初中数学平面几何题20道

1、1、三角形ABC中,AD为中线，P为AD上任意一点，过p的直线交 AB于M.交ac于N,若AN=AM 求证 PM/PN=AC/AB证明：过P点作BC的平行线交 AB,AC分别于M,N点；再分别过 M,M两点分别作 AC的 平行线分别交AD（或延长线）于 P,A两点。由 MN平行 BC 得：AC/AN=AB/AM,即 AC/AB=AN/AM.且 MP=NP由三角形 ANP全等三角形 AMP得：MA=AN.所以，AC/AB=AM/AM由三角形 AMA相似三角形 AMP得：AM/AM=MP/AM,即 AM/AM=MP/AM所以：AC/AB=MP/AM由三角形MPP相似三角形ANP得：MP/AN=MP

2、/PN而 AN=AM所以：MP7AM=MP/PN1题图所以：AC/AB=MP/PN2题图2、在三角形 BCD43 ,BC=BD,延长BC至A,延长BD至E,使AC=BE连接AD,AE,AD=AE,求BCD 为证明：过点 A作CD的平行线交 BE的延长线于F点。则/ BDC= / F= / BCD= /A,即/ A=Z F.又因为：四边形 AFDC是梯形所以：AC=DF=FE+DE而 AC=BD+DE所以：BD=FE又因为：AD=AE, / BDA= / FEA所以：三角形 ABD和三角形AFE全等所以：/ B=/F所以：/ B= Z BCD= Z BDC=60所以：三角形BCD是等边三角形。3

3、、三角形ABC中若圆O在变化过程中都落在三角形 ABC内（含相切），A为60度,AC为8,AB 为10,X为未知数，是AE的长.圆O与AB,AC相切，圆O与AB的切点为E, X的范围是？ 解：如图，当元 O与三角形ABC三条边都相切时，x的值最大。此时：过B作BD垂直AC,则可求得 BD=5(/3),DC=3根据勾股定理求得 BC=2 21)设元O与边AB,BC,CA的切点分别为 E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,则有方程组: x+y=10,x+z=8,y+z=2( V 21),解这个方程组得：x=9- (，21)因此：x的范围是(0, 9-V21 4、已知三角形 ABE中C、D分别

4、为AR BE上的点，且 AD=AE三角形BCM等边三角形, 求证 BC+DE=AC证明：过D点作BE的垂线DF,交AB于F点，过A点作BE的垂线AH,H是垂足，再过 点作AH的垂线FG,G是垂足。贝U:四边形 DHGF是矩形，有 FG=DH. 而由 ADE是等腰三角形得知 DH=HE, 所以：FG=(1/2)DE.又由于角B=60 ,所以：/ BAH=30所以：FG=(1/2)AF所以：AF=DE而在直角 BDF中，由于/ B=/BDC=60 所以：/ CDF=/CFD=30所以：CF=CD=BC所以：BC+DE=CF+AF 即：BC+DE=AC5、已知在三角形 ABC中,AD是BC边上的中线

5、，E是AD上的一点,且BE=AC延长BE交AC与F,求证 AF=EF证明：如图，连接 EC,取EC的中点G,AE的中点H,连接DG,HG则：GH=DG所以：角1 = 7 2,而/ 1=74, / 2=/3=/5所以；/ 4=/5所以：AF=EF.6、在4ABC中，D是BC边中点，O是AD上一点，BO,CO 的延长线分别交 AC,AB于E,F 求证：EF平行BC。证明：分别过 B,C两点作AD的平行线分别交 CF,BE的延长线于 M,N两点。则： 四边形MBCN是平行四边形。由MB | AO II CN,得：OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形对应边成比例）而 BM=CN

6、所以：OF/FM=OE/EN所以：MN | EF而 MN | BC所以：EF | BC.7、已知：在 ABC 和 ABC中，AB=AB, AC=AC.AD , AD分别是 ABC 和 ABC 的中线，且 AD=AD.求证： ABCA ABC证明：分别过 B,B点作BE | AC,BE | AC.交AD,AD的延长线于 E,E点。则：ADC0EDB, AADCEDB所以：AC=EB,AC=EB ; AD=DE, AD=DE.所以：BE=BE, AE=AE所以： ABEA ABE所以：角 E=/E 角 BAD= H BAD所以：角BAC=角BAC所以： ABCA ABC8、四边形 ABCM菱形，E

7、,F 为 AB,BC的中点，EPl CR / BAD= 110o,求/ FPC勺 度数解：连接BD,交AC于O点，过A作CD的垂线，垂足为 G,过O作BC的平行线交 CD于H. 因为：角 DAB=110 , / GAB=90 所以：/ DAG=20 。由/AOD=/AGD=90 知 AOGD 四点共元，所以/ DOG= Z DAG=20由 OH | BC | AD 知：/ HOC= / DAC=(1/2) / BAD=55所以：/ GOH=90 -20 -55 =15而：/ OHG= / BCD=110所以：/ OGH=180 -15 -110 =55由于：不难证明/ FPC=/OGH (过程

8、略)所以：/ FPC=559、已知：E是正方形 ABCD内的一点，且/ DAE= ZADE=15 ,求证： EBC是等边三角形证明：过E点作AB的平行线EP,交BC于P点，交AD于Q点，以D为角顶点，DA为角 的一边，向正方形 ABCD内作/ ADF=30 ,角的一边交 EP于F点。设 DQ=/3,贝U: FQ=1, DF=2, AD=2,3 , PC=PB=AQ=3,由角平分线定理得：QE/EF=QD/DF,即：QE/(1-QE)=(，3)/2解得：QE=2(/3) -3所以：PE=PQ- QE=2(/3) -2(，33=3在 EPC中由勾股定理得： EC=/ (PE2+PC2) =2,3而

