第2章传递函数与系统模型

1、第2章 控制系统的数学模型物理系统是由两个以上1MH互Z间存在着一定的联系和相互作用，并可以相互区别的耍索构成的集合 体。而工程中的控制系统（机械的、液压的、电气的、热力的或者是它们的综介）只是物理系统的-个分 支，这些系统大多都可以用特定的数学模型加以描述，控制理论中最常用的数学模型就是微分方程，微分 方程表明系统在运动过程屮各变磺Z间的相互关系，通过对微分方程的求解，可以得到系统对输入量的响 应（或系统输入输出之间的关系式）。因此，耍分析和研究一个控制系统的动态特性，必须知道该系统的 运动方程式（即微分方程），一H控制系统的运动方程式列写出來，就可以应用各种可能的方法和计算机 工几对系统进

2、行分析和Sih本章首先介绍控制系统数学模粮的建“方法；简耍给岀线性系统传递的数分析方法的数学基础（拉普 拉斯变换）：在给出传递换数定义的堆础上，介绍典型环节传递西数，以及通过系统方块图和信号流图对 复杂系统进疔简化的方法，最后给出儿类典塑控制系统（环节）传递函数的建立实例。2.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换是控制理论屮用到的-个重耍数学工几，利用它可以将微分方程转换成以s为复变量的 代数方程，从而简化微分方程的求解；另外，经典控制理论中的传动函数也是以拉普拉斯变换数学丁貝作 为基础。2.1.1拉普拉斯变换及逆变换1. 拉普拉斯变换对于时间函数f（t）.当/<0时，/（0 = 0；在/M0时，

3、实函数/（F）的拉普拉斯变换定义为：F（5）= £/（/） = £°/（/）e-d/（2-1）其中，丄为拉普拉斯变换算符，s为复变舄，/称为尸（$）的原函数，称尸为/的像函数。拉普拉斯变换是在一定条件下，把实数域中的实变函数/（F）变换到复数域内与之等价的复变函数F（5）o显然，并不是任何一个函数都可以进行拉普拉斯变换，拉氏变换是否存在完全取决拉普拉斯变换定 义中的枳分是否收敛，如果/（/）满足下而的条件，则拉氏变换存在。1）肖f$0时，/（f）分段连续，只有有限个间断点；2）当fTS时，/（/）的増长速度不超过某一指数函数，即满足：比中，M、d为实常数。在复平面

4、上，对 Rea的所有复数$ （&$表示$的实部）都使积分绝对收敛，故Rcs>a是拉氏变换的定义域，“称为收敛坐标。2. 拉普拉斯逆变换(2-2)肖已知时间两数/(/)拉普拉斯变换F(s)，由F($)求换数f(t)称为拉普拉斯逆变换。拉普拉斯逆变 换实际上是由像函数求原函数，它是拉氏变换的反变换。定义式为记作/(r)= rIF(5).式中“为实常数。2.1.2常用函数的拉普拉斯变换1.单位阶跃函数(/<0)(心0)单位阶跃函数的数学表达式为其拉普拉斯变换为«C08IIK0= Fl(/)e-"d/ = e_i/ © = ini(*-")-

5、 (e-0)=$r->co SSS2 指数函数指数函数的数学表达式为该函数的拉氏变换F(s) - LeM- f°ea,es,dt -e知"df -18 1s+ a3E弦函数将正弦函数用欧拉公式转换成指数函数可求其拉氏变换，即F(s) = Lsui al = siu ftXe-' dz = £°-|(e>y, -e_J<uz)e_' d/ = , 69 、4/的辅隨数/的帘丙数之数学表达式为利川分部枳分法«dv+ | vdn = m可求得其拉氏变换尸=Lp" =f”edf = -m + -C 严 edf

6、 = 2严严击=o S Jo5 Jos继续用分部积分公式町得F（5）= Lf"=-Lr0=s s s s以卜给出了儿个常用简单两数的拉氏变换，更参函数的拉氏变换町参阅附录I O 2丄3拉普拉斯变换的主要定理1 徨加定理(2-3)Hfl (01 =人(5)，Hf2 (/) = F2(5)M 妙(/) + bf2 (/) = ciF,(5)+ bF2(5)2 微分定理= 5F(5)-/(0)L(2-4)证明根据拉氏变换的泄义，并利用分部枳分法可得警f = e_，7(/)lo(-$)严丁(側=-/(0) + /(Oedr= sF(s)-f(0)dwd7同理可以证明 阶导数的拉氏变换为-f（

