奖金发放问题的数学建模

1、A 题：奖金发放问题摘要在本文中，我们通过对所给数据，即五十名员工的职称、工龄、学历、教学情况进行统计， 建立了数学模型， 并且根据不同要求通过模型对奖金发放情况制定政策。模型 1、层次分析模型。 层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种简洁而实用的方法。大体上可以按照一下三个步骤进行： 建立递阶层次结构模型；构造出各层次中的所有判断矩阵；层次单排序及一致性检验。模型 2、模糊综合评价模型。利用模糊数学的基本原理，以定量分析为主，定性分析为辅， 够早了综合评价的指标体系， 建立的简便实用的数学模型， 该模型中的主要指标即为题目中已给定的 4 项指标。模型 3、对奖金分配的最终结果： 若需要对

2、所有教师都奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。若 30 人获得奖金，根据主导因素法则，限制因子法以及逆向考虑法。首先考虑职称，职称考虑完毕，再考虑工龄，再考虑教学，最后考虑学历。对不同职称分配一定获得奖金人数时， 舍弃职称权重， 按不同职称分别对其他 3 项指标进行加权排序。方法与相同。 关键字 ：数据规范化层次分析法模糊综合评价法定权比例分配一、问题重述某学院接受了一企业的赞助，经过校教代会决定，拿出一部分资金奖励教师，奖励政策只考虑下列因素：教师职称，工龄，学历，教学情况。学院职工的职称，工龄，学历，教学情况见下表。现聘请你们作顾问，制定以下奖励政策：（ 1）给出一个对所有教师都奖

3、励的合理政策； 若只奖励 30 人，如何确定人选？（ 2）如何制订奖励政策， 恰好使高级、中级、初级教师的获奖人数是给定的数。（ 3）能否制订一个奖励政策， 按照此政策高级、 中级、初级获奖人数分别为 2，4，6。人员职称工龄学历教学人员职称工龄学历教学P113031P263821P212522P273522P312122P283922P412031P293523P511922P303612P611513P313421P721412P323322P821622P333232P921322P343521P102821P353422P1121033P363633P122931P373812P132

4、823P383511P1421222P393322P1521331P403421P1621122P413122P1721033P243521P182722P433222P192831P443333P202932P453611P2121022P463422P2221122P473221P2321322P483611P2421022P493322P252833P5031221说明： 1、职称中的 1， 2， 3 分别表示高级、中级、初级；2、学历中的 1， 2， 3 分别表示研究生、本科、专科；3、教学中的 1， 2， 3 分别表示好，一般，差。二、模型分析、建立与求解我们的目标就是给这 50 为

5、教师进行一个客观的排名， 也就是根据现有的有关他们的数据给他们打分， 然后根据分数进行排名， 并且将工龄以 5 年为单位分成 6 个等级，然后把职称、学历和教学的 1、2、3 看成是 3 个等级，而不是纯粹的数据，再用隶属函数的升岭型分布将它们进行规范化处理， 然后对四个指标进行标准化处理。考虑到职称、工龄、学历、教学等因素在实际应用中可能占有不同的比重，因此需求出个指标的权重。 我们利用层次分析法和模糊综合评价两种方法求解权重，然后将两种方法的权数整合到一起。2.1工龄的标准化处理首先将工龄以 5 年为单位分成 6 各等级，工龄中的 1，2，3，4，5，6 则是根据他们的工龄由大到小进行的分

6、类。 也就是说在 5 年的单位内，他么的工龄性质上面是一致的，这样方便对于数值有一个宏观的把握。2.2指标的规范化处理由于职称、学历和教学的 1，2，3 只是 3 个等级的代名词，并不是纯粹的数据数值，因此我们不能直接用于计算应。 因而，我们利用隶属函数的升岭型分布将它们（包括工龄的指标）进行现行规范化处理。由于职称、学历和教学三个指标是一样的，在利用上述公式时，我们选取C1=2，C2-C3=0.8 ，在计算工龄的时候，我们选取 C1=3.5 ， C2 -C3=0.5 。2.3数据的标准化处理在此基础上，我们利用模糊综合评价对相应的四个指标进行量化，为了尽可能保持各评价指标值的变化信息，我们选

