偏微分方程资料

1、1 Fourier 变换定义：若"证则称 FEJ，你加为小)的Fourier变换，记作 F加)二 F| f(加或 fM o相反，如果F®w /一，则 23 r称为f(,Y)的傅里叶逆变换，记为f二F 12(叫.对于“维函数"山川*,定义":广。(不公用小皿阿士i也为(询,士4)的Fourier变换；其逆变换公式为：f(* 11 ) =I 1 * f)/"1国1*3乜*d由、dm.5)J“例1求，H)=，的Fourier变换。解由Fourier的定义得tlx =例2:求解波动方程的初值问题ut-u = /sin a fr 11M a;0) = 0

2、,t/r(xO) = sin x解：方法一：用Fourier变换法来求解。il(比,力=J-K对方程以及初始条件关于变量x取Fourier变换得,du 士 , x _ ,=-w 0 + 1ft t d(w + l-c> I)drL、°b广0j ;加- i)iat解之得：j i(w;0= 3 (3 + 1)- 1) f + 色.J -')- i 5 (w + 1<5 (cti - 1 )J sin aft取Fourier逆变换得到:方法二：运用叠加原理及行波法来求解根据线形片未分方程的叠加原理，方程可以分解成下面的两个问题的求解：为"；0）= 0叫（茁0）

3、 = 0% - = °（2）；出 t,0） - 0, mA x, 0） = sin v占、 叩a v -事那么原方程的解可以写成：对于方程（1）,依据齐次化原理，方程的求解可以转化成下面问题的求解:%-% = 0M a; = 0” 巩儿）=r sin x»(/)=J 闸 x, Cr)c/r并且根据行波法，可以求得上述方程的解为：IMx"*r)= t = T co$(x- /+ r) + r cos(x+ /- r)对于方程(2),直接根据行波法可以求得：= - J 4口 rdr M ''cosfx- r)-cos(x+ 川 X f那么原方程的解为：

4、廿二%+以三fsin x I L2分离变量法2. 1分离变量法的物理背景以及基本思想分离变量法又称为Fourier方法，而在讨论波动方程时也称为驻波法。此方法 源于物理事件中的如下事实：机械振动或电磁振动总可以分解为具有某种频率 和振幅的简谐振动的叠加。而每一个简谐振动具有形式：C 二C CJ二C这正是物理上的驻波。从数学的角度看，驻波就是知 含变量1和只含变量，的函数的乘积，即具有分离变量的形式。由此启发我们 在求解线性定解问题的时候，可尝试先求出满足齐次方程和齐次边界条件的具 有变量分离形式的解皿"/他切打二12然后将它们叠加起来，记为：fT-1然后再利用初始条件确定各项中的任意

5、常数，使其成为问题的解。2. 2使用分离变量法解题得五个步骤：(1分离变量：将分离变量的形式代入方程以及边界条件中(2解常微分方程(3决定解的结构(4利用叠加原理得到级数形式的解(5利用初始条件和尚未利用的边界条件来确定叠加系数。例1:试用分离变量法来求解下面定解问题ltfl -/"口 = 0 (0 </.0 < /)(I K.0 ) = C?( x /，A；(0=( .V)明(0/)= u J/,zi = 0解：分离变量法：令代入上述方程中，方程变为 二。令丫r,x(x) jzr(o则加上边值条件有，原方程即化成下面的形式:Ta)+A?r(Z)=0(1)X (x) +

6、X( .r) = 0(2)(n h.X( A)/(Oi =A); A| .Vf (0) = A) U)、X (0) = (/) = 0(4)解方程(“)，对参数i进行分类讨论如下:(1当A <0时，方程(2的解为：X(x)= C产十小用其中4,。由条件(4确定，又因为X (x) = 1口产-G C© "则有：|c77-g/T=oJ二2 口产 _ ade 日=0得到,：故：1即：1显然零解是没有意义的，故舍去1 <°的情形。(2当1 = 0时，方程(2的通解为，x(x=c 十 g而,由初始条件知所以：,1(3当0时，方程(2的通解为X = £