7、t） = s”F（s） - s”丁 （0） - 广予（°）筋叶 2）（o）一广 i（o）/(0)=严(0)=严(0)=/T(0)=严丿(0) = 0d,f(2-5)3 积分定理(2-6)恢町竽+牛(2-7)(2-8)式中，/_1(0)=在f = 0 时的值。对多取积分可用类似的方法求得比像函数，即山“(*)”=乡+字+骨+譽 若/1(0)=/-2(0) = . = /-/,(0) = 0则4|Jm)(dt)，=乎4延迟定理如果f(t)沿时间轴延迟一恒值T，即f(t - T),则其拉氏变换为(2-10)(2-10)证明由于当0<T时./(r-r) = o,所以UfU -r)=f

8、f(td(/ - 0) = f(T)eT =严5 初值定理如JR/(r)及其一阶导数型也的拉氏变换存在，且辻11$尸也存在，则d/8(2-9)/(°)= lim$F 3 -证明根据拉氏变换的微分定理白limj->00曾-st击=一 /(°)1 = lim$F -liin/(0)= °5->00$T8WOO/(o)= linN ST86 终值定理如果/(/)及其一阶导数如的拉氏变换心在，limfa)也存在且唯一，则 d/i->oolim/(O = lim$FfT85->0与初值定理一样可以得到证明。相似定理(2-10)(2-11)(2-15)

9、(2-#)证明设-=T9(2-12)(2-13)F(s)=空1 - X + h 严 + + 处 + b°X(s) ansn + an_,na(2-14)as = co. W'Jf = at» 5 = > 即 a= r彳分汕=f如严d)=加严肛=aF (co) = aF (as)7 位移定理厶严/"("证明ca,ft)e's,dt =/(供知"古=”s + a)8 卷积定理若原函数/(f)和g(°的拉氏变换存在，则厶/ *(o= F(s)G(s)证明白卷枳定义得屮7 2 - r)g(r)df=f(t-r)g(t)d

10、 re_v/dr=gC)f /(z-r)e_'/dr = f (r)F(5)e_irdr=F(j)£°(r)e'rdr = F(s') G(s)214拉普拉斯变换的的应用拉普拉斯变换常用J求解微分方程，这也足对控制系统进彳J：时域分析的巫耍于段之一，但若根据定义 求拉氏逆变换，需耍进行复变函数积分，一般很难直接计算。通常采用部分分式将复杂隨数展开成有理分 式函数Z和，再由拉氏变换表分别査出对应的反变换曲数，即可得到所求的原换数。控制理论中常见的线性系统K像函数-般是$的冇理分式，即(2-#)(2-#)比中，使分母为零的$值称为极点，使分子为零的$值称

11、为零点。显然，对J：最高阶数为分母的多项式相应有"个根，因此，可以将式(2J4)如为一畀+几严+加+心mm110G+PJG+P?)($+几)(2-#)式中，P" -几可能是实数.也可能是复数.若其中有相等的，意味分母方程式有車根。 下而分儿种情况來讨论。1. F尙互不相同的实数极点这时上面的式(2.15)可以写成部分分式的形式，即尸=S+ P s+ pz亠$+几n=s/I(2-16)H屮&是待定系数，称为F($)在极点p处的留数.可用下式求解A = liinK5 + P)F(s) = F($)($ + Pi)l=FSc + 3例2.1求F($)=涇二的原函数。($+

12、1)($+ 2)(5 + 3)解 将尸($)写成部分分式的形式，即(2-17)根据式(2J7)有所以F(s) = + -+-(5+ 1)(5 + 2)(5+ 3)S+15+ 2 S+ 3A = lim出 ¥($ + 1)(s+2)(s+3)(s + l) = l2.F($)仃共轨复数极点人=lim$T-2人=liin2T5s+3(5 + 1)(5 + 2)(5 + 3)5$+3(s +1)(5 + 2)(5 + 3)(s+2)=7(5 + 3) = 6-176+5+15+25+3f(t) = L尸($) = £ + 7e + 6e如果必和卩2是尸的一对共轨复数极点，比余极点

13、均为互不相等的实数极点，则F(s)可以展开成一、 A.s+ A.A.AnF(s) =+ + + n($+“)($+伐)s+ p.(2-#)式中A和人的值可用（$+H）（S+“ J乘以式（2-18）的两边.并令$ = -“1或5 = -几而求得.即加 + Al=-P1 = F（$）（S+ J（S+ /A）1=-Pj（219）因为必是一个复数，方程式两边也是复数值，令等号两边的实部、煨部分别相等，得到两个方程式，联龙 求解，即可求得人、力，其它齐&的值仍用式（217）求。例 2.2 求 F($) =1的原函数。(5 + 1)(5" + 25+2)解 显然像函数包含-1±

