2012年全国各地中考数学压轴题专集答案综合型问题(共79页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2012年全国各地中考数学压轴题专集答案九、综合型问题124（四川模拟）如图，已知实数m是方程x 28x160的一个实数根，抛物线y x 2bxc交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）（1）求抛物线的解析式；（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DEBC交AC于点E，作DFAC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；（3）设AOC的外接圆为G，若M是G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM在y轴左侧的抛物线上是否存在点N，使得NOBAMO若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由CABOEFxyD解：（1）解方程x 28x160

2、，得x1x24m4A（4，0），C（0，4）将A（4，0）和C（0，4）代入y x 2bxc得 解得 CABOEFxyD抛物线的解析系式为y x 2x4（2）在y x 2x4中，令y0，得 x 2x40解得x12，x24，B（2，0），AB6SABC ABCO12设ADk（0k 6）DEBC，ADEABC ( )2( )2 ，SADE 同理可知，SBDF S四边形DECF SABC SADE SBD 12 k 24k ( k3)26当且仅当k3时，S四边形DECF 有最大值为6，此时D（1，0）（3）假设存在这样的点N，使得NOBAMOCABOxyGMN1N2HOAOC4，AOC90，ACO4

3、5AMO45，NOB45当点N1在y轴左侧、x轴上方的抛物线上时过点N1作N1Hx轴于点H，则tanN1OB tan451，yx由 解得 （舍去），点N的坐标为N1（22，22）当点N2在y轴左侧、x轴下方的抛物线上时同理可得yx由 解得 （舍去），点N的坐标为N2（2，2）综上，存在满足条件的点N，点N的坐标为N1（22，22），N2（2，2）125（湖南常德）如图，已知二次函数y ( x2)( axb )的图象经过点A（4，3），B（4，4），与x轴交于点C、D（C在D的左侧）（1）求二次函数的解析式；（2）点P是第二象限抛物线上的一动点，过点P作PHx轴于点H，若以P、H、D为顶点的三角

4、形与ABC相似，求出P点的坐标；（3）将AB所在直线沿y轴上下平移，平移后的直线与抛物线交于A、B 两点问在x轴上是否存在点Q，使得AQB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由CyBADOx备用图CyBADOxPH88解；（1）二次函数y ( x2)( axb )的图象经过点A（4，3），B（4，4） 解得：二次函数的解析式为y ( x2)(13x20)CyBADOxPH即y x 2 x （2）令y ( x2)(13x20)0，解得：x12，x2 C在D的左侧，C（2，0）AC 2(42)23 213BC 2(42)24 252AB 2(44)2(34

5、)265AC 2BC 2AB 2，ABC是直角三角形且ACB是直角若以P、H、D为顶点的三角形与ABC相似，则 或 设P（m， ( m2)(13m20)），则DH m，PH ( m2)(13m20)CyBADOxEFQ当 时， 即 ， 解得m ，P1（ ，）当 时，即 2解得m ，P2（ ，）（3）由A（4，3），B（4，4）可得直线AB的解析式为y x 设直线AB 的解析式为y xt令 x 2 x xt，得13x 248t40，x A（， t），B（， t）分别过A、B 作x轴的垂线，垂足为E、F，设Q（n， 0）AQB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形AQB90，AQBQAQEQBF90B

6、QFRtAQERtQBF，AEQF，QEBF tn，n t解得：n Q1（ ，0），Q2（ ，0）满足条件的点Q有两个：Q1（ ，0），Q2（ ，0）126（湖南郴州）阅读下列材料：我们知道，一次函数ykxb的图象是一条直线，而ykxb经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：AxBxC0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）如图1，点P（m，n）到直线l：AxBxC0的距离（d）计算公式是：d 例：求点P（1，2）到直线y x 的距离d时，先将y x 化为5x12y20，再由上述距离公式求得d 解答下列问题：如图2，已知直线y x4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx 24x5上的一点

