五年级不规则图形面积计算供参考

1、五年级不规则图形面积计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形 等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：名称图形周长公式茴枳公式反方形ab周氏=2( a+b )面积=ab正方形口日周诧”自®R=i三角形冏 长= a+t)+c面枳=平行四边形/a周长=2(a+b )面积;5廓彩叨匕h 7周长-a+b+c+d面税二a+b i ' li菱形周长二4 a面积=4灰，印圆©周美二27T面r扇形邮长国周氏二安十邨长面积二嗡7工1 JbU实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合

2、、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算 一般我们称这样的图形为 不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施害U补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关 系，问题就能解决了。一、例题与方法指导例1如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。思路导航：f I n a，r n阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白三角形（ABG、2DE、zFG）的面积之和。例2如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，MBE、zADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形 AEF的面积.思路导航:.BE、z

3、ADF与四边形AECF的面积彼此相等，四边形AECF的面积与AABE、zADF的面积都等于正方形ABCD 的1。3在ZABE中，因为AB=6,所以BE=4 ,同理DF=4 ,因止匕CE=CF=2 ,.ECF的面积为2刈受=2。所以SAAEF=S四边形AECF-S任CF=12-2=10 （平方厘米）。两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。思路导航:在等腰直角三角形ABC中.AB=10.EF=BF=AB-AF=10-6=4 ,阴影部分面积=SMBG-S空EF=25-8=17 （平方厘米）。如右图，A为3DE的DE边上中点，BC=CD

4、，若AABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求MBD及MCE的面积.思路导航:取BD中点F,连结AF.因为MDF、MBF和MBC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于 5平方厘米.CD的面积等于15平方厘米，4ABD的面积等于10平 方厘米。又由于3CE与AACD等底、等高，所以4ACE的面积是15 平方厘米。二、巩固训练1 .如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的4 ,求正 5方形ABCD的面积。解：过E作BC的垂线交AD于F。在矩形ABEF中AE是对角线，所以SMBE=S MEF=8.在矩形CDFE中DE是对角线，所以S任CD=SEDF。2 .如

5、右图，已知：SMBC=1 , AE=ED,BD= 2BC.求阴影部分的aD3面积。解：连结 DF。.AE=ED,. SAAEF=S/1DEF; SMBE=S/BED'/BD =Ci-s2，闻影部分面积为三.3 .如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽 DE等于多少厘米？解：连结AG ,自A作AH垂直于DG于H ,在MDG中，为AD=4, DC=4 （AD 上的高）.f| /. SMGD=4 X4攵=8,又 DG=5,. SMGD=AH XDG 及，AH=8 X2 与=3.2 （厘米），DE=3.2 （厘米）。4.如右图，梯形ABCD的

6、面积是45平方米，高6米，MED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.心解：.梯形面积=（上底+下底）X高即 45=（AD+BC）-'.泡45= （AD+10） X6 攵，*. AD=45 X2%-10=5 米。ADE的高是2米。 EBC的高等于梯形的高减去 ADE的高，即6-2=4米，5.如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们 的面积相等.证明：连结CE,口 ABCD的面积等于4CDE面积的2倍，“阳DEFG的面积也是笈DE面积的2倍。 口口ABCD的面积与DEFG的面积相等。（一）不规则图形面积计算（2）不规则图形的另外一种情况，就是 由圆、扇形、弓形与

7、三角形、 正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则 图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当 的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的 和、差关系，同时 还常要和容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：Salb= Sa+ Sb-SA 田）合并使用才能解决。一、例题与方法指导例1.如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积解法把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。解法2:将上半个

8、“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3:将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半例2.如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积解：由容斥原理 S 阴影 =S扇形ACB + S扇形ACD-S正方形ABCD=xx 2 - AB4冗 1:=X4 2-4A314-2，6、 = 912平方米例3如右图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC = 4厘米,扇形ABE半径米，扇形CBF的米，求阴影部分的解；,云影=s号m总+s后号

9、二一s里三上3匕1 . 1 *=一乂加黑6 + X开乂4 一5足44 4="乂兀（36+16）-24AE=6-M半CB=面积。;= 137-24=151平方厘米）（取产3）.例4.如右图，直角三角形 ABC中，AB是圆的直径，且AB = 20厘米，如果阴影（I）的面积比阴影（H）的面积大7平方厘米， 求BC长。分析 已知阴影（I）比阴影（H）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径 / AB = 20罐装的英以来热圆耳学）.韦园向秋减赤7平方厘米， 就可求/用四）ABC即面积，进而求出三角形的底bc的长.=15 （厘米）.、巩固训练1.如右图，两个