14、 j的共緬复根，因此F（$）可写成F(s) =A) I 伸+九5 + 1 s2 + 2s+ 2根据式（217）可求得4 = 1再根据式（2J9）可得心+A丄十广5+2(5+ 1)(52 + 25+2)(52 + 25+2)-$T+j(2-#)(2-#)4 一& + Aj=1-j将该式等号两边实、虚部比较后可得所以有F(5)= 7TT52 + 2s+2査表附A,得=1/72.叫=近,计算出&二；r/4，则F（s）的原两数(2-#)(2-#)设尸(s)有厂直极点，比分母可写成M(s)= (s+ “r(s+ /Vh)(S+ 几)则尸($)的部分分式为F(s)=4114-+-+ 心 +

15、 -($+»)(s+ p,ys+ p s + pr+i s+ p(2-#)式中A,.*、A+、人的求法用式（2.16）,而A"人、可用下面各式求解。九二 F（$）G+p）LfA；=<As =Pi)*=1=1九，=77；7片（$）（$+"）1»(1)!(2-21)Pl=1=1由于右的拉氏逆变挽为(S+M(一 1)!亀宀九厂 (1)! (2)!2 + + Alr e""=1=1(2-22)6d$L($+ 2)2斗+2)'+ Ae"+-+A e"p-z (f$0) / tinC 4- 1例”心科昨数解 将尸

16、（$）写成部分分式的形式由式（221）可得=尸(5)(5 + 2) L_2 =1=1查附表A可得F（$）的原瓯数=12.2传递函数在建立了系统或九件的数学模型(即微分方程)Z后,通过求解微分方程，可得到系统的输出响应。 但是，直接求解微分方程(尤K是高阶微分方程)非常复杂Ji难度较大。对丁线性定常系统通常采用传递 函数作为貝:系统模空，传递函数是在拉氏变换的基础I:产生的，它直观描述了线性定常系统输入输出Z间 的关系，是対系统进彳j分析、研究及综合的有力工具。因此，传递函数是经典控制理论的皋础，也是 个 匝雯的呈本概念。221传递函数的定义线性定常系统传递函数的定义：在各初始条件卜，系统输出的

17、拉氏变换丫(s)与输入拉氏变换X(s)Z 比，用G(s)表示，即G($) =(2-23)若线性定常系统微分方程的一般形式为。0严 + qyd + + any + any = bQx(m) + bf" + + bmx + bm(2-24)式屮，y是系统的输IB®:,兀是系统的输入彊，在零初始条件下，对上式两边求拉氏变换，可得系统的传递函数Y ($) _ by + by7 + + 心 + b,n x G) aosn + + a9s + an(2-25)传递丙数分吋中s的最高阶数.就足输出駅导数的最高阶数.如果$的最高阶数为则称该系统为/?阶系统，实际系统中，一般有”三加。传递函

18、数是-种以系统参数农示线性定常系统输入彊与输出彊Z间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入鼠无关。由式2.25图21系统框图可知：Y(s) = G(s)X(s).这个关系可以用图11 ft观地表示。传递函数是控制理论中的一个非常豆要的星本概念.盂耍特别指出的是：1) 传递隨数在是在拉氏变换的靠础上导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，所以传递函数的概 念仅适用线性定常系统。2) 传递两数中的各项系数与相W微分方程中的各项系数一一对应，它们完全取决于系统的结构参数。 通常 个输入对应个输出，内此只适用J：对单输入单输出系统的描述，而11系统内部的屮间变磺的变化 情况，传递函数也无法反映3)

19、传递西数是在冬初始条件卜定义的，因此.传递苗数原则上不能反映系统中非冬初始条件卜的运动规律。2.2.2典型环节的传递函数物理系统一般由若干尤件按一定的形式连接而成，各元件在系统中承扌日着特定的作用，并典旳各自的 功能，通过它们的相互配介而构成-个完整的系统。从控制理论的角度看，物理木质、工作原理不同的元 件完全可以有相同的数学模熨。在控制程中，一般将貝有某种确定信息传递关系的元件、尤件组或尤件 的一部分称为一个环节，经常遇到的环节称为典型坏汕任何复杂的系统都可以看作是若干个典型环廿按 某种形式组介而成。求出典熨环节的传递函数，就可以求出系统的传递函数，这样给复杂系统的分析、研 究带來极大的方便