7、取越小越优型指标的标准化处理公式。2.4指标的权重处理在得到最新数值的情况下，我们分别利用层次分析法和模糊综合评价方法对以上数据进行整合，分别求出 4 项指标的权重。其中设 a 表示职称， b 表示工龄， c 表示学历， d 表示教学。层次分析法（递阶层次结构模型）层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种简洁而实用的方法。大体上可以按照一下三个步骤进行： 建立递阶层次结构模型； 构造出各层次中的所有判断矩阵；层次单排序及一致性检验 【 1】 。由于题目中已经给出奖金评定的四个因素即：职称、学历、工龄、教学，则以下求解过程中只对这四个因素建立判断矩阵。2在建立该矩阵时，我们对数据进行了相关性分

8、析，即相对重要程度。以便于确定相对重要性时参考。为了更精确的确定这项指标的权重，采用 9 标度层次分析法对其进行权重的设立相应的比较矩阵如下：1251311312211133532113nnn通过公式 W ia ij /a ij ( i1, 2, 3.) 计算比较矩阵的权重。i 1i 1j 1得到 a 的权重为： 125/363=0.3443526。同理可得 b，c，d 的权重，见下表：指标对应权重职称 a0.3443526工龄 b0.2066116学历 c0.1873278教学 d0.261708表 1层次分析权重为了保证以上判断的客观性， 必须对比较矩阵进行一致性检验 , 即运用公式计算一

9、致性指标 C.R。过程如下：nnmax1/ n( aij * Wj / W i )i 1j 1经过计算机编程计算，（程序见附录）max=4.12为了度量判断矩阵是否具有满意的一致性，这里引入判断矩阵的平均随机一致性指标系数RIC(n) 值，如下表 【 1】：阶数 n3456789RIC(n)0.5780.4870.4510.3770.3210.3080.277表 2 模糊综合评价 RIC(n)有 C. I(maxn ) /( n1 )0.04C.RC.I / R.I0.04 / 0.4870.082可见， C.R<0.1，所以以上对职称 a、工龄 b、学历 c、教学 d 的权重设立的过程

10、是客观、一致、合理的。模糊综合评价法（模糊综合评价模型）3设有 n 个评价指标组成对全体 m个方案的评价指标样本集数据，各指标值 x(i ， j) 均为非负值。为了尽可能保持各评价指标值的变化信息，对越大越优型的标准化处理公式为：r ( i, p)X (i, p) / X max(i )X min(i )对越小越优型指标的标准化处理公式为：r (i , p)X max(i)X min(i )X (i , p )X max(i )X min( i )数据处理结果如下：人员职称（a）工龄（ b）学历（c） 教学（d）P10.750.9677419350.250.75P20.750.80645161

11、30.50.5P30.750.6774193550.50.5P40.750.645161290.250.75P50.750.6129032260.50.5P60.750.4838709680.750.25P70.50.4516129030.750.5P80.50.5161290320.50.5P90.50.4193548390.50.5P100.50.2580645160.50.75P110.50.3225806450.250.25P120.50.2903225810.250.75P130.50.2580645160.50.25P140.50.3870967740.50.5P150.50.41

12、93548390.250.75P160.50.354838710.50.5P170.50.3225806450.250.25P180.50.2258064520.50.5P190.50.2580645160.250.75P200.50.2903225810.250.5P210.50.3225806450.50.5P220.50.354838710.50.5P230.50.4193548390.50.5P240.50.3225806450.50.5P250.50.2580645160.250.25P260.250.2580645160.50.75P270.250.1612903230.50.5P