7、M（3，2）（1）求点M到直线AB的距离yBOxM(3，2)图2A42242424ylOxP（m，n）图1d（2）抛物线上是否存在点P，使得PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由解：（1）将y x4化为4x3y120，由上述距离公式得：d 6点M到直线AB的距离为6（2）存在设P（x，x 24x5），则点P到直线AB的距离为：d 由图象知，点P到直线AB的距离最小时x 0，x 24x50d ( x )2 当x 时，d最小，为 当x 时，x 24x5( )24 5 ，P（ ，）在y x4中，令x0，则y4，B（0，4）令y0，则xy3。A（3，0）AB

8、 5PAB面积的最小值为 5 COxAyBDFE127（湖南衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PFPR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状解：（1）由题意得：A（2，1），D（2，1）抛物线的解析式为yax 2，把A（2，1

9、）代入，得14a，a 抛物线的解析式为：y x 2（2）由题意知，F（0，1），设P（x， x 2），则R（x，1）PF 2x 2( x 21 )2 x 4 x 21( x 21 )2PR 2( x 21 )2( x 21 )2PFPRCOxAyBDFEPQRS由得RF 2x 21若PFR为等边三角形，则PFRF( x 21 )2x 21，得x 24（舍去）或x 212x2， x 23存在符合条件的P点，坐标为（2，3）、（2，3）由PFPR，得PRFPFR由的结论知，QFQS，QSFQFSPRBC，QSBC，PRQS，RPFSQF180PRF和QSF的内角总和为3602PFR2QFS180，

10、PFRQFS90RFS90，RSF是直角三角形128（湖南怀化）如图，抛物线m：y ( xh )2k与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为M（3，），将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为D（1）求抛物线n的解析式；（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF如果P点的坐标为（x，y），PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作G，试判断直线CM与G的位置关系，并说明理由

11、MOxyACBGEDPF解：（1）抛物线m的顶点为M（3，）m的解析式为y ( x3 )2 ( x8 )( x2 )A（2，0），B（8，0）抛物线n是由抛物线m绕点B旋转180得到D的坐标为（13， ）抛物线n的解析式为y ( x13 )2 ，即y x 2 x36（2）点E与点A关于点B中心对称，E（18，0）设直线ED的解析式为ykxb则 y x ，又P点坐标为（x，y）S PFOF x( x ) x 2 x（13x 18）当x 9时，S有最大值但13x 18，PEF的面积S没有最大值（3）抛物线m的解析式为y ( x8 )( x2 )，令x0，得y4C（0，4），OC4MOxyACBGE

12、DPFN抛物线m的对称轴与x轴的交点为G则OG3，GM ，CG5又AB10，G的半径为5，点C在G上过M点作y轴的垂线，垂足为N则CM 2CN 2MN 2( 4 )23 2 又CG 2CM 25 2 ( )2GM 2CGCM，直线CM与G相切129（湖南湘潭）如图，抛物线yax 2 x2（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标MOxyACB解：（1）抛物线yax 2 x2经过点B（4，0）016a

13、 42，a 抛物线的解析式为y x 2 x2（2）在y x 2 x2中，令y0，得 x2 x20解得x11，x24，A（1，0）令x0，得y2，C（0，2）OA1，OC2，OB4，AB5AC 21 22 25，BC 24 22 220AC 2BC 252025AB 2ABC是直角三角形，且AB为斜边ABC的外接圆的圆心是AB的中点，即对称轴与x轴的交点对称轴为x ，圆心坐标为（ ，0）（3）设BC所在直线的解析式为ykxb 解得 y x2MOxyACBN过M作MNx轴交BC于N设M（x， x 2 x2），则N（x， x2）MN x2( x 2 x2 ) x 22xSMBC OBMN2MNx 2

14、4x( x2 )24当x2时，MBC的面积最大，最大值为4当x2时， x 2 x2 2 2 223此时M点的坐标为（2，3）130（湖南湘西自治州）如图，抛物线yx 22xc与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为x1（1）求抛物线的解析式；（2）求B、C两点的坐标；（3）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若PBC的面积为4，求点P的坐标；（4）点M为抛物线上一动点，点N为抛物线的对称轴上一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标ABxyCOx1解：（1）抛物线yx 22xc与y轴交于点A（0，3）c3抛物线的解析式为yx 22x3（