20、。常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、枳分环节、振荡环节和延迟环节，下面给出这 些典熨环节的传递皈数。1.比例环节如果一个环节的输出与输入成比例，则称此环节为比例环节。其运动方程为y = Kx(2-26)式屮，y为输出磺，x为输入最，K为环节的比例系数。显然，比例环节的传递歯数为G(s) = Z=K(2-27)X(s)比例环节在信息传递过程中，既不失真也不延迟，只是将输入放大(或缩小)K倍。现实枇界中的比 例环节很多，如：略去弹性的杠杆机构、无侧隙的齿轮减速器、丝杠螺母机构以及运算放人器等都可看作 比例环节，2. 惯性环节凡运动微分方程为-阶微分方程(2-28)T罟+ y(f) =

21、 Kx(t)形式的环节称为惯性环节，其传递两数为“$)_ KX(5)75 + 1(2-29)式屮，K为环节的増益，T为时间常数，它表征了环节的惯性，与环节的结构参数仃关。惯性环节通常含有储能元件(如弹赞、电容等)，所以当输入帚突然变化时，输出杲不能跟着灾变, 而是按照指数规律变化，这也是惯性环卩的名称的由來。实标系统屮的RC电路、液压系统里的液压缸、 rt流电机的励磁回路等都是惯性环节。微分环节(230)凡输出最正比输入彊微分的环节称为微分环节，其运动方程为d/(2-31)传递两数为G($) =式屮，K为常数。微分环节的输出是输入的微分，肖输入为单位阶跃函数时，输岀应是脉冲两数，这实际上是不可

22、能的， 这也证明传递函数分子的阶数不可能高J分母的阶数，因此，微分环节不可能单独在，只能与其它环节 共存。有些元件当其惯性非常小时可以近似看作是微分环节.微分环节主要用来做校正装置,以改善系统 的动态性能，减小振荡，増加其稳定性。3. 积分环节对具冇输出彊正比输入员积分之特性的环节称为积分环节，氏运动方程为 (/) = Kjx(/)d/(2-32)根据拉氏变换的积分定理可得K传递函数G(s) =“$) _ KX(5) S(2-33)(230)式中，K为常数，有时也用乩倒数的形式即：K = l/T,此时的卩称为积分时间常数.积分环节具有记 忆功能，在用制系统设计中，常用枳分环廿來改善系统的稳态性

23、能。4. 振荡环节振荡环节含有两个独工的储能元件，H.所储能鼠能在储能尤件中相可.转换(如位能与动能、电能与磁 能)，使得输出带有振荡的特性，该环节的微分方程为厂豁+2纹竽+心馳)(234)(230)(230)从方程可以看其数学模型是一个二阶微分方程，即所谓的二阶系统。对上式两边求拉氏变换可得振荡环节的传递*1数(2-35)r(5)_1X(s) - r2s2 +275+1式中，丁为振荡环节的时间常数.彳为阻尼比。振荡环节的传递函数常写成如下标准形式G（$） = 3=r（2-36）X（s） s + 2cons+ CD式中，q = 1/7*称为无阻尼固有频率。需耍指出的是：当阻尼比0v?vl时，二

24、阶微分方程才有共傀复根，此时的二阶系统才能成为振荡环节：而当时，系统有两个（或两个相等）的实根，这时系统实际上是两个惯性环节串联。5. 延迟环节延迟环节是输出滞后输入时间r而不火真地反映输入的坏节。延迟环节一般不单独存在而是与其它环 节共存。延迟环节的输入/输出之间满足如卜关系y（t） = X（t - T）（2-37）式中，r为延迟时间，x（t- r）是x（/）的延迟函数，也称平移函数。根据拉氏变换的延迟定理可得延迟环 布的传递函数G（5）= - = e_tt（2-38）X（s）延迟环节与惯性环节不同，惯性环节的输出是从输入的瞬间就有，但需耍延迟-段时间才逼近输入。 而延迟环节在输入开始的r时

25、间内并无输出，在z厉，输出就完全等J：输入，从波形上看就是向厉平移了 一个时间T .2.3传递函数的方块图表示及运算方块图是一种数学模熨的图形化表示法，它淸楚地表明某个环节或尤件在系统中的功能以及信号在系 统中的流动，是-种方便、直观的系统分析工几（或模型）。2.3.1方块图的定义及组成方块图（或系统方块图），是系统中毎个环节的功能和信号流向的图解表示。在方块图中，通过换数 方块，可以将所有系统变最联系起來，“函数方块（简称方块）”是对加到方块上的输入店号的一种运算符 号，运算结果以输出最表示.环节的传递函数通常写进相应的方块中，并以标上信号流向的箭头将这些方 块连接起來，这样，控制系统的方块