10、正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积分析 阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（I）的面积之差。而（I）的面积等于边长为6的正方形的面积减 去1以6为半径的圆的面积。4解：s阻袤二s三交七AB一 （w三方经二延一&审料/1、，1 a=一乂 10+6）X6-（6乂6-一 乂冗乂6M 214=48-9 （取 1r=3）=39 （平方厘米）。2.如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60° ,此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取兀=3）.解：整个阴影部分被线段 CD分为I和II两部分，/B为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧

11、的部分面积为I+圆心角南那ABC面积S,由于弓形AD晟西正戈圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分喙晶蔻闻|yjs，由于:3.如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1 ,求阴影部分的 面积.解：阴影M的面积中阴影N的面积="8的面积2b-|阴影对面积=（正方形面积-：乂圆面积）=lx7TX 10乒J工=-x -=（取兀=幻 H I Q,阴影部分的总回积=”!X O O4.如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半 圆周上的中点，BC是半圆的直径，且 AB=BC=10 ,求 阴影部分面积（兀取3.14）。解：.三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等

12、的等腰直角飞步ACEw坦则SABSABCE二为正方形（利用对称性质）。=(10XW + 71 X52 -10X n) +2 =(100+3.25-75)一£= 6125+2 = 32.125.总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则 图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、 相加法：/f这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形， 分别事计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形 的面积，然后把它们相加就可以了 .二、相减法：尹%这种方法是将所

13、求的不规则图形的面积看成是若干个基本规L 一/则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、 直接求法：drR这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积 如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它就是一个底是2,高为4的三角形，面积可直接求出来。四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要， 重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可 .例如，欲 求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的 4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了五、辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中

14、添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相 减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可 以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便 六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部 分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图， 欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边， 这样整个 阴影部分面积恰是正方形面积的一半.平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当L-位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积 .例如，如 右图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正口方

15、形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个割阴影部分恰是一个正方形。“UJ八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某 一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧， 从而组合成一个新的基本 规则的图形，便于求出面积.例如，欲求图（1）中阴影部分的面积， 可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180 ,痣叭与C重合，从 而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面 积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则 图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴 影部分的面积，沿AB在原图下方作关于

16、AB为对称轴的对称扇形 ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理" SALB = SA + SB-SA PB）解决。例如，欲求右图 中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因 为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.2010年五年级奥数题：图形与面积（B）一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. （3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是 厘米.rrm2. （3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请

17、赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是 1.那么7, 2, 1三个数字所占的面积之和是 .3. （3分）如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是平方厘米.4. （3分）（2014张沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是平方厘米.5. （3分）在4ABC中，BD=2DC , AE=BE ,已知 ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于 平方厘米.4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是厘米.6. （3分）如图是边长为7. （3分） 如图正方形 ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形 DEFG的长DG是5 厘米

18、，那么它的宽 DE是 厘米.9. （3分）如图，正方形 ABCD的边长为12, P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别 是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是10. （3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是 10平方厘米，四边形 ABCD的面积是 平方厘米.二、解答题（共4小题，满分0分）11. 图中正六边形 ABCDEF的面积是54. AP=2PF, CQ=2BQ ,求阴影四边形 CEPQ的面积.12.如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是 平方厘米.16平方厘米.问：大正六角星形面积是多少13. 一个周长是56厘米的大

19、长方形，按图中（1）与（2）所示意那样，划分为四个小长方 形.在（1）中小长方形面积的比是：A: B=1 : 2, B: C=1 : 2,而在（2）中相应的比例是A': B'=1 : 3, B': C'=1: 3.又知，长方形 D'的宽减去D的宽所得到的差，与 D'的长减去 在D的长所得到的差之比为1:3.求大长方形的面积.1csD息Cb阴D-14. （2012?武汉模拟）如图，已知 CD=5, DE=7, EF=15, FG=6,直线AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是2010年五年级奥数题：图

20、形与面积（B）参考答案与试题解析一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. （3分）如图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米,那么它的周长是170厘米.考点：巧算周长.分析：要求该图形的周长，先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，然后先算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘2即可得出结论.解答：解：400勺6=25 （平方厘米），因为5>5=25 （平方厘米），所以每个小正方形的边长为5厘米，周长为：（5M+5 M+5M+5X2+5M+5） 22,=85X2,=170 （厘米）；答：它的周长是170厘米.点评

