单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计

1、单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计14122156杨郁佳(1)倒立摆的运动方程并将其线性化选取小车白位移 z,及其速度 点、摆的角位置 H及其角速度 声作为状态变量，即则系统的状态空间模型为0mg 一百0u0 1g 0 0° 0 (M +m)gMlX = 0 0、厂Ln, c 2设M=2kg，m=0.2kg, g=9.81m/s ,则单级倒立摆系统的状态方程为；11X1一0 1x1 0.一 10 x3.。*0-10110 x1 0x2x30.500_x4_ 0.5一 x101x2x3x4(2)状态反馈系统的极点配置。首先，使用MATLAB,判断系统的能控性矩阵是否为满秩。MAT

2、LAB程序如下：A=0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0;B=0; 0.5; 0; -0.5;C=1 0 0 0;D=0;rct=rank(ctrb(A,B)z,p,k=ss2zp(A,B,C,D)MATLAB程序执行结果如下：>> 什二。1 0 0. 0 0 -1 fl： 0 D 0 1 0 0 IL 03:E=O; 0, 5- 0; -0. 51:C-t l 口 Q：:D=0r-cfnr®k ctibGED: A - G 00 -1 d； 0 Q 0 QOll Qi；B=0.; 0.5; C; -0. 6.C-L 0 D QI: o

3、ol etrarLk ettb * A, B) >xtt =>> Zzi a H-3t zp <A,艮 C.D* 1623-3/19230 03. 31 丽-3. 3166年 0,5000系统能控，系统的极点为1=0 2=0 3=3.3166 4 =-3.3166可以通过状态反馈来任意配置极点，将极点配置在热C 。方A 0热I 0 热C 'i 3 ' 2 4 ' 3 5 '4 6MATLAB程序如下：A=0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0;B=0; 0.5; 0; -0.5;P=-3 -4 -5 -6

4、;K=place(A,B,P)MATLAB程序执行结果如下：» 4。1 0 0; 0 0 '1 0; 0 0 0 1; 0 fl 11 0：;B-0： 0-5： 0： -0, ol ：P=-3 -4 -5 -初；I=plact(A,B3 P)E -2, flQOB -fiH. 40il0 -33?. OOQO -1il4. 4000因此，求出状态反馈矩阵为K=-72.0 -68.4 -332.0 -104.4采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。首先，在 MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器中

5、设 置非零初值：2。运行仿真程序，显示仿真曲线，如下。2,经过控制稳定在 日=0-处。仿真结果表明倒立摆的杆子与数值方向的偏角从初值(3)状态观测器实现状态反馈极点配置。MATLAB程序如下：A=0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0;B=0; 0.5; 0; -0.5;C=1 0 0 0;rob=rank(obsv(A,C)MATLAB程序执行结果如下：1 0 0： 0 G -I 0 ： 0 0 0 1 ； 0 & 11 OZ 0.5; 0; 7, 5;c=ci a o o.r ab*rank(ot)sv(ArC)rob =-3, -4, -5, -

6、6Rob=4说明系统能观，可以设计状态观测器。取状态观测器的特征值为MATLAB程序如下：A=0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0;A1=A'C=1 0 0 0;C1=C'P=-3 -4 -5 -6;H1=place(A1,C1,P);H=H1'MATLAB程序执行结果如下:» a-lo loo. o (i -i o：( o a i： o o n oi：A1=AP 二C=l o 0 o：C1=C-；F -3 -4 -5 -6Kl=placS(Al C ；E=HrL0e+03 0. OISO01130D-0. 5400-L 7503状态观测器矩阵 H =118 130 -540 -17901T采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。首先，在 MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器中设 置非