7、cos44 + C sin iAx而由初始条件（4得到G sin历=0.J = 0而。必不为零，否则x（m。厂 mr 、j yj）. （0=1,2）所以就近，0,即 IX 从而相应的 确定解的结构： | 当1 = 0时，方程（1即为彳（"=0解得,当时，将带入（1中得到2 j J * 小|）+以”=。其通解为:a/LT r于是得到满足方程以及初始条件的特解4+印 S=0)ufl( 0= ( 3njr , an露 /?jt11 /rcos(n> 0)叠加过程：定解问题的级数形式解为确定叠加系数，将 加4力的表达式带入初始条件中，得4卜 + £ 4 COS 耳=p( X)

8、 (0 < A< /)*=| *£, + Y Bv -cos a = ( a) (0 < x< I)M-l /'利用Fourier余弦展开，系数得到A 二!)伊(一1)4.4 = J>(a)cos-vi/a琢 _(x)d*0 _2awn;ry (.¥)cos - xdx用分离变量法同样得步骤可以求得下面两个常用问题的解为:丐r= o (0 < x< AO <« W(At0) =0(*%(芯0)=肥(耳)«(0, r)=川人n = o'a 川r. HHft ， , nnu( xT Q - y

9、汽,cosf+ B sin1 sin aui-/外, = 0 (0 < a < AO < 0 川黑0)=歹(jt)t*0,，=廿= 0m '。= £Ce&in xa./例2:就下列初始条件及边界条件，解弦的振动方程。 u(xfi) = 0川4K0)= */- X)卅0G= u(/j)二 0解：m工。是下歹I定解问题的解I ut/ - n'i/u = 0 (0 < jv < AO < / ) u( a;0) = 0.= xlf- A)w(0j)= u(Jj)- n该定解问题的级数形式解为t sin xann , ann cos

10、r+ £?_sm 由初始条件来确定系数4, 4,由于双工仆）二£ A虹口 fv=0an _ 、 . /lt此（，,0） = Y B SLE1 x= x（!- a） ，公 /故4 =。2 以B(; j x(l- A)sin xdx-加上;2 二.而J .而 / ,vsu!xdx - a sin xdx =L o 1i 1.4/ , ,(1 cos njr) "a所以，方程的解为HJ? rtJT /1T£ -T-口 T- lfsin -/sin - A 大 口狂1/2. 3非齐次问题的齐次化边界条件必须是齐次化的才能构成固有值问题，这是分离变量法的关键，对于

11、 非齐次边界条件的处理，主要思想是把非齐次的边界条件化成齐次的边界条 件。一般的做法是先选取一个适当的已知函数 UtJ）,令加工力二HxO+使得对于新的未知函数 Mt"）来说，边界条件是齐次的。特别的，对于含有非齐次边界条件的非齐次方程，如果边界条件是常数，方程 中的自由项只是I的函数，则可以通过未知函数的代换同时将边界条件和方程 都化成齐次的，这时只需要选取一个只是 A的函数M寸，令H（4f）= m +使得对于新的未知函数边界条件和方程都是齐次的，于是可以用分离变量法求解"（工力。例1解出具有放射衰变的热传导方程_ 工Jj 1 4 JI=0已知边界条件为初始条件为小二丁

12、（丁常数）。解：题述定解问题为AI - fuxv - - r“* = 0 (0 < a< AO < f) a" a"" 廿M 0) = To(0, f)= u(/t/) = 01-1)令其中门，则上面的定解问题化成ut - butt = '.厂工(0< x< AO < l)(1)- h( a0)= T州 0.f)= u/tt)= 0解上述方程，采用叠加原理，上述问题可表示为M x, t) -1( x t) + M 尤 f其中U %”和分别是下面两个方程的解I v - b v =0 w - b w - Ab e ,I(2)

