第5章离散时间傅立叶变换.

1、第5章离散时间傅立叶变换The Discrete-Time Fourier Transform基本内容1. 离散时间傅立叶变换；2. 常用信号的离散时间傅立叶变换对；3. 离散时间周期信号的傅立叶变换；4. 傅立叶变换的性质；5. 系统的频率响应与系统的频域分析方法;注释：CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ):离散时间傅立叶级数CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换DTF

2、T ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换5.0 引言 Introduction本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方 法,来研究离散时间非周期信号的频域分解 问题。 DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一 些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数, 其系数色，具有周期性。 在釆用相同方法研究如何从DFS引出离散时 间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与 CTFT既有许多相类似的地方，也同时存在一些重 要的区别。 抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对掌 握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。5.1非周期信号的表示

3、飞0604020020406080kRepresentation of Aperiodic Signals: TheN、=2Discrete-time Fourier Thransformc iN 二 10n1厂VI II【T【u e厂 X 1A11 1X1IIIX-io-15-10-5.)5101520N、=2nk rTt flkjIk g tIItrTrtIN = 20U屮屮111-3020-10010203040N、=2 oN = 40k_从DFS到DTFT:在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时, 我们看到：当信号周期N增大时，频谱的包络形状 不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。当Nt

4、oo时，有（o0=（27t/N）0,而从时域看，当 周期信号的周期Noo时，就变成了一个非周期的 序列。可以预见，对一个非周期序列，它的频谱 应该是一个连续的频谱。对周期信号顼比）由DFS有2兀k珈n)=工 a/ n ,k=<N>=丄工跌心*' N n=</V>1N/2兀即 =丄£壬何万N n=N 12当N oo时2兀k 0 ,令 limg X(严)NNs有：X(R")= £ x(n)ejn=sDTFT说明：显然X（严）对Q是以2龙为周期的。将其与咳表达式比较有于是:坯比)=丄y X(R'g)刃叱，N kxN>2兀N=

5、丄工X（"如）昇帥巩2帀 k=<N>当Ntoo时，毀)kQT® % da当上在一个周期范围内变化时，£q（在2龙范围变 化,所以积分区间是2兀。.x(h) = f X(R“上加a血2兀2n表明：离散时间序列可以分解为频率在2兀区间上分布的、幅度为 JLx（/）d戲复指数分：C的2龙 线性组合。结论:x(n)=X（e"） =乞双兀比一如-oo二.常用信号的离散时间傅立叶变换1 x(n) = anu(n). a < ln=0通常X(/)是复函数，用它的模和相位表示:X(严)a/1 +/ - 2a cos coRX (/) = tgJa si

6、n co(al由图可以得到：Ovovl时，低通特性，兀5）单调指数衰减-1 V d V 0时，高通特性，摆动指数衰减2. x(n) = /, a < 1x(n) = a,lu(-n 1) + anu(ri)0000n=ln=0-1cox（严）=厂创7：=-<X）fl=Qaeja1-a21 -卅 * 1 -必"=1 + / 2d cosgftTTill可以得出结论：实偶序列 实偶函数3 矩形脉冲：x(n)o,X(eJM)= ± ejcott n= N isin(27V +1)号 CD sin2有同样的结论：实偶信号实偶函数当N=2时，可得到:xnM 0 N(a)两

7、点比较：1.与对应的周期信号比较sin(2M 4-1) X(R0)=2 cosin2显然有关系成立1 sin E(2N|+l) N 、N .71sin kN2.与对应的连续时间信号比较(b)(b)如图所示:kl< kl > a2百 sin a)TcoTX(j3)X(t)Tiu>(b)4. x(n) = J(m)op如图所示:X（eja）1. CQ-7T0 7TX ) = jx(n)ejayn = 1 n=-<r>1n0三.DTFT的收敛问题当兀）是无限长序列时，由于X（严）的表达式 是无穷项级数，当然会存在收敛问题。收敛条件有两组：S21. £ |x（n