26、图就淸处地衣爪它的单向特性。力块图的组成元索有（1）方块 系统方块图是由描述尤件或环节输入输出关系的方块图单元（即方块）构成，如图2.1所 示,它包含如卜信息：信号流向：在方块图中信号传递方向用箭头表从在控制系统方块图中，信号只沿单向传递。输入信号：箭头指向方块的信号代表输入信号,如图21中的X（5）.输出信号：箭头离开方块的信号代表输出信号，如图Z1中的y（$）°输入/输出关系：图2.1中的方块图单元表示如卜输入/输出关系y（5）= G（5）X（5）（2-39）（2）比较点（或加法点）对两个或两个以上信号进行加、减比较运算的尤件。如图22所示，图2.2a 代表如下含义y（5）= X

27、（5）- B（s）（2-40）图2.2b代表如卜含义Y（s）= X（s）+B（s）（2-41）图2.2比较点（3）分支点（或引出点）用于将同一信号传送到不同的尤件上，一个分支点可以引出若干信号线,在同一分支点引出的信号其性质、大小完全相同，如图23所示。抡何=爲何图2.3分支点2.3.2闭环控制系统的方块图图24所示为一个负反馈闭环系统的方块图。输出信号y（$）反馈到比较点，并IL与参考输入x（$）进彳J：比较。显然，图中并信号的关系为Y(s) = G(s)E(s)E(s) = X(5)- B(s)B(s)= H(s)Y(s)根据方块图的符号规则，从图2.4所示的闭环控制系统方块图中，可以导出

28、一些在进行系统性能分析 中经常用到的关系式。1.前向通道传递函数前向通道传递西数定义为输出信号丫(s)与作用谋差信号E(s)之比，即心)E($)= G($)(2-42)2.开环传递函数开环传递函数定义为反馈信勺B(s)与作用谋签E($)Z比，它等J前向通道传递函数G($)与反馈 通道传递两数H(s)的乘积，即(2-43)B(s)E3闭环传递函数实际的控制系统除了有参考输入点作用外，还受到干扰信号的作用图2.5是貝冇扰动作用的闭环系 统。当两个输入帚同时作用与系统时，可以对每个输入彊单独进行处理，最厉应用叠加原理，可須到闭环 系统总输出响应。图2.5具有扰动信号的闭环系统(1) 参考输入信号作用

29、卜系统闭环传递函数闭环传递函数定义为输出信号Yx ($)与参考输入信号X($) Z比。因为£(5)= X(s) _ B(s) = X(s)_ H(s)Yx ($)将后式带入前式消去£(5),可得Yx (s) = G(5)G2(5)x(5)一 H(s)Yx (s)此时闭环传递歯数(244)以 G) _ q (s)G< ($)X(5)1+ G (s)G: (s)H(s)(2) 扰动信号作用下系统闭环传递函数假设X(5)= 0,并将图2.5画成下而图2.6的形式，可写出在扰动信号N(s)作用下系统的闭环传递两数(2-45)加)N($)1 + Gj(5)G; (s)H(s)图

30、26扰动信号作用下闭环系统(3) 系统在参考输入信号、扰动信号共同作用卜的输出响应 根据线性叠加原理可得r(5)= rx(5)+ rv(5)=“爲需蠢严)+“(綾爲屛G? G)i + qgG)H(s)G】($)XG)+N(s)(2-46)4.系统谋蓋传递函数以汉羞信巧E($)为输出彊，以参考输入信U X(s)或扰动信ON®为输入磺的闭环传递函数称为谋羞传递函数:> 这是闭环系统的另-个巫耍的关系式，在进行系统谋羞分析时特别仃用。(1) 参考输入信号作用下系统的误差传递怖数设N(5) = 0并将图2.5改成如图2.7 (a)所示，即只考虑X(s)的影响，则(1)(b)图2.7以谋

31、垦作为输出武的系统方块图E。=/ ($)(2-53)(2-47)(248)(249)(2-50)(2-51)(2-52)E(s) _ X(s) - B(s) _ X(5)- y(5)/(5)_ Y(s)H(s) X(s) XsjXs)X(s)_ 1l + G(s)G, (s)H(s)在分析随动系统谋差时，该式非常有用。(2) 扰动信号作用卜系统的谋差传递换数役X(s) = O,将图2.5改成如图2.7 (b)所示，即只考虑N(s)的影响，则EG) _- G2($)H(s)N(s) 1 + G G ($) H (s)和値控制系统的误羌主要由扰动所引超，因此，I:式可以用来対和值控制系统进行決差分