13、280.250.2903225810.50.5P290.250.1612903230.50.25P300.250.1935483870.750.5P310.250.1290322580.50.754P320.250.0967741940.50.5P330.250.0645161290.250.5P340.250.1612903230.50.75P350.250.1290322580.50.5P360.250.1935483870.250.25P370.250.2580645160.750.5P380.250.1612903230.750.75P390.250.0967741940.50.5P4

14、00.250.1290322580.50.75P410.250.0322580650.50.5P420.250.1612903230.50.75P430.250.0645161290.50.5P440.250.0967741940.250.25P450.250.1935483870.750.75P460.250.1290322580.50.5P470.250.0645161290.50.75P480.250.1935483870.750.75P490.250.0967741940.50.5P500.250.0322580650.50.5表 3 模糊综合评价法数据处理根据模糊评价矩阵 R=(r(

15、i,j) n*m构造用于确定个评价指标权重的判断矩阵 B=(bij ) n*n。模糊综合评价的实质是一种优选过程，可得到 19 级判断尺度的判断矩阵 :S(i )S( j )1)1,S( i )S( j )bij(bmS(max)S(min)S( i )S( j )1)1 , S(i )S( j )bij 1/(bmS(max)S(min)式中 Smin，Smax 分别为 s(i)|i=1n的最小值和最大值， 相对重要性程度参数值 bm=min9,intSmax/Smin+0.5，min 和 int 分别为取小函数和取整函数。此处，bm=2，计算结果如下：02.261.441.141.5602

16、1.701.79101.431.161.031.300为了度量判断矩阵是否具有满意的一致性，这里引入判断矩阵的平均随机一致性指标系数RIC(n) 值，如下表 【 1】：阶数 n3456789RIC(n)0.5780.4870.4510.3770.3210.3080.2775表 4 模糊综合评价RIC(n)max =4.06引入四阶矩阵的随机一致性指标C.I(Consistency Index)C.RC.I / R.I0.02 / 0.4870.041可见， C.R<0.1，所以可认为该判断矩阵具有满意的一致性，据此计算的各评价指标的权重值是可以接受的；否则需提高参数 d，直到具有满意的一

17、致性为止。可用各评价指标的样本标准差：反映各评价指标对综合评价的影响程度，并用于构造判断矩阵B。其中 i= r(i ，p) m为各评价指标下样本系列的均值，i=1 n。归一化得到以下数据：职称 a工龄 b学历 c教学 d权重0.271716970.2948926060.2370667110.19632371表 5 模糊综合评价权重通过计算机编程求解得到判断矩阵的一致性指标系数CIC(n)=0 0025。当 CIC(n)<0 10 时，可认为该判断矩阵具有满意的一致性，因此，用模糊综合评价法求得的各指标权重是有效的。加权平均将递阶层次结构模型和模糊综合评价模型所得结果进行加权平均，考虑到层

18、次分析法含有我们的主观意念， 而且它的一致性指标要大于模糊综合评价的一致性指标，我们给予 04 的权重，而给予模糊综合评价 06 的权重，最后得到以下相对满意的权重，即权重集 A：abcd综合权重0.300771220.2595802040.2171711470.22247743表 6 综合权重2.5综合排序构造各位教师的信息矩阵：Rp10.750.9677419350.250.75R(0.750.8064516130.50.5)p 2Rp 49(0.250.0967741940.50.5)Rp50(0.250.0322580650.50.5)根据信息矩阵 R、权重集 A，得出评价值 S，再进

19、行百分化处理，可得出 50 位教师的综合得分。评价值公式：6SpiA* RpiT ,( i1,250)百分化处理公式：S=Spi*100排序后所得结果如下：名次人员SQ1P4421.02256Q2P3623.53463Q3P3325.74714Q4P2928.12655Q5P4130.33906Q6P5030.33906Q7P4331.17642Q8P3232.01378Q9P3932.01378Q10P4932.01378Q11P2532.72862Q12P3532.85113Q13P4632.85113Q14P2733.68849Q15P1134.40333Q16P1734.40333Q1

