1.2定积分的性质(2)ppt课件

1、6.2 定积分的性质在下面定积分的性质讨论中在下面定积分的性质讨论中, 我们都假我们都假设所涉及函数的定积分皆存在设所涉及函数的定积分皆存在.定积分性质1性质性质1 1为常数）为常数） ( )()(kdxxfkdxxkfbaba设设 f(x) 在区间在区间 a, b 上可积，上可积， k 为一常数，为一常数， 那么那么 kf(x) 在区间在区间 a, b 上可积，且有上可积，且有iinixkf )(lim10 证证 badxxkf)(iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk定积分性质2性质性质2 2 badxxgxf)()( badxxf)( ba

2、dxxg)(设设 f(x)、g(x) 在区间在区间a, b上可积，上可积， 那么那么 f(x) g(x) 在区间在区间a, b上也上也可积，且可积，且iiinixgf )()(lim10 证证 badxxgxf)()(iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 假设假设, cba cadxxf)( cbbadxxfdx

3、xf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）那么那么假假设设bca 性质性质3 3定积分性质3定积分性质3 之证明证：证：于于是是一一个个分分点点取取为为总总可可以以将将因因此此极极限限是是不不变变的的积积分分和和式式的的所所以以不不论论如如何何分分割割上上可可积积在在因因为为时时当当 . , . , ,)(,cbabaxfbca ,)()()(bciicaiibaiixfxfxf badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.两边同时取极限，即得两边同时取极限，即得性

4、质性质4 4：定积分性质4)( )()(badxxgdxxfbaba 则则上上如如果果在在区区间间),()(,xgxfba 证证dxxgxfdxxgdxxfbababa) )()()()( dxxgdxxfbaba )()( 于是于是0)()(lim10 iiinixgf 定积分性质4 之推论)( 0)(badxxfba 则则上上如如果果在在区区间间, 0)(, xfba推论：推论：:,)(,0)(,)( :则则可可得得到到严严格格不不等等式式不不恒恒为为零零但但且且上上连连续续在在若若注注xfxfbaxf )( 0)(badxxfba dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证,

5、)()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.定积分性质4 之推论2推论：推论：定积分性质5dxba 1dxba ab .性质性质5 5证：证： badxinix 101lim ab 设设M及及m分分别别是是函函数数 证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6定积分性

6、质6 比比较较积积分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小. 解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 例题1 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值. 解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例题2使使得得以以区区间间,ba为为积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab )( f以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的

7、曲边梯形的面积等等于于同同一一底底边边而而高高为为)( f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf . . )(ba 积分中值公式积分中值公式定积分性质7定积分中值定理）定积分中值定理的证明证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 即即设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sin