9、：BE=CE所以：BC=BE=CE=23即： EBC是等边三角形。10、在三角形 D、E,求证, 证明：ABC中，经过BC的中点M,有垂直相交于 M的两条直线，它们与AB,AC分别交于BD+CE DE如图，延长 EM 至ij E,使 EM=ME,贝U: DE=DE, 由 BEM CEM 得：CE=BE在 BED 中，有 BD+BEDE等量代换得：BD+CEDE11、AB是等腰直角三角形 ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN把 MCN 翻折，使点C落在AB上设其落点(1) .如图一，当是 AB的中点时，求证： PA/PB=CM/CN(2) .如图二当P不是AB中点时，结论

10、PA/PB=CM/CN 是否成立？若成立,请给出证明(1)、证明：因为P是AB中点，所以：AP/PB=1,因为：P点是C点沿直线MN折叠的落点，所以：MN垂直平分PC,所以：CM=MP,由 AP=BP 得/ ACP= / BCP=45所以：CM=MN所以：CM/CN=1所以：PA/PB=CM/CN(2)、结论仍然成立。证明：过P点分别作 AC,BC的垂线PE,PD.E,D 是垂足。过 C作CF垂直AB,F是垂足。则:S APC=(1/2)AC*PE=(1/2)AP*CFS BPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF而 AC=BC所以：PE/PD=AP/BP由/MCN=/MPN=90 知

11、MCNP四点共元所以：/ PME= / PND所以：RTAPEM BD+DE+EC证明：设直线 DE交AB于F,交AC于G,则：在4AFG 中，有 AF+AGFD+DE+EG在 BFD 中，有 BF+FDBD在4EGC 中，有 EG+GCEC所以：三个不等式两边相加得AF+AG+BF+FD+EG+GCFD+DE+EG+BD+EC即：AB+ACDE+BD+EC15、在三角形 ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点 O,BO与OD的长 度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点 O?为什么？答：BO=2DO,BC 边上的中线过 O点。证明：连接 AO,设M,N分别是BO,CO

12、的中点，连接 EM,DN,则：EM平行并等于 AO的一半，DN平行并等于 AO的一半所以：EM平行并等于DN所以：四边形EMND是平行四边形所以：MO=OD所以：BM=MO=OD所以：BO=2DO延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则:由 AG | EQ | DH,BM=MO=OD 得知 BQ=QG=GH=HC所以；BG=GC所以；BC边上的中线过O点。16、在4ABC中，AB,BE是 ABC的高，交于点 H,边BC,AC的垂直平分线 FO,GO 相交于点O求证：OF=1/2AH,OG=1/2BH证明：连接 CO并延长交 ABC的外接圆于 M点。则：OC是元的直径。OF

13、=(1/2)BM,ZMBC= ZMAC= ZADB= / BEA=90所以：BM | AD,AM | BE所以：四边形MBHA是平行四边形所以：BM=AH所以：OF=(1/2 ) AH.同理可证：OG=(1/2)BH.17、三角形中线分别为 9 12 15 求三角形面积解：过F点作AE的平行线，交DC于H点，则：FH= (1/2)AM=5,MH=3,(三角形中位线定理，三中线交点分中线性质)而：MF=4所以：三角形 FMH是直角三角形，即 BM XDC.所以：SA BCD=(1/2)*9*8=36,所以：SA ADC=S BCD=36 (同高等底的两个三角形面积相等)所以：SA ABC=721

14、8、在 ABC中/ A=90 , ADXBC于D, M是AD的中点，延长 BM交AC于E,过E作 EFBC 于 F。求证：EF2=AE*CE证明：如图，延长 BA,FE交于N.因为：AD | FN所以：AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE所以：AM/NE=MD/EF而：AM=DM所以：NE=EF由于：角 NAC= / NFC=90所以：AFCN四点共圆所以：AE*EC=EF*EN所以：EFA2=AE*EC19、已知 E为平行四边形 ABCD的边BC上的任一点，DE延长线交 AB延长线与 F,求证 SA ABE=S CEF证明：分别过C,E两点作AB的垂线CH,EG,H,G 是垂足。设

15、 BE=m,EC=n由BFEsCDE 得：BF/CD=m/n.即 BF/(BF+CD)=m/(m+n)也就是 BF/AF=m/(m+n) (因为 AB=CD ,有 AF=BF+CD)由 RT BEG s rt BCH 得：HC/GE=(m+n)/m所以：(BF/CD)*(HC/GE)=1而：SAAFE=(1/2)AF*GESABFC=(1/2)BF*CH所以：SA BFC/S AFE=BF*HC/AF*GE=1所以：SA BFC=S AFE两边同时减去 SABFE得：SAABE=S ACEFo20、等腰直角三角形，角 A为90, D, E两点为斜边上的动点，角DAE=45，当D合B重合或E和C重合时，线段 DE的长度等于BD+EC 当不重合时，DEBD+CE.证明：不重合时。以A点为顶点，AC为一边向 ABC的外侧作/ CAB,使/ CAB= Z DAB.截取AB=AD.又因为：AC=AB.所以： C