15、2）令x 22x30，得x11，x23ABxyCOx1N1M1M2M3N2(N3)B（1，0），C（3，0）（3）B（1，0），C（3，0），BC4设P（1，t）（t 0）SPBC 4， 4t4，t2P（1，2）（4）若MN是平行四边形的对角线，则MN和BC互相平分B、C两点关于对称轴对称，点N在对称轴上点M是抛物线的顶点yx 22x3( x1 )24，M1（1，4）若MN是平行四边形的边，则MNBC，且MNBC4当点M在y轴左侧的抛物线上时，点M的横坐标为3当x3时，y( 3 )22( 3 )312M2（3，12）当点M在y轴右侧的抛物线上时，由对称性得点M的坐标为M3（5，12）131（湖

16、南永州）如图所示，已知二次函数yax 2bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为垂足（1）求二次函数yax 2bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对于当m0，m2和m4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值，由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由COxyAHB（4，3）P（m，n）l242解：（1）yax 2bx1（a0）的图象过点A（2

17、，0）和B（4，3） 解得 二次函数的解析式为y x 21（2）2x 2（3）当m0时，P点坐标为（0，1）|PO|2( 1 )21，|PH|2( 21 )21当m2时，P点坐标为（2，0）|PO|22 24，|PH|22 24COxyAHB（4，3）P（m，n）l242当m4时，P点坐标为（4，3）|PO|24 23 225，|PH|2( 32 )225结论：|PO|2|PH|2对于任意实数m，P点坐标为（m，n），其中n m 21则|PO|2m 2n 2|PH|2( n2 )2n 24n4n 2m 244m 2n 2|PO|2|PH|2（4）由（3）知POPH要使POH为正三角形，只需|P

18、O|2|OH|2设P（m，n），则|PO|2m 2n 2，|OH|2m 22 2m 24m 2n 2m 24，n 24，n2当n2时， m 212，解得m2当n2时， m 212，无实数解存在实数m2，可使POH为正三角形132（湖南岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物面，经过锅心和盖心的纵断面是由两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图所示如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2（1）求C1和C2的解析式；（2）如图，过点B作直线BE：y x1交C1于点E（2， ），连

19、接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的PBC与BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得EBQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标和EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由B(3,0)OxyC(0,1)A(3,0)D(0,3)图B(3,0)OxyEC(0,1)A(3,0)D(0,3)图解：（1）由题意，得A（3，0），B（3，0），C（0，1），D（0，3）设C1的解析式为ya1x 2b1xc1，C1经过A、B、D三点 解得 C1的解析式为y x 23设C2的解析式为ya2x 2b2xc2，C2经过A、B、C三点 解得

20、 C2的解析式为y x 21（2）设直线BE：y x1交y轴于点F，则F（0，1）OCOF1，又OBOBRtOBCRtOBF，OBCOBF若点P在点B左侧，则由PBCBOE，得BCPOBF则BCPOBC，得CPOB点P只能在点B右侧要使PBC与BOE相似，只需 或 B(3,0)OxyEC(0,1)A(3,0)D(0,3)FP2P1B（3，0），C（0，1），E（2， ）BO3，BC，BE 若 ，则 ，BP OP3 ，P1（ ，0）若 ，则 ，BP OP 3 ，P2（ ，0）（3）作EHx轴于H，则OH2，BHOBOH5B(3,0)OxyEC(0,1)A(3,0)D(0,3)FQ2MQ1NH在C

21、1上取一点Q1，作Q1Mx轴，交BE于M在C2上取一点Q2，作Q2Nx轴，交BE于N则SEBQ1 Q1MBH Q1M，SEBQ2 Q2NBH Q2N而Q1M x1( x 23 ) x 2 x2 ( x )2 当x 时，Q1M有最大值 Q2N x 21( x1 ) x 2 x2 ( x )2 当x 时，Q2N有最大值 ，当点Q在C2上，且x 时，EBQ的面积最大当x 时，y ( )21 此时点Q的坐标为（ ，）EBQ面积的最大值为 133（湖南株洲）如图，一次函数y x2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线yx 2bxc过A、B两点（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线xt，在第一象