8、）| <oo,则级数以均方误差最小的准则 收敛于x（严）。Q02. 工卜（砂voo,则x（K"）存在，且级数一致收敛=一8于X（才）。考察5S）的收敛过程，如图所示:由图可以得到以下结论: :当以部分复指数分量之和近似信号时，也会 出现起伏和振荡；:但随着w T,坯比)的振荡频率变高，起伏的 幅度趋小；:当W =7T时，振荡与起伏将完全消失，不会出 现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。5.2周期信号的DTFTThe Fourier Transform for Periodic Signals对连续时间信号，有2舶3-0（）oR如，由此 推断，对离散时间信号或许有相似的

9、情况。但由 于DTFT一定是以2龙为周期的，因此，频域的冲 激应该是周期性的冲激串，即00工 2加5（2族）k=-s对其作反变换有：X（n） = f X（ejw）ejM,d尸2/r=£严可见，工 2於（co _ % 2疋花）<->R = 由DFS有殴n）=工 akejk（，y 5 =N因此，周期信号坯巧可用DTFT表示为CD<-> X （。加）= 工 咳 工 2兀§ kco 2兀1）kxN> /=co002兀l=-）kxN>X（R"）=，工 2勿Q（q -2方）二+ 工 2 加 Q（0-工 2 加0（血- 2兀） kxN>

10、NkxN>N+ 工 7.71ak8（o£一4龙）+kxN>NN-l27V-1: +工 2应00&） +工 2码QhoNr=oN-工2加Qk=02”coN2兀N_2”2N-1=丁2皿Q3£）十，2勿0（血二比）k=0Nk=NN3N-ry+ 工27iak6coR） +271Vk=2NN8=2兀工uQS k=-CD比较：可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的 形式是完全一致的。周期的。2疋当eoQ=k时才具有周期性。例 1. x（h） = cos6Z?0/i =它不一定是opX（e""）=兀工卜（0-吗 一 2加）+ /（© +0o

11、 一 2加）如图所示:一 2-27r-a）0 一2 + ©X(eja,)严) 2穴一 4)0©)2龙一巩 2兀+%00例2. x（A2）=5（n kN）ZC=Y）均匀脉冲串1 N-l1务=2工心）工如0咖-N n=<N>N n=0X（e） = £N & ' N比较:与连续时间情况下对应的一致。X（n）1X（严）2n-2N -N 0 N 2N n42力o2nV5.3离散时间傅立叶变换的性质Properties of the Discrete-Time Fourier TransformDTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有 某些明

12、显的差别。通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时 域和频域特性之间的关系。一、周期性(periodic):若xS) o X(严)，则 X(R3")= x(e>)比较：这是与CTFT不同的。二. 线性(linearity):ax(n) I («) o aXx(eja>) I hX2(eJta)三. 时移与频移(shifiting):若双肋0X(严),则x(n-nQ)X(eja)ej 时移特性xn)ejayi 3 X(R3®) 频移特性四.时间反转(reflaction):若 x(n)X(eja) 则 x(-n) <-> X(eja)五.

13、共辄对称性（symmetry properties）:若 x（）<-> X（w购），则 xn） o Xeja）由此可进一步得到以下结论：1若兀）是实信号，则xn） = x（n） Xej（0） = X（w沟），即 Xejco = X（w一沟） X（/）| = |x（w® ）|ReX（/） = ReX（e-）DX（严）= 4X（严）lmX（才）= -ImX（严）2.若兀)是实偶信号，则x(n) = x(-n),x*(az) = x(n) x(n) o X(e ,(,)于是有：XejQ) = X(ejM) = X(R& ),即X(RQ)是实偶函数。3. 若 xn)是实奇

14、信号，则 x(7?) = -X(F),T(n) = X(H)于是有：X*(严)= XO%)= -X3"),表明X(严)是虚奇函数。4 若x(刃)= (/!)+兀(n),则有：xe(n) o Rex(严)乙)今八mx(严)说明：这些结论与连续时间情况下完全一致。六差分与求和(Differencing and Accumulation):x(n)-x(n-l)< (1 幺5)X(K”)n1s工 x(灯 o - X(R”)+ 宓(R°)工 5S -2加) jt=-oO1 *_s说明：在DTFT中(1-w®)对应于CTFT中的加。例：v u(n) = 伙)k=g1s

