动点问题中的最值最短路径问题解析版

1、专题01动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法 .、基础知识点综述1 .两点之间，线段最短；2 .垂线段最短；3 .若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A B在一条直线上时， PA PB最大，最大值为线段 AB的长（如下图所示）；P

2、'4 .最短路径模型（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置.如下图所示，P是x轴上一动点，求 PA+PB的最小值的作图.（2）双动点模型P 是 / AOB一点,M N分别是边OA OB上动点，求作 PM画长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OAOB的对称点P'、P'',连接P'P''与动点所在直线的交点M N即为所求5.二次函数的最大（小）值2a x h k,当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法（详见精品例题解析）利

3、用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答三、精品例题解析例1. （2019 凉山州）如图，正方形 ABC珅，AB=12, AE=3,点P在BC上运动（不与 B、C重合），过点P作PQL EP,交CD于点Q则CQW最大值为例2. （2019 凉山州）如图，已知 A、B两点的坐标分别为（8,0）, （0,8）.点G F分别是直线x=5和x轴上的动点，CF=10,点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E,当 ABE面积取最小值时，tan/ BAD：（）CBx= - 5_817B.7_17C.例3. （2019 南充）如图，矩形硬纸片ABCD勺顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点 B

4、在x轴的正半轴及原点上滑动，点 E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出结论：点 A从点O出发，到点B运动至点O为止，点 E经过的路径长为 12汽；OAB的面积的最大值为 144;当 OD最大时，点 D的坐标为25 2626125 2626其中正确的结论是（填写序号）例4.（2019 天津）已知抛物线 y x2 bx c （b、c为常数，b>0）经过点A（1,0）,点Mm。）是x轴正半轴上的动点，若点 Q （b 1,yQ）在抛物线上，当 J2AM 2QM的最小值为应2时，求b 24的值.例5. （2019 舟山）如图，一副含 30°和45°角的三角板 ABC和EDF

5、拼合在个平面上，边 AC与EF重合，AC 12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑 动.当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm ；连接BD,则 ABD的面积最 大值为2cm .过点O作OHL BC于点H,以O为例6.(2019 巴中)如图，在菱形 ABCDK连接BD AC交于点圆心，OW半径的半圆交 AC于点M(1)求证：DC是圆O的切线；(2)若AG4MC且AC=8,求图中阴影部分面积；PHPM的值最小，并求出最小值(3)在(2)的前提下，P是线段BD上的一动点，当 PD为何值时,专题01动点问题中的最值、最短路径问题（解析）例1.（2019

6、 凉山州）如图，正方形 ABC珅，AB=12, AE=3,点P在BC上运动（不与 B、C重合），过点P作PQL EP,交CD于点Q,则CCW最大值为 【解析】解：: PQL EP, /EPQ90 ,即/ EPB/QPC90 , 四边形ABCDI正方形， ./ B=ZC=90° , / EPB/BEP=90 , ./ BEP=/QPCBE% CPQ,BE BP一 , CP CQ AB=12, AE=3,BE=9,设 C&y, BP=x, CP=12-x, (0<x<12)12 x yx 12 x9，当x=6时，y有最大值为4,即CQ勺最大值为4.【点睛】此题为“一线

7、三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解 最值问题.例2. (2019 自贡)如图，已知 A、B两点的坐标分别为(8,0), (0,8).点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10,点D是线段CF的中点，连接 AD交y轴于点E,当 ABE面积取最小值时，tan/BAD：()C-91_【解析】解：&abe=- be OA 4BE,2当BE取最小值时， ABE0积为最小值设x=- 5与x轴交于点G,连接DG因为D为CF中点， CFG直角三角形，,1所以 DG CD 5,2.D点的运动轨迹为以 G为圆心，以5半径的圆上，如图所示入 x=A*x= - 5

8、由图可知：当 AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图,过点E作EHLAB于H,. O(=5, OA=8, DG5,在RtAADG,由勾股定理得： A®12, AO团 ADGAO ADOE DGL IO求得：OE：10, 3由OBO盒8,得:BE=14 , / B=45 , AB=8亚 3.EH=BH=2BE7.217,2AH=AB BH=,33 .tan / BAB空AH7.2二 717.2173故答案为B【点睛】此题解题的关键是找到ABEB积最小时即是 AD与D的远动轨迹圆相切的时刻.进而构造以/BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解例3. （201