21、：此类题解答的关键是先求出每个小正方形的面积，根据正方形的面积公式，得出小正方形的边长，进而算出该图形的外周的长，因为内、外的长相等，再乘 2即可得出结 论.2. （3分）第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是 1.那么7, 2, 1三个数字所占的面积之和是25 .考点：组合图形的面积.分析：此题需要进行图形分解：7”分成一个长方形、一个等腰直角三角形、一个平行四边1”分成一个梯形和两个长方形；2”分成一个梯形、一个平行四边形、一个长方形;形.然后进行图形转换，依据题目条件即可求出结果.解答:解:7”所占的面积和=+3+4=苧222”所占的面积和

22、=3+4+3=10 ,1”所占的面积和+7=必，2, 2那么7, 2, 1三个数字所占的面积之和 :贬+弱+ 10=25.2 2故答案为：25.点评：此题关键是进行图形分解和转换.3. （3分）如图中每一小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形面积是6.5平方厘米.考点：组合图形的面积.分析：由图可以观察出：大正方形的面积减粗线以外的图形面积即为粗线围成的图形面积.解答：解：大正方形的面积为 4 >4=16 （平方厘米）；粗线以外的图形面积为：整格有3个，左上，右上上，右中Z,右下Z,左中与，右2222中三共有3+¥+5$=9.5 （平方厘米）；222所以粗线围成的图形

23、面积为16-9.5=6.5 （平方厘米）；答：粗线围成的图形面积是6.5平方厘米.故此题答案为：6.5.点评：此题关键是对图形进行合理地割补.4. （3分）（2014张沙模拟）如图的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是 24平方厘米.考点：组合图形的面积.分析：两个正方形的面积减去两个空白三角形的面积.0 解：4>4+8>8- ->4X （4+8）一5>8>8,=16+64 - 24- 32,=24 （cm2）；答：阴影的面积是 24cm2.故答案为：24.点评：求组合图形面积的化为求常用图形面积的和与差求解.5. （3分）在4ABC中，BD

24、=2DC , AE=BE ,已知 ABC的面积是18平方厘米，则四边形AEDC的面积等于 12 平方厘米.考点：相似三角形的性质（份数、比例）；三角形的周长和面积.分析：根据题意，连接 AD,即可知道4ABD和4ADC的关系，4ADE和 BDE的关系,由此即可求出四边形 AEDC的面积.解答：解：连接AD ,因为BD=2DC ,所以，SAABD=2S AADC ,即，SA ABD=18 $=12 （平方厘米），3又因为，AE=BE ,所以，SAADE=SABDE,即，SA BDE=124=6 （平方厘米），2所以AEDC的面积是：18- 6=12 （平方厘米）；故答案为：12.点评：解答此题的

25、关键是，根据题意，添加辅助线，帮助我们找到三角形之间的关系，由此即可解答.6. （3分）如图是边长为 4厘米的正方形,AE=5厘米、OB是 3.2 厘米.考点：组合图形的面积.分析：连接BE、AF可以看出，三角形 ABE的面积是正方形面积的一半，再依据三角形面 积公式就可以求出 OB的长度.解答：解：如图连接BE、AF ,则BE与AF相交于D点 SAADE=S ABDF贝USMBE=S正方形=2X （4>4） =8 （平方厘米）；OB=8 X2芍=3.2 （厘米）；答：OB是3.2厘米.故答案为：3.2.点评：此题主要考查三角形和正方形的面积公式，将数据代入公式即可.7. （3分） 如图

26、正方形 ABCD的边长是4厘米，CG是3厘米，长方形 DEFG的长DG是5 厘米，那么它的宽 DE是 3.2 厘米.考点：组合图形的面积.分析：连接AG,则可以依据题目条件求出三角形 AGD的面积，因为DG已知，进而可以 求三角形AGD的高，也就是长方形的宽，问题得解.解答：解：如图连接AGS/AGD=S 正方形 ABCD SACDG - Sa ABG ,=4>4- 3>42- 1冲及=16-6-2=8 （平方厘米）；8X2 与=3.2 （厘米）；答：长方形的宽是 3.2厘米.故答案为：3.2.点评：依据题目条件做出合适的辅助线，问题得解.8. （3分）如图，一个矩形被分成10个小