22、限交直线AB于M，交这个抛物线于N求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标OxyAB备用图OxyNMAB（1）由题意得：A（0，2），B（4，0）将x0，y2代入yx 2bxc，得c2将x4，y0代入yx 2bx2，得0164b2，b 抛物线的解析式为yx 2 x2（2）由题意得：M（t， t2），N（t，t 2 t2）MNt 2 t2( t2 )t 24t( t2 )24OxyNMABD1D2D3当t2时，MN有最大值4（3）由题意可知，D的可能位置有如图三种情形当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由ADM

23、N得| a2|4，解得a16，a22D1（0，6），D2（0，2）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点易得直线D1N的解析式为y x6直线D2M的解析式为y x2联立 解得 D3（4，4）第四个顶点D的坐标为（0，6）或（0，2）或（4，4）134（湖北武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED16米，AE8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（

24、单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h ( t19)28（0t 40）CBEAODy/米x/米h且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解：（1）依题意可得，顶点C的坐标为（0，11）设抛物线的解析式为yax 211ED16，AE8，由抛物线的对称性可得，B（8，8）864a11，a 6t1Oy/米x/时t2抛物线的解析式为y x 211（2）画出h ( t19)28（0t 40）的图象当水面到顶点C的距离不大于5米时，h 6当h6时，6 ( t19)28，解得t135，t23由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为

25、t1t232（小时）答：禁止船只通行的时间为32小时135（湖北武汉）如图1，点A为抛物线C1：y x 22的顶点，点B的坐标为（1，0），直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线xa交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG : DE4 : 3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点NNQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m的值OxyABQNC图2MPOxyABECDx33图1解：（1）对于y x 2

26、2，当x0时，y2，A（0，2）设直线AB的解析式为ykxb，把A（0，2），B（1，0）代入，得 解得 直线AB的解析式为y2x2OxyABECDx33FGxa解方程组 得 （舍去）点C的坐标为（4，6）（2）直线x3分别交直线AB和抛物线C1于D、E两点yD 4，yE ，DE FG : DE4 : 3，FG2直线xa分别交直线AB和抛物线C1于F、G两点yF 2a2，yG a 22，FG| 2a a 2|2解得a12，a222，a322OxyABQNC图2MPTJFH（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N做NHy轴于点H设点M的坐标为（t，0），抛物线C2的解析式为y x 22m0 t

27、 22m，2m t 2y x 2 t 2，点P坐标为（0， t 2）解方程组 得 （舍去）N（2t，22t），NQ22t，MQ22t，MQNQ，MNQ45MOT、NHT均为等腰直角三角形MOOT，HTHNOT4，NT，NH( 2t )，PTt t 2PN平分MNQ，PTNTt t 2( 2t )，t12，t22（舍去）2m t 2 ( 2 )2，m2解法二：设点N坐标为（t，2t2），抛物线C2的解析式为y x 22m2t2 t 22m，点P坐标为（0， t 22t2）同解法一可得，MNQ45，PNQ MNQ22.5过点P作PFNQ于点F，在FN上截取FJFP，连接JPNJJPPFFJ，NF(

28、 1 )PF( 2t2 )( t 22t2 )( 1 )tt122，t20（舍去）m t 22t2，m2136（湖北恩施）如图，已知抛物线yx 2bxc与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MNMD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求APC的面积的最大值OxyABNCDP解：（

29、1）抛物线yx 2bxc经过A（1，0），C（2，3）两点 解得 xOADPCNyBNM抛物线的函数关系式为yx 22x3设直线AC的函数关系式为ykxn 解得 直线AC的函数关系式为yx1（2）作N点关于直线x3的对称点N，则N（6，3）由（1）得D（1，4）xOADPCNyBEF直线DN 的函数关系式为y x 当M（3，m）在直线DN 上时，MNMD的值最小则m 3 （3）yx 22x3( x1 )24抛物线的对称轴为x1把x1代入直线AC的函数关系式，得y112B（1，2），BD2点E在直线AC上，设E（x，x1）当点E在线段AC上时，点F在点E上方xOADPCNyBHGQ则F（x，x3