15、.uO) 4-2;rQ1 ek=s七.时域内插(Interplation ):定义Xk (n)=x(n/k), n为k的整数倍0,其他nXW)= $>")*如=£心)严zi=oor=co=X x(r)e-j6,rk = X(严) Xk(n) O X(严)r=oo信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。八. 频域微分(Differention in Frequency ):八八dX2fnx(n) O jda>九. Parseval 定理：n=-oo2% 2”|X(严)尿为X(H)的能量谱密度函数。比较:在DFS中，有!工|双洲=EK-I2N nxN>kxN

16、>血I液为周期信号的功率谱。5.4 卷积特性(The Convolution Property )若= x(n) * h(n),W)即是系统的频率特性。说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析 的理论基础。例：求和特性的证明1 8= X(eJa)- +龙，5(血2加)5.5 相乘性质(The Multiplication Property)如果 y(n) = x1(n)-x2(n),则 Y(eja) = f X|(R&)XW&)%2tv J?”1=X(R“)OX2“)2tt由于X(R”)和X2(ejM)都是以 x 为周期的,因此上述卷积称为周期卷积。例：c() = (1

17、)",兀(料)卑y(n) = x(h)-cri)c(n) = (-l)w = ejnn L()C("冷=2兀工 S(co-7T -2k7r)1Y(eJ0)=X(eJ6)(8)C("“) 2n=丄X(R&)C(R3&)& 27T2”="x(严)5S-小/e = X(RS) J 0-71C(严)CD7Tco5.6傅立叶变换的性质及 基本变换对列表*S.l变換性展节次 性匪-非周期前績里叶交换r« yn：；,局期的間期为2”5.3.2线tt0X/t 4 如尽oX(4)令"严)533时移 J 一宀 oXA)5.3.3t

18、M7)5.3.4r4n|n5.3.6r-nm5-3.7时城犷展P i 上5川若兀为的信fftX(4)b.齐力不为z的倍散5.4XnX2) W)5.5£ |“3)2：脳5.3.5时蛾號分<1-e-)X(e-)5-3.5JRA)|.;丿2>-心(沖S 8缶2> -«5.3 8頻域撤分xxhdX(占)实佶号的共純刈称性工"为实依号5.3.4的划称性工5为实、價信号5.3.4丈命信号r .的对称性小为篡曲号5.3.4实常号的上5 = &1工“”为实寄倜分熔临“=创才”GO为丈15.3.9非局期信号的帕斯瓦尔定理S 1耳51，三扌. <9 &

19、quot; L1 *（孑）沁XGmX3W)J%lX(e)|-3LlX(e-»*)| 4|X(e>*)| = *JU|X(e)| |XQ)ITXDIVX(*)=MX(L 巧x(丰实且为但X（凸纯虔且为奇aix（<j-）l怙号傅里叶变換傅更叶級敷贏数（若为岗期的）和s込IT)2x 2釈3-斶J _»g二呼11* 艮=m.m ±N、m ±2N “产b其余连（b） g无珂致R情号足非周期的cne<w0Mw 乂 .(-a>0-2wZ) + 1- -*6(巴 + aro2xZ ) |（a）=；+ k-zm.±fn±N9&#

20、177;m x2/s- 冷科23共余仝（b）畧无测K"怡号足菲翱甥的血grr予 iT 5(w-cuoJ 8- 3厂加寺.k = z<r±Nwr ±2N» -k -吉怎三 pr.-r = N、 r±2N“b.其余*(b)曇尤现數r£号赵襲周期的>5.2墓:制I里时变集对xw = l2n 2Z/3 00|U A-0,±N, ±2M tofo.具 Q周期方淞竝码一 h N,<M<N/2和+ N = .r n 叫龙3（®欝）&n2m/N)(NL + g )J a>氏厂 '40, ±Nf ±2Nr- 畋二驾匸xX, 12Ar，Xtfrn_jkjy际T)皱=护J全恥a"wnL laKl1 t-ae. E IdfM 曲 O.|m|>Nban(/Vv + y) smJtv/2)«響斗