： 1 , 2 , n 线性无关 . 矩阵的秩的性质：若AOr ( A) 1若A Or ( A)00 r ( Am n ) min( m, n)()(T) (T)rArArA Ap例15教材 101,r (kA)r ( A)若k0若Am n, Bn s ,若 r ( AB)0r ( A) r (B)n的列向量全部是Ax的解B0 r ( AB) min r ( A), r ( B)若 可逆r ( AB)r (B)A即：可逆矩阵不影响矩阵的秩 .若 可逆r ( AB)r ( A)BAx只有零解若 r ( Am n )nr ( AB

13、) r ( B)；在矩阵乘法中有左消去律ABOBOAABACBC若 r (Bns)nr ( AB)r (B)在矩阵乘法中有右消去律 .B若 ()与唯一的ErOErO等价标准型 .等价，称为矩阵 的rArAOOOOA r ( AB) r ( A)r ( B)max r ( A), r ( B) r ( A, B) r ( A)r ( B) p教材 70AOOA()()AC()( )rBBrAr BrBr Ar BOOOn可由1 , 2 ,n 线性表示Ax有解r ( A)r ( A)nr ( A)r ( A)不可由1 , 2 ,n线性表示Ax无解r (A)r ( A)r ( A)1r ( A)Ax

14、有无穷多解其导出组有非零解注 ：Ax有唯一解其导出组只有零解Ax有无穷多解当 A为方阵时A 0表示法不唯一1 ,2 , n 线性相关Ax0有非零解Ax有唯一组解当A为方阵时A 0 克莱姆法则表示法唯一1,2 , n线性无关Ax只有零解教材72讲义87线性方程组的矩阵式Ax向量式x1 1x22xnna11a12a1 nx1b11 ja21a22a2nx2b22 j1, 2, , nA, x,j, jam1am 2amnxnbmmjx1(1, 2,n )x2xn矩阵转置的性质：(AT )T矩阵可逆的性质：(A1)1伴随矩阵的性质：( A )n若 r ( A)nr ( A )1若 r ( A) n

15、10若 r ( A)n 1A( AB)TBTAT(kA)TkATATA(AB) 1B1 A 1(kA) 1k 1 A 1A 1n 2( AB)B A(kA)k n 1 AAA AABA BkAk n AAkA1An 1AkA(A B)TATBT(A 1)T(AT) 1(AT ) (A )T( AB) 1A 1B 1( A 1 )k( Ak ) 1A k( AB)*A*B*( A1)( A )1A( Ak ) ( A )kAABABAAAAAE（无条件恒成立）(1)1 , 2 是 Ax的解 ,12也是它的解(2)是 Ax的解 , 对任意 k, k 也是它的解齐次方程组(3)1,2 ,k是 Ax的

16、解 , 对任意 k个常数1 ,2 , k ,1 122kk也是它的解线性方程组解的性质：(4)是 Ax的解 , 是其导出组 Ax的解 ,是 Ax的解(5)1, 2是 Ax的两个解 ,12 是其导出组 Ax的解(6 )2是 Ax的解 ,则1也是它的解12是其导出组 Ax的解(7)1,2 ,k是 Ax的解 ,则1 12 2k k也是 Ax的解12k11 12 2k k是 Ax0的解12k0 设 A 为 mn 矩阵 , 若 r ( A)mr ( A) r ( A)Ax一定有解，当 mn 时 ,方程个数未知数的个数一定不是唯一解向量维数向量个数, 则该向量组线性相关 .m 是 r ( A)和r ( A

17、)的上限.判断 1,2, s 是 Ax的基础解系的条件：1, 2,s 线性无关；1, 2,s 都是 Ax的解； s n r ( A) 每个解向量中自由未知量的个数 . 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是 Ax的一个解， 1, , , s 是 Ax的一个解1, , , s , 线性无关 Ax与 Bx同解（ A, B 列向量个数相同）, 则： 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 两个齐次线性线性方程组Ax与 Bx同解A()().rrArBB 两个非齐次线性方程组Ax与 Bx都有解，并且同解A()().rrArBB 矩阵

18、Am n与 Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax与 Bx同解PA B （左乘可逆矩阵P ）； p教材101矩阵 Am n与 Bl n的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵Q ） . 关于公共解的三中处理办法：把 (I) 与 (II)联立起来求解；通过 (I) 与 (II)各自的通解，找出公共解；当 (I) 与 (II)都是齐次线性方程组时，设1,2,3是 (I) 的基础解系 ,4 ,5 是(II)的基础解系，则(I) 与(II) 有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即： r ( 1 , 2 , 3 )r ( 1 , 2 , 3 c1 4 c2 5 )当 (I) 与

19、 (II)都是非齐次线性方程组时，设1 c11c2 2 是 (I)的通解，2c33 是 (II)的通解，两方程组有公共解2c3 31 可由 1, 2线性表示 .即： r ( 1 ,2 )r (1, 22c3 31 )设 (I) 的通解已知，把该通解代入(II)中，找出 (I) 的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1.TTnai bia1b1 a2b2anbn向量a1 , a2 , , an 与b1,b2 , , bn 的内积 ( , )i 1与正交(,)0. 记为：Tn向量a1 , a2 , an( ,)