30、）F在抛物线上，x3x 22x3解得x0或x1（舍去）E（0，1）当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1）F在抛物线上，x1x 22x3解得x 或x E（ ，）或E（ ，）综上，满足条件的点E为E（0，1）或E（ ，）或E（ ，）（4）过点P作PQx轴交AC于点Q，过点C作CGx轴于点G设P（x，x 22x3），则Q（x，x1）PQx 22x3( x1 )x 2x2又SAPC SAPQ SCPQ PQAG ( x 2x2 )3 ( x )2 APC的面积的最大值为 137（湖北黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y ( x2)( xm )（m0）与x轴相交于点B、C

31、，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值（2）在（1）的条件下，求BCE的面积（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BHEH最小，并求出点H的坐标OxyEABC（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2 ( 22)( 2m )，解得m4OxyEABCH（2）令 ( x2)( x4 )0，解得x12，x24B（2，0），C（4，0），BC6在C1中，令x0，得y2E（0，2），OE2SBCE B

32、COE 626（3）当m4时，易得对称轴为x1，又B、C关于x1对称连接EC交直线x1于H，此时BHEH最小，为线段CE的长设直线EC：ykxb，将E（0，2），C（4，0）代入得y x2当x1时，y ，H（1，）OxyEABCFT（4）分两种情形讨论：当BECBCF时，则 ，BC 2BEBF由（2）知，OBOE2，EBC45，CBF45作FTx轴于T，则BTTF设F（x，x2）（x 0），又点F在抛物线上x2 ( x2)( xm )x 0，x20，x2m，F（2m，2m2）此时BF 2( m1 )BE2，BCm2又BC 2BEBF，( m2 )222( m1 )OxyEABCFm22m 0，

33、m22当BECFCB时，则 ，BC 2ECBF同，EBCCFB，BTFCOE， 设F（x， ( x2 )）（x 0）又F在抛物线上， ( x2 ) ( x2)( xm )x 0，x20，xm2F（m2， ），EC ，BCm2又BC 2ECBF，( m2 )2整理得：016，显然不成立综合得，在第四象限内，抛物线C1上存在点F，使以点B、C、F为顶点的三角形与BCE相似m22138（湖北黄石）已知抛物线C1的函数解析式为yax 2bx3a（b0），若抛物线C1经过点（0，3），方程ax 2bx3a0的两根为x1，x2，且| x1x2|4（1）求抛物线C1的顶点坐标（2）已知实数x0，请证明x 2

34、，并说明x为何值时才会有x 2（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：AOB90，m0，n0请你用含m的表达式表示出AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式解：（1）抛物线yax 2bx3a过（0，3）点3a3，ayx 2bx3x 2bx30的两根为x1，x2，且| x1x2|4| x1x2| 44，b 24b0，b2yx 22x3( x1 )24抛物线C1的顶点坐标为（1，4）（2）x0，x 2( )20x 2，显然当x1时，才有x 2（3）由平移知识易得C2的解析式为

35、yx 2A（m，m 2），B（n，n 2）AOB90，OA 2OB 2AB 2m 2m 4n 2n 4( mn )2( m 2n 2 )2化简得：mn1SAOB OAOB ( m )21SAOB 的最小值为1，此时m1，A（1，1）一次函数OA的函数解析式为yx139（湖北荆州、荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE已知tanCBE ，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；（2）求证：CB是ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E

36、、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t 3）时，AOE与ABE重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围OxyABCDE图乙（备用图）OxyABCDE图甲（1）解：由题意，设抛物线解析式为ya( x3 )( x1 )将E（0，3）代入上式，解得a1yx 22x3则点B（1，4）OxyABCDEMP2P3321（2）证明：过点B作BMy于点M，则M（0，4）在RtAOE中，OAOE31245，AE 3在RtEMB中，EMOMOE1BMMEBMBE45，BE BEA1801MEB90A