32、析。(3) 在参考输入信号、扰动信号共同作用I、系统的总谋差根据栓加原理，系统总谋差为E($)=?X_ 5曲N1 + G (s)G2 (s) H(s) 1 + G(5)G2 (5) H ($)以上齐式，出H($) = l时，即得到单位反馈控制系统的以种传递函数表达式。233系统方块图的绘制在绘制系统方块图时，可按以下步骤进行：(1) 列写系统各组成部分的运动方程；(2) 对运动方程进彳J：拉氏变换.求出它们的传递函数：(3) 将每个部分用方块图表示；(4) 按输入输出关系将所有方块连接起來，构成系统方块图。 下面通过实例说明方块图绘制过程。例2.4绘制图2.8(a)所示RC电路的方块图。解 根

33、据丛尔霍夫定律可写出电路的方程5 = 5, + 戎零初始条件卜两式的拉氏变换为/(s) =E。=/ ($)(2-53)R(a) RC »tl(b)式(2-52)单元方块(c)式(253)单元方块(d) RC电路方块图图28系统方块图的绘制过程根据式(2-52).式(2-53)画出的单元方块见图28(b)、(C),再按照各单元方块的输入输出关系込技 所有单元方块，得系统的方块图，如图2.8 (d)所示。2.3.4方块图的等效变换及运算法则在对复杂系统分析时，帘常需要対系统方块图进彳J运算或变换，以求得其传递函数，实现对系统动态 性能的分析，方块图的运算或变换是按照等效原则进行的所谓等效

34、，就是对方块图所作的任何变换都是 以输入输出Z间总的数学关系不变为前提，即变换前后系统的输入输出表达式不变。衷21方块图的运算法则方块图的变换的方在可能的情况卜7T先利用环节串联、并联及反馈连接的公式讣算系统的传递函数：为不能直接利用这些公式时，可以通过改变加法点、分支点的位置，利用方块图的运算法则，对方 块图进行等效变换.直至町以使用串并联及反馈连接的公式为止。表2给出了方块图的垄本运算法则。例2.5求如图2.9所示RC电路的传递函数。解 根据堆尔霜夫电斥定律，由图可知4 =吋+（人+人）右/ = /?,/, + （人+ /,）一 -Us(2-54)(2-55)图2 9 RC电路由式（254

35、）可得(2-56)中间冋路方程为E。=/ ($)(2-53)E。=/ ($)(2-53)(2-57)人 _£z£_U_ijgs)一 /?&2+1由式(2-56) nJ得(2-58)12 _ RCs 人 R2Cls + l由式（255）可得(2-59)根据式（2-57）可画出图210a所示的方块，宙式（258）可画出图210b所示的方块，而根据式（2-59） 可価出图2.10c所示的方块，将以上三个方块按输入、输出关系连接即可得到图2.11所示的系统方块图。将图2.11 的第一个分支点后移，得图2.12所示的结果。再对图212进行变换可得垠终结果，如图2.13所示。系

36、统传递函数见式（260）。G（5）=空少=十（& + /?2）C*+l（2 60）i（s） RrR£rC2s2 + （&C + RtC2 + R、Cjs+1灵活运用方块图的运算法则.可以方便得到系统的传递的数，这里耍强调的是，虽然瑕终结果是一样 的，但具体的简化过程并不是唯-的。例如，也可以将图2.11方块图中的第二个分支点前移，同样可絆 到式（260）的传递西数表达式。（a）式（2-55）方块（b）式（2-56）方块a|1C2s（c）式（2-57方块图2 10乞爪元方块图2 M系统方块图图2L2等效变换示的方块图5G)尽鸟qq* + (尽+尽)Gs +1S(s)月尺

37、2。1。2岸+ （尺仇+尺2。小+ 1图2 13最终系统方块图2.4信号流图及梅逊公式方块图是进彳f系统分析的巫耍工八，然I仏对J：比较复杂的系统，利用其进彳j变换或化简往往显得繁 琐FL费时。信号流图是系统模熨的另一种图解表示式，它特别适合对复杂控制系统变帚之间关系的描述， 在对复杂系统进行化简时，比方块图更有优势。2.4.1信号流图的概念及术语信号流图是表示一组联匸线性代数方程的图。当我们用信号流图表示控制系统时，首先必须将系统的 线性微分方程进彳J：拉氏变换，并转换成以5为变彊的代数方程。信号流图是由网络组成的，通过网络中各节点和支路來表示一组方程，如图2.14所示的信号流图，表示如 卜