20、7P4736.73836Q18P2837.03791Q19P1338.1579Q20P3138.41307Q21P4038.41307Q22P2039.12791Q23P3439.25042Q24P4239.25042Q25P3039.95512Q26P3741.62983Q27P2641.76249Q28P1842.88248Q29P1943.85249Q30P3844.6797Q31P1244.68985Q32P2145.39454Q33P2445.39454Q34P4545.517067Q35P4845.51706Q36P1646.2319Q37P2246.2319Q38P1447.06

21、926Q39P947.90661Q40P2347.90661Q41P1548.03927Q42P1049.28177Q43P850.41868Q44P754.17325Q45P656.96795Q46P560.45002Q47P461.42004Q48P362.12474Q49P265.47416Q50P169.79359表 7 教师得分排序给出一个对所有教师都奖励的合理政策；若需要对所有教师都奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。比例计算公式如下：K 1S 50其中， k1 表示比例系数， Spi 表示第 i 个教师的综合得分。piSpii 1若有奖金 M 元，则第 i 个教室应分得的

22、奖金是 M K 1元。2.5.2若只奖励 30 人，如何确定人选？根据 50 名教师的综合得分，提取前30 人，他们是： P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8，P10，P15，P23，P9，P14，P22，P16，P48，P45，P24，P21，P12，P38， P19，P18，P26，P37， P30，P42，P34， P20，P40。将这 30 人的信息提取出来：人员职称（a） 工龄（b） 学历（c） 教学（ d）P113031P212522P312122P412031P511922P611513P721412P8216228P921322P102821P122931P14212

23、22P1521331P1621122P182722P192831P202932P2121022P2221122P2321322P2421022P263821P303612P343521P373812P383511P403421P423521P453611P483611表 8 前 30 名教师信息并根据权重大小，制定政策。分析提取出来的 30 为教师的数据时，职称的权重最大。 根据主导因素法则，限制因子法以及逆向考虑法。首先考虑职称，职称考虑完毕，再考虑工龄，再考虑教学，最后考虑学历。所得政策如下：一、职称为 1的教师全部奖励。二、职称为 2的教师，考虑限制因子， P11、P17 和 P25 三

24、位教师的教学、学历同为 3 等级，这两个因素为其联合限制因子。 获奖者的教学、 学历等级不能同时为 3。三、 职称为 3 的教师，考虑他们为何不能得到奖金。分析：由于获奖教师的工平均数在 5 年，所以舍弃工龄因素。考虑教学和学历，对比发现，当教学和学历等级两项小于等于 2（不能同时为 2）时，他们获得奖金。四、 确定奖金数额，若需要这些教师进行奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。比例计算公式如下：K 2S30其中教师应分得的奖金是 MK 2 元。 SQi 表示第 i 名教师QiSQii1的综合得分。9以上政策可简化为：满足以下任一条件者，可获得奖金：1、职称为 1，其他无限制；2、职称

25、为 2，教学、学历等级不同时为3，工龄无限制；3、职称为 3，教学、学习等级小于等于2（不同时为 2），工龄无限制；4、确定获奖人员后，奖金按教师综合得分成比例分配。 分配值为 MK 2元。如何制订奖励政策， 恰好使高级、中级、初级教师的获奖人数是给定的数。设定高、中、低级教师获得奖金人数分别为x、y、z，其中 x6, y19, z25 。则对 50 名教师的排序过程中，由于各个教师的综合得分中， 职称所在权重一样，而各个等级中， 教师的职称所在分值一样， 所以可以舍弃职称因素而排序， 排序结果如下：名次人员SQ1P169.79359Q2P265.47416Q3P362.12474Q4P461

26、.42004Q5P560.45002Q6P656.96795表 9高级职称排序名次人员SQ1P754.17325Q2P850.41868Q3P1049.28177Q4P1548.03927Q5P947.90661Q6P2347.90661Q7P1447.06926Q8P1646.2319Q9P2246.2319Q10P2145.39454Q11P2445.39454Q12P1244.68985Q13P1943.85249Q14P1842.88248Q15P2039.12791Q16P1338.1579Q17P1134.4033310Q18P1734.40333Q19P2532.72862表 1