9、9 南充）如图，矩形硬纸片 ABCD勺顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动，点 E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出结论：点 A从点O出发，到点B运动至点O为止，点 E经过的路径长为12n；' OAB的面积的最大值为144;当 OD最大时，点 D的坐标为25 26 125.26.（填写序号）(,),其中正确的结论是26261【解析】解：根据题息可知：O日- AB=12,2即E的轨迹为以O为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分）根据弧长公式，得点 E的路径长为：-90-12=6式，故错误；180因为AB=24,当斜边AB上的高取最大值时， OA

10、明面积取最大值,点O在以AB为直径的圆上(圆心为E),当OHAB时，余边 AB上的高最大,一 ，一，1所以 OAB勺面积取最大值为：一224 1 2=144,故正确;连接OE DE得：ODs OEOE当O E、D三点共线时取等号,即OD勺最大值为25,如图，过点 D作DF y轴于F,过点E作EGL y轴于G可得：EG OEDF OD1225广 一12即：EG DF,25AF AD 5EG AE 12,5df，5即：AF EG12设Df=x,在RtADF中，由勾股定理得:x25x 25,解得：x=25詈 125.26在RtA OD冲，由勾股定理得： O乒,即点D的坐标为（，塔雪，故正确.2626

11、综上所述，答案为：.例4. （2019 天津）已知抛物线 y x2 bx c （b、c为常数，b>0）经过点 收一1,0）,点Mm。）是x轴正半轴上的动点.若点Q （b 1,yQ）在抛物线上，当 J2AM 2QM的最小值为 现2时，求b24的值.【答案】见解析【解析】解：.一2x bx c 经过点 A（ - 1,0）,1- 1+b+c=0,即2x bx b 11点 Q （ b , yQ2）在抛物线2.y x bxc上,b 3yQ2 4,b>0,Q点在第四象限,.2AM 2QM 2 "am2QM所以只要构造出AM QM即可得到2亚AM 2QM的最小值取N （1,0 ），连接

12、AN过M作MG_ AN于G连接QM如图所示, AGM等腰直角三角形,GM孝AM ,即当G M Q三点共线时,GMMQX最小值，即,2AM2QM取最小值,此时 MQ圉等腰直角三角形, - QM= */2Qh = 22 , GM AM = m 12 4222AM2QM 22AM2QM33 24b 3 ,1 b 1_- QHMH =b m 解得：n=2 422 4联立得：n=7, b=4.4即当,2AM2QM的最小值为皿时,4b=4.【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将J2AM 2QM转化为2 ±2 AM QM ,进而根据两点2之间线段最短及等腰三角形性质求解.例5. （2019 舟山）如

13、图，一副含 30°和45°角的三角板 ABC和EDF拼合在个平面上，边 AC与EF重合，AC 12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑 动.当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm ；连接BD,则 ABD的面积最大值为2cm【答案】24-12、,2; 36、2 24,3 12,6【解析】解：如图1所示，当E运动至E' , F滑动到F'时,过D'dD' G± AC于G D' H，BC交BC延长线于点 H,可得/ E' D G/F' D H, D' E =D

14、' F', .WE' D 8RtAF D' H,. D' G=G H在/ ACH勺角平分线上， 即C, D, D三点共线.通过分析可知，当 D' E'，AC时，DD的长度最大，随后返回初始D点，如图2所示，D点的运动路径为 A D - D,行走路线长度为 2DD ;/ BA030 , AG=12, DE=CD.BG=4、,3, CD=DE=6,2 ,由图知：四边形 E' CF D'为正方形，CD =EF=12,.DD =CD -CD=12-6 J2, D点运动路程为 2DD =24- 1272 ;如图3所示，当点D运动至D

15、时， ABD的面积最大，最大面积为:SAABCS正方形 e'CF'D'S/xae'D'SA BD'F '1 4.3 8,36x2 226.2 121-6.26 2 4.3 6、22=36 2 24.3 12.6【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度.例6. (2019 巴中)如图，在菱形 ABC用，连接BD AC于点O,过点O作OHL BC于点H,以O为圆心, OH为半径的半圆交AC于点M(1)求证：DC是圆O的切线；(2)若AG4MC且AC=8,求图中阴影部分面积；(3)在(2)的前提下，P是线段BD上的一动点，当 PD为何值时，PHPM的值最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】(1)证明：过点O作ONL CDT N,AC是菱形ABCD勺对角线,. AC平分/ BCD. OHL BC ONL CD. OHON又0曲圆O的半径，. ON圆0的半径，即CD是圆O的切线.(2)由题意知：OC=2MC4, M0OM2,即 OH2,在 RtAOHO, OC：20H可得：/ OC