37、B是ABE外接圆的直径在RtABE中，tanBAE tanCBEBAECBE在RtABE中，BAE390，CBE390CBA90，即CBABCB是ABE外接圆的切线（3）P1（0，0），P2（9，0），P3（0， ）（4）解：设直线AB的解析式为ykxb将A（3，0），B（1，4）代入，得 解得 y2x6过点E作射线EFx轴交AB于点F当y3时，得x ，F（ ，3）情况一：当0t 时，设AOE平移到RNM的位置，MR交AB于点H，MN交AE于点GOxyABCDEFMLHKNGR则ONARt，过点H作LKx轴于点K，交EF于点L由AHRFHM，得 即 ，解得HK2tSSMNR SGNA SHAR

38、 33 ( 3t )2 t2t t 23t情况二：当 t 3时，设AOE平移到PQS的位置，PQ交AB于点I，交AE于点VOxyABCDEFPIQVS由IQAIPF，得 即 ，解得IQ2( 3t )SSIQA SVQA ( 3t )2( 3t ) ( 3t )2 ( 3t )2 t 23t 综上所述：S 140（湖北十堰）抛物线yx 2bxc经过点A、B、C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当BDC的面积最大时，求点P的坐标（3）如图2，抛物线顶点为E，EFx轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线

39、段EF上一点，若MNC90，请指出实数m的变化范围，并说明理由OxyBECA图2FOxyBCA图1DP解：（1）抛物线yx 2bxc经过点A（1，0），C（0，3） 解得 抛物线的解析式为yx 22x3（2）令x 22x30，得x11，x23，B（3，0），OxyBCADP设直线BC的解析式为ykxb 解得 直线BC的解析式为yx3设P（a，3a），则D（a，a 22a3）PDa 22a3( 3a )a 23aSBDC SPDC SPDB PDa PD( 3a ) PD3OxyBECAHFMN ( a 23a ) ( a )2 当a 时，BDC的面积最大，此时P（ ，）（3）yx 22x3(

40、x1 )24OF1，EF4，OC3过C作CHEF于H点，则CHEH1当M在EF左侧时MNC90，MNFNCH， OxyBECAHFM设FNn，则NH3n， 即n 23nm10关于n的方程有解，( 3 )24( m1 )0得m 当M在EF右侧时连接CE，在RtCHE中，CHEH1CEH45，即CEF45作EMCE交x轴于点M，则FEM45FMEF4，OM5即N为点E时，OM5，m 5综上，m的变化范围为： m 5OxyBCAD141（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田）如图，抛物线yax 2bx2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物

41、线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q 恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由OxyBCA备用图D解：（1）抛物线yax 2bx2经过A（1，0），B（4，0）两点 解得：y x 2 x2当y2时， x 2 x22，解得：x13，x20（舍去）点D坐标为（3，2）（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P1（0，2）当AE为对角线时，根据平行四边形对角顶点到另

42、一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等P点的纵坐标为2，代入抛物线的解析式 x 2 x22，解得：x1 ，x2 P2（ ，2），P3（ ，2）综上所述：P1（0，2），P2（ ，2），P3（ ，2）（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a， a 2 a2）OxyBCA图1DPQFQ当P点在y轴右侧时（如图1），CQa，PQ2( a 2 a2 ) a 2 aCQOFQP90，CQOOCQ90FQPOCQ，又COQQFP90COQQFP， ，QFa3OQOFQFa( a3 )3，CQCQxOxyBCADPQFQ图2即a，P（，）当P点在y轴左侧时（如图2），CQa，PQ2( a 2 a2 ) a 2 aCQOFQP90，CQOOCQ90FQPOCQ，又COQQFP90COQQFP， ，QF3aOQQFOF3a( a )3，CQCQ即a，P（，）综上所述，满足条件的点P坐标为（，），（，）142（湖北孝感）如图，抛物线yax 2bxc（a，b，c是常数，a0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点坐标分别是A（1，