38、方程:图2丄4信号流图所农示的系统信号流图中.每个节点表示系统的一个变吊二两个节点之间的定向线段称为支路用J：连接各个不同的变氣图2.15信号流图对信号流图的仃关术语进行介绍。信号流图中用到的术诅仃：1）节点：用來衷示变虽或信号的点。如图2.15中的兀、X,、心等;2）传输：两个节点Z间的增益。如图2.15 的4、b零;3）支路：连接两个打点Z间的定向线段，其中箭头表示信号的流向。图2.15中连接X与兀Z间的线 段，该支路的传输（或增益）为d;4）输入节点（也称源点）：只有输出支路而没有输入支路的节点，图2.15中的呂、氐；它们对应 自变氐5）输出卩点（也称阱点或汇点）：只有输入支路而无输出支

39、路的节点，图2.15中的屯点，它对应J： 因变量;6）混合节点：既有输入支路乂有输岀支路的节点，图2J5中的兀、X,:7）通路（或通道）：沼支路箭头方向穿过各相连支路的路能，图25中的“方亡；3）前向通路：从输入节点到输出节点，通过任何节点不多J：一次的通路：9）回路：回路就是闭通路，图215中的be；10）不接触回路：回路中无任何公共节点。242信号流图的性质及化简信号流图貝有以下性质：1）信号流图中节点代农变P。输入节点代农输入虽，输出节点代农输出磺，混合节点表爪所有流入 信号的代数和2）支路表示信号或变磺的传输和变换过程，反映了信号与信号Z间的函数关系，信号只能沿箭头方 向通过。3）通过

40、增加单位传输支路，可以将混合节点转化为输出节点。4）对J：给定系统，信号流图不是唯一的。信号流图的运算法则：与方块图一样，信号流图也冇K运算法则，利用这些法则可以将复杂信号流图 简化成只包含输出和输入节点的形式，并最终获得系统的传递函数。1）加法规则：并联支路的总传输等J各支路的传输Z和。如图2.16a所示。2）乘法规则：串联支路的总传输等所有支路传输的乘积。如图2.16b所示。3）分配规则：混合节点可以通过移动支路的方法消掉。如图2.16c所示。4）反馈回路简化规则：根据反馈联接的规则进行简化。可以先转化成门回路（图2.16d的中间结果）, 然后再作进一步简化.如图2.1&1所示。X

41、 a x2 b x3ababKlbc)图2丄6信号流图的运算法则例Z6设某系统H性能可由下列方程描述.试绘制该系统信号流图。J1 = ©2 + b儿儿=0 + dy,儿=臥+ Az解 首先按顺序将儿、儿、儿三个节点画出并将每个方程所代表的信号流图画出，如图2.17所示。再将备方程信号流图替画在一起，最终可衍系统的信号流图.如图2.18所示.©方程3的图2.4.3梅逊公式対复杂的控制系统，无论是用方块图还是信号流图化简都显得繁琐、费时，此时可直接利川梅逊公式來求系统的传递函数。梅逊公式为1 JLG =工也(2-61) A-l式中：人为第条前向通路的增益或传输；是信号流图的特征

42、式，具表达式为' = '-工 La 十工 LbQ -工 L/L丄$ + (2-62)这里工La农示所冇不同回路的增益之和：工LhLc为任意两个互不接触凹路增益乘枳Z和：工LdLeLf为任总三个互小接触回路増益乘枳之和：点称为第&条前向通路的余因子,指的是在中,除去与第R条前向通路相接触的回路后,剩余的 部分。例2.7利用梅逊公式求图2.19所示系统的传递函数。-1图2丄9系统的倍号流图解山图可见，在输入节点X(s)与输出节点丫($)之间，只冇一条前向通路，其传输为P = G&2G3G 乙从图中还可以看出.此系统共冇三个单独的冋路，这些冋路的増益分别为厶=-G.G

43、.H,S = -G3G4/72厶 3 = - G&2G3G4H3显然，这三个冋路之间都冇公共节点，故不存在互不接触冋路，r是系统的特征式为 = 1- 工厶“ =1 + GZG.H + G3G + GfizGzG,H山J；三个回络均与前向通路片接触，所以其余WTAl =lo可紂系统传递函数为G($)=輕丄也=r(5) A 1 11 + GZGZH + G.G4H2 + GfizGfi,H2.5系统数学模型的MatLab描述MatLab软件已广泛应用工程领域中，已成为线性及丁线性系统的仿真与分析中不可或缺的工几。 对J：动态系统，可以用微分方程、传递甫数、状态方程等对克进行描述。MarLa

