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1、高数数列极限 设xn=f (n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1, x2,xn, , 称为一个数列. xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f (xn)第一节第一节数列的极限数列的极限一、数列的极限一、数列的极限1x 看数列1.nxn11 从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时, 数列xn趋近于1.如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?2x123x234x345x4xn定义定义: : 设xn是一个数列, a是一个常数, 若 0, 正整数N, 使得当nN时, 都有|xna

2、|,则称a是数列xn当n无限增大时的极限, 或称xn收敛于a,记作)( , limnaxaxnnn或)( , lim(naxaxnnn或这时, 也称xn的极限存在, 否则, 称xn的极限不存在, 或称xn是发散的.几何意义几何意义: :x2x1a-xN+5axN+1a+x3x)(xN由于| xna | a xn a xn(a , a +)=U(a, ).因此, 所谓xn以a为极限, 就是对任何以a为心, 以任意小的正数 为半径的 邻域,总能找到一个N, 从第N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, ) 内,而只有有限项落在U(a, )外部.看图.例例1.1. 设q是满足 |q | 0. 设

3、 0 |q |N时, 有 |qn 0| )因 | xn a | = |qn 0| = |qn | = |q | n ,要使| xn a | , 只须 |q | n 即可.定理定理. . 设数列 xn和 yn 的极限都存在. 且,limaxnn.limbxnn则一、数列极限的运算法则一、数列极限的运算法则第三节第三节 数列极限运算数列极限运算(3) 设 C 为常数，有.limlimaCxCCxnnnn(4) 当 b0 时，有.limlimlimbayxyxnnnnnnn(1).limlim)(limbayxyxnnnnnnn(2).limlim)(limbayxyxnnnnnnn例例. . 求.

4、235123lim22nnnnn解解: :一般, 称形为 f (x) = a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式. 其中k为非负整数，ai为常数, a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).235123lim22nnnnn对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时), 可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.,235123lim22nnnnn由于分母的极限等于5(0), 分子的极限等于3，235123lim32nnnnn= 0，235123lim23nnnnn= .53原式故一般，若 a0, b0 都非0，则LLkknbnbana00limLkba,00，0，k L例例6.6. 求).100(lim

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