27、0 中级职称排序名次人员教师Q1P4545.51706Q2P4845.51706Q3P3844.6797Q4P2641.76249Q5P3741.62983Q6P3039.95512Q7P3439.25042Q8P4239.25042Q9P3138.41307Q10P4038.41307Q11P2837.03791Q12P4736.73836Q13P2733.68849Q14P3532.85113Q15P4632.85113Q16P3232.01378Q17P3932.01378Q18P4932.01378Q19P4331.17642Q20P4130.33906Q21P5030.33906Q2

28、2P2928.12655Q23P3325.74714Q24P3623.53463Q25P4421.02256表 11 低级职称排序在排序结果中，可取相应人数。政策制定方法如。能否制订一个奖励政策， 按照此政策高级、 中级、初级获奖人数分别为 2，4，6。方法与相同，则获得奖金名单如下：高级职称： P1,P2中级职称： P7,P8,P10,P15低级职称： P48,P45,P38,P26,P37,P30则所得政策为：11在职称一定的情况下分析获奖人员名单的条件，按照权重大小，首先考虑工龄，再考虑教学，最后考虑学历。一、高级职称时，先考虑工龄，发现P1,P2的工龄都在 25 年及以上。二、中级职称

29、时，先考虑工龄，工龄大于等于8 年，再考虑教学，教学等级大于等于 2，最后考虑学历，由于获奖者中学历等级有1、2、3，则，学历无限制。三、低级职称时，先考虑工龄，工龄大于等于5 年，在考虑，教学与学历，发现，获奖者的教学与学历等级都不为3，且不同时为 2。特殊情况，当学历等级为 2，教学等级为 1 时，工龄必需大于 5。四、确定奖金数额，对数据进行整理，将要获得奖金的教师及其综合得分如下：人员SP169.79359P265.47416P754.17325P850.41868P1049.28177P1548.03927P4545.51706P4845.51706P3844.6797P2641.7

30、6249P3741.62983P3039.95512若需要这些教师进行奖励，则应该根据他们的综合得分，按比例分配。比例计算公式如下：K 3Spi其中教师应分得的奖金是MK 3 元。S pi 表示第 i 名教师的综50Spii 1合得分。以上政策可简化为：满足以下任一条件者，可获得奖金：1、当职称为 1 时，工龄在 25 年及以上；2、当职称为 2 时，工龄在 8 年及以上，教学等级不为3，学历无限制；3、 当职称为 3 时，工龄在 5 年及以上，教学、学历等级都不为 3，且不同时为 2；4、 特殊情况，当职称为 3，学历等级为 2，教学等级为 1，工龄必须大于5年。5、确定获奖人员后，奖金按教

31、师综合得分成比例分配。 分配值为 MK 3元12三、模型假设1. 在 5 年的单位内，他么的工龄性质上面是一致的2. 在分析奖金发放政策时，仅考虑职称、工龄、学历和教学 4 项指标对其影响，其余因素影响忽略，记为 0。四、符号说明Wi权重wj权重R 信息矩阵A权重集Spi第 i 位教师的综合得分Ki奖金发放比例系数W 总奖金数Qi名次五、模型优缺点优点：1. 对原有数据进行规范化，简化了相关指标项的复杂度。2. 层次分析法与模糊综合评价两种方法相互印证，受主观因素影响小。3. 根据指标基本特性运用了升岭型分布方法对指标进行规划处理，使得模型更加科学严谨，具有很好的通用性和推广性。缺点：1. 忽略了每个指标间可能存在的联系2. 没有考虑除职称、 工龄、学历、教学外，其他因素对奖金发放的影响。六、模型的推广与改进实际生活中，影响奖金发放的因素错综复杂，在我们所建立的模型中，我们只考虑出了职称、工龄、学历和教学4 项指标，而这些指标中，我们均将其规范化，即划分档次进行统计分析。只是无法精确描述实际生活的。