44、b可以方便地实现对系统 的各种描述，2.5.1连续系统数学模型的MatLab表示1.传递惭数描述在MatLab中，传递函数仃分了分母多项式模型、零极点増益模型两种表示。可以用、y处这两个函 数分别來创建直模型。格式为G = tf (num, den)G= zpkQ,p,k)A'l'： num为分子多项式的系数，d创为分母多项式系数：Z为冬点矩阵，卩为极点矩阵，R为系统増益。例Z8用MatLab表爪传递函数为G($) = 学的系统。2 + 2“ + 3s+1解分别写出分子、分母多项式的系数矩阵，再用tf函数创建传递函数模型，即%£函数的使用num=l 5,den-l 2

45、 3 1,G=tf(num,den)执彳j:后，显示的结果为Transfer functions + 5 * sA3 + 2sA2 + 3s + l例2.9用MatLab衣示传递函数为G(s) =6($ + 4)°+习 的系统。(5+ 1)(5 + 2)($+ 3)解 可分别写出零点、极点矩阵及增益,再用哒函数创建模型,即%zpk函数的使用z=4 -5,p=J2 -3,1L6,G=zpk(z,p,k)执行后，结果显示为Zero/pde/gain6(s+4)(s+5) * (s+l)(s+2)(s+3)如果需要根据传递函数求系统的时间响应函数，根据前而所介绍的，可以先将传递函数展开成部

46、分方 式，再进行傅氏逆变换即可在MatLab中可用residue 数来得到传递函数的部分分式形式，比格式是r, p,k) = residue(num,den)其屮，r、p、R分别为部分方式展开后的留数、极点及直接项，对J：传递函数X(s)/Y(s)的部分分式可 由卜式给出3=丄+_ + Ry(s) s_Pi s_Pi s-pn$ + 2例2.10求传递函数F($)=的时间表达式。5 +45- + 3s解本題的m文件如下：% residue函数的使用format rat%格式化输出数为分数num=l 2,den-l 4 3 0,r,pjc=residue(num,d en)运行结果为：-1/61

47、/22/3P310k =H部分分式为尸（$） =2/3 一 1/2 1/6+S S+ 15+3由此可写出时间响应丙数如卜211/(0 = -(0 -片e5(F) -三厂叫3262 模空之间的相互转换及连接各种模型适用J：不同的场合.在Malabo还是可以在不同模型间进行转换，这也人人方便了对系统的分析。另外，实际系统通常是宙各种基本环节按一定方式连接而成，同样，在MKLab中也冇一些模型连接两数。MatLab中的模型转换和模劇连接两数如卜表所示:衣22模型的连接及转换函数函数名功能函数名功能tf2zp由传递换数到零极点模熨senes系统的串联连接zp2tf由零极点模型到传递曲数paraEel系

48、统的并联连接residue传递函数与部分分式的相互转换feed beck系统的反馈连接例211将传递函数G(s)=-音写成零极点模型。s + 6厂 + 115 + 6解本題的m文件如下:num- 1 4,den=l 6 116,z,p2zp（iiunidm 人G=zpk（z、p,k）运行结果为Zero/pde/gain（s+4）(s+3)(s+2)(s+l)2.5.2基于Sinmliiik的系统建模Simulmk是MatLab中的取图形化的仿真建模工JI,在这种图形化的交互环境下，只需耍用鼠标拖 动的方法就能方便、迅速地构建起复杂的系统框图模熨，其至不需耍编写一行代码，同时，系统中各环节 的关

49、系、信号的流向等都非常涓晰。利川sunulink提供的模块库(包括通用模块库和专用模块库)，可以 进行各种动态系统的建模及仿克分析.l.simuluk的模块库介绍在MatLab的命令窗I I输入“simulmk”回车或点击sunuluik图标，可打开simulmk的模块库浏览器(Simulink Library Rowser )如图 2.20 所/j。随着simulink版本的升级.氏模块库中所包倉的内容、模块所在的位置会冇所变化，但是氏中通用模 块的儿个主耍部分变动不人，如连续模块(Continuous)、逻辑运算模块(Logic and Ht Operations),数学 运 J7模块(Xfath Operations)、端1 及了系统模块(Ports & Subsystems)、信'路由模块(Signal Routing