20、ai2a12a22an2的长度i 1是单位向量(,)1.即长度为 1的向量 . 内积的性质：正定性： (,)0,且 (,) 0对称性： (,)( ,)双线性： (,12 )(,1 )(,2)( 12 , )(1,)(2,)(c,)c(,)(, c )A 的特征矩阵EA.A 的特征多项式EA() .() 是矩阵 A 的特征多项式( A)OA 的特征方程EA0 .Axx ( x为非零列向量 )Ax与 x线性相关ntr A ， tr A 称为矩阵 A 的迹 .A1 2n1i 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素 . 若 A0 , 则0为 A的特征值 ,且 Ax的基础解系即为属

21、于0 的线性无关的特征向量 .a1 r ( A)1A 一定可分解为A =a2b1 ,b2 , bn、 A2(a1b1a2b2anbn ) A , 从而 A 的特征值为：an1tr Aa1b1a2b2anbn ,23n0p指南 358 .a1, a2 ,Tb1, b2 ,bn 为 A 各列的公比 ., an为 A 各行的公比，注 若 A 的全部特征值1, 2,n ， f ( A) 是多项式 , 则 : 若 A 满足 f ( A)OA 的任何一个特征值必满足f (i ) 0 f ( A) 的全部特征值为f (1 ), f ( 2 ), ,f (n ) ； f ( A)f (1) f ( 2 )f

22、( n ) . 初等矩阵的性质：E(i , j )1Ei (k )kEi , j (k)1E(i , j )TE(i , j )Ei (k)TE i (k )Ei, j (k)TE j, i (k)E (i , j ) 1E(i , j )Ei (k ) 1Ei ( k1 )Ei, j (k) 1Ei , j ( k)E (i, j )*E(i, j )Ei (k )*kEi ( k1 )Ei, j (k )*E i, j (k) 设 f (x)am xmam 1xm 1a1 xa0 ，对 n 阶矩阵 A 规定： f ( A)am Amam 1 Am 1a1 Aa0 E 为 A 的一个多项式

23、.kAkaA bEa bAT是 的特征值则:A1分别有特征值1.A,AA123A22mmAkAkaAbEabA1关于1的特征向量 .是 关于 的特征向量 则 也是x A,xAA1 23A22mmA A2 , Am 的特征向量不一定是A 的特征向量 . A 与 AT 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.A与B相似P 1APB（ P 为可逆矩阵）记为： ABA与B正交相似P 1APB（ P 为正交矩阵）A 可以相似对角化A 与对角阵相似. 记为： A（称是 A 的相似标准形） A 可相似对角化n r(iE A kiki为i的重数A 恰有n个线性无关的特征向量 . 这时 , P 为 A 的特)征向

24、量拼成的矩阵， P1 AP 为对角阵 , 主对角线上的元素为A 的特征值 . 设 i 为对应于i 的线性无关的特征向量 ,则有：1A( 1, 2, n )( A 1, A 2 , , A n )(11,22, n n )(1,2, n )2.PPn注0 为 A 的重的特征值时，A 可相似对角化i 的重数 n r ( A)Ax基础解系的个数 . ：当 i 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特征值A 可相似对角化 . 若 A 可相似对角化 , 则其非零特征值的个数（重根重复计算）r ( A) .g(1) 若 AAk = P k P 1 ， g( A) Pg ( )P 1Pg ( 2 )P 1g(

25、n ) 相似矩阵的性质：EAEB , 从而 A, B 有相同的特征值 , 但特征向量不一定相同 .注是 A关于0 的特征向量 , P1x 是 B 关于0 的特征向量 . xtr AtrB AB从而 A, B 同时可逆或不可逆 r ( A) r ( B) ATBT； A 1B 1（若 A, B 均可逆）； A*B* AkBk（ k 为整数）； f ( A)f (B) ， f ( A)f (B)A,DABB CCD注 前四个都是必要条件. 数量矩阵只与自己相似. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数, 特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；注 ：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量

26、线性无关；一定有 n 个线性无关的特征向量.若 A 有重的特征值 , 该特征值i 的重数 = nr ( i EA) ；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形；与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似有相同的特征值.正交矩阵 AATE A 为正交矩阵A 的 n 个行（列）向量构成n 的一组标准正交基 . 正交矩阵的性质：ATA 1 ； AATATA E； 正交阵的行列式等于 1或-1； A 是正交阵 , 则 AT ， A 1 也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵；A 的行（列）向量都是单位正交向量组.nn二次型f ( x1 , x2 , xn )xT Axaij xi xjaijaji，即A 为对称矩阵，x( x1 , x2, xn )Ti 1j 1A与B合同CT ACB .记作：AB（ A, B为实对称矩阵,C为可逆矩阵）正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数rp符号差2 pr(r为二次型的秩) 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：AB 两个矩阵合同的必要条件是：r ( A