27、矩形，其中有 6个小矩形的面积如图所示，那么这个大矩形的面积是243 .252030361&12考点：组合图形的面积.分析：从图中可以看出每上、下两个小矩形的一个边是相邻的，也就是说长是相等的，那么 根据矩形的面积公式知，如果长相同，面积之比也就是宽之比，反之宽之比也就是面 积之比；由中间面积 20和16的矩形，可以算出空着的小矩形面积，最后把所有小矩 形面积加起来就是大矩形的面积.解答：解：由图和题意知，A252030D36SIBc12中间上、下小矩形的面积比是：20: 16=5: 4,所以宽之比是5: 4,那么，A : 36=5: 4 得 A=45;25: B=5: 4 得 B=2

28、0;30 : 0=5: 4 得 C=24 ;D: 12=5 : 4 得 D=15;所以大矩形的面积=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243 ;故答案为：243 .点评：此题考查了如果长方形的长相同，宽之比等于面积之比，还考查了比例的有关知识.9. (3分)如图，正方形 AB0D的边长为12, P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别是边BC、AD上的三等分点，E、F、G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是60 .考点：组合图形的面积.分析：根据题意：正方形 ABCD的边长为12, P是边AB上的任意一点，M、N、I、H分别 是边BC、AD上的三等分点，E、F

29、、G是边CD上的四等分点，可连接 DP,然后再 利用三角形的面积公式进行计算即可得到答案.解答：.一 . 1111解：阴影部分的面积 =>DH >AP+>DG >AD+>F>AD+ >MN XBP2222=>4 >P+ >3 M2X3 M2M XBP2222=2AP+18+18+2BP =36+2 X (AP+BP ) =36+2 M2=36+24=60.答：这个图形阴影部分的面积是60.点评：此题主要考查的是三角形的面积公式.10. （3分）图中的长方形的长和宽分别是6厘米和4厘米，阴影部分的总面积是10平方厘米，四边形 ABCD的

30、面积是 4 平方厘米.rA H考点：重叠问题；三角形的周长和面积.分析：因为S4EFC+SGHC=四边形EFGH面积吆=12 , SA AEF+SAGH=四边形EFGH面积e=12,所以SA ABE+S ADH=S BFC+S DGC=四边形EFGH面积 及-阴影部分的总面积 是10平方厘米=2平方厘米.所以：四边形 ABCD面积=S4ECH - （SAABE+S AADH ）=四边形 ABCD面积为 -2=6 - 2=4平方厘米.解答：解：由题意推出：S4ABE+S AADHuS BFC+SDGC=四边形EFGH面积登-阴影 面积10平方厘米=2平方厘米.所以：四边形 ABCD面积=S4EC

31、H - （SAABE+S AADH ）=四边形 ABCD面积为 -2=6 - 2=4平方厘米.故答案为：4.点评：此题在重叠问题中考查了三角形的周长和面积公式，此题设计的非常精彩.二、解答题（共4小题，满分0分）11. 图中正六边形 ABCDEF的面积是54. AP=2PF, CQ=2BQ ,求阴影四边形 CEPQ的面考点：等积变形（位移、害U补）.分析：如图，将正六边形 ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平 行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积.解答：解：如图，SA PEF=3, SA CDE=9, S 四边形 ABQP=11 .上述三块面积之和为 3+9+

32、11=23.因此，阴影四边形 CEPQ面积为54- 23=31. 点评：此题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题.12. 如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米.问：大正六角星形面积是多少平方厘米.考点：等积变形（位移、害U补）.分析：由图及题意知，可把涂阴影部分小正六角星形等分成12个小三角形，且都与外围的6个空白小三角形面积相等，已知涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，可求出大正六角星形中心正六边形的面积，而这个正六边形又可等分成 6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面积相等，进而可求出大正六角星形面积 解答：解：如下图所示，涂阴影部分小正六角星形可等分成12个小三角形，且都与外围的 6个空白小三角形面积相等，所以正六边形 ABCDEF的面积：16T2 X （12+6） =24 （平方厘米）；又由于正六边形 ABCDEF又可等分成6个小正三角形，且它们与外围六个大角的面 积相等，所以大正六角星形面积：24X2=48 （平方厘米）；答：大正六角星形面积是 48平方厘米.点评：此题要借助求正六边形的面积来解答，它既可看作是18个小正