13、h*,0)二甲(»= T (3)1 附芭0) = 0I HO.O 二 二。工口 I 同()/)= u< /T 0 = 0其中（2的解可以直接得到对于问题（3我们采用齐次化原理，我们先求解4-b% = o茶门.Ab-eav/NO,。 MM) - 0得到J1TA = -J Abc a*sin xdx=2帅” ri , uhT3-U-(-l)匚ri / * n jt故（3的解为n( .v, 0 = J M & tj )tfr =则原方程的解为:例2试将定解问题U（t -= 0 0 </J > 0）m *0）=中（k,o）二里 g<i/（0,/）- AuJOj

14、）- M（f）（/）+ MU J）= a2（0的非齐次边界条件化为齐次边界条件。解：令"（V）二+联范f）,这里的边界条件为第三类非齐次边界条件, 般假设MM=（Ar+ B）M（f）+（C" D）m（。其中AB,（：0都是待定的常数，而LHJ）二加"九为了使得关于IF的定解问题的边界条件齐次化，H °）必须满足H。）-力4（0）=当/）+姐（/=%（。即（8-8用*"）*（"力。氏廿=*（。$（4/+ B+ 力用小（"+ （C7+ D+ 力）出（。=小 H）比较对应的系数得：B-hA= J/+ 5+ hA= 0| D- AC

15、= 0 C/+ D+ hC='解以上两系数方程得：I /+ h 1, hA =* B= 1C =, D =/+2A/+2A"2 力/+2A通过简单计算得到/+2A这样就得到下面关于 必的齐次边界定解问题。y, K+ fl * 4*券一门/ =(o< a< o)/+ 2hMxO) = wO- M(0)-士g式0)一4(0)/+ 2A4(0) = F( 0' m(Q) 区I。)- "；(0H，+ 2/iu(Q,r)- Ajj,(0, /) = 0,4/(/, 0 + Jru,(A/) = 0通过上面的结果可以看出，得到的关于Mm仆的方程并不是一个齐次

16、问题。2. 4半无界弦的初值问题的延拓法例1：讨论下面方程的解的问题u/r - a'u - 0 (Ou > 0)第尤0)=中(丸。外(范0) = w(R m(v)-解：先对未知函数做变换 八，相应的是下面初值问题%/4 = /(x> 0j> 0)K$0)= ?>(X)-/i(0)以耳:(0)M0)=0依据齐次化原理，只需要讨论下面初边值问题即可：uJr 1= U ( a> O.r > 0)鼠x,0)=中(3)修(至0) = w (方(1)小。，。=°下面设叫寸和W'v)分别是3(#和学川到R上的延拓，然后求解下面Cauchy 问题u

17、fi 0（A£> 0）州工0）中（、）印工用二甲（方k 2）由行波法求得：(3)<!>(.¥+ <7Z|+ Q1 ( A- j 中(5)& t jr如果希望上面的“（，力是问题（1）的解，为此就要求moj） 二 0,即特别的，当巾一巾（冷，甲（H二-甲（7）时，即巾（力和分别是加X）和 到R上的奇延拓时，公式（3）给出了方程（1）的解。即问题（1）的解可以写成下面的形式：（ 一a了中出。十价（与一？。十 fN（s）d$*x>#f八'ITJN M F）二|»*打）一甲（一门。+ f （s）ds. x< at1M J

18、3 Laplace 变换定义1.7设山）为定义在忖，）上的函数，且积分L "" " （P为复参变 量）对复平面上某一范围P收敛，则由这个积分所确定的函数称为 f的Laplace 变换，即F（/）= U *3=广 口小 物而函数F（P）的Laplace逆变换为f（t）= LFlpK ,dp2jrrr,r例用Laplace变换的方法解常微分方程。j：（1）4 j=sin t （0 . I乂0）二。,卜二-一解：由微分性及初始条件可知:4八川- 卜 /0）- y（o）= F4M3 + -2对（1两边进行Laplace变换，得：父 UM01+!+ 4M 川=25 +1即：4川 7F* *1/ ? n（Us