第7章线性离散系统的理论基础习题答案

1、第 7 章 线性离散系统的理论基础7.1 学习要点1 控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式；2 各种校正方法、方式的特点和适用性；3 各种校正方法、方式的一般步骤。7.2 思考与习题祥解题 7.1 思考下述问题(1) 什么叫信号的采样？(2) 什么是采样控制系统？采样控制系统与连续系统的主要差别是什么？(3) 试述采样过程和采样定理。(4) 什么是保持器，保持器的功能是什么？(5) 零阶保持器的传递函数是什么？对应的脉冲传递函数是什么？(6) 用零阶保持器恢复的连续时间信号有何显著特征？(7) 常用的z变换的方法是什么？如何求系统的脉冲传递函数？(8) 求 Z 反变换有哪几种方法？各有什么

2、特点？( 9) 差分方程如何求解？(10) 脉冲传递函数是如何来描述采样系统的？(11) 如何求得采样系统的开/ 闭环脉冲传递函数？(12) 对于用闭环脉冲传递函数描述的采样控制系统，系统稳定的充分必要条件 是什么？(13) 如何采用劳斯判据来判断采样系统的稳定性？(14) 闭环极点与采样控制系统瞬态特性的关系是什么？ 答：(1) 采样控制系统是通过采样开关将连续的模拟量转换为离散量的， 将开关闭合期间模拟量的传输 称为采样。按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样，叫做信号的采样。(2) 在控制系统中， 有一处或几处的信号是时间 t 的离散函数的控制系统称为离散控制系统。 离散 信号通常是

3、按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，故又称为采样信号。相应的 离散系统亦称为采样控制系统。连续控制系统每处的信号都是时间 t 的连续函数，而采样控制系统有一处或几处的信号是时间 t 的离散函数。(3) 按照一定的时间间隔对连续信号进行采样， 将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为 采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。为了使离散信号e*( t)不失真地复现原信号e(t)，必须考虑采样角频率 s与e(t)中含有的最高次谐波角频率max之间的关系。香农(Shannon定理指出：如果采样器的输入信号e(t)具有 有限带宽，并且有直到- max (rad /s)频

4、率分量，则只要采样角频率- s满足，s _ 2，max或2兀T(s)。max采样定理实际是指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号所必须的理论上的最小采样周期 T (复现原信号所必须的最低采样频率)。如果仁：2 ma，则相邻部分频谱会出现重叠现象， 这就难以准确的恢复原来的连续信号了。(4) 为了实现对被控对象的有效控制，必须把采样信号恢复成相应的连续信号，这种从采样信号 e*(t)中恢复出原连续信号的过程称为信号的保持(复现)。用于实现这种过程的装置称为保持器， 保持器的最主要功能就是对信号的复现。采样控制系统中广泛采用的保持器是零阶保持器。(5) 设在零阶保持器的输入端加上单位脉冲函数；

5、(t)，其输出g(t)称为零阶保持器的单位脉冲响 应。则输出g(t)的表达式是：g t i； - eh0 t - 1 t - 1 t - T对上式求拉氏变换，得零阶保持器的传递函数为11 -sGho(s)二 Lg(t) 1s s s对上式求Z变换，得零阶保持器的脉冲传递函数为Z(1-Z_ )GhO(Z)1Z-1(6) Z变换方法就是要求取采样函数的Z变换式。直接方法是由连续函数e t求出采样函数e* t，1通过拉氏变换求出E* s，再令s二lnz，求出采样函数e* t的Z变换E z。此方法比较 繁琐。为了简便，还可以通过级数求和法和部分分式法这两个比较常用的求 Z变换。采样系统的被控量往往是连

6、续信号xc t，不是离散信号X*c t为了求系统的脉冲传递函数， 通常在输出端虚设一个采样开关，它与输入端采样开关一样以周期 T同步工作。必须指出的是，虚 设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出连续信号 xc t在采样 时刻上的离散值X*c t。这样，输出的采样信号就可就根据下式求得X*c t =ZJ Xc z =ZJ W z Xr z当已知系统连续部分传递函数W s或单位脉冲响应g t，根据Gz二Zgt二ZGs 即可得到系统脉冲传递函数G z 。（7）求Z反变换常用如下方法： 级数求和法，级数求和法直接应用Z变换的定义进行求和。把复杂的Z变换方法转换成简 单的数学

7、上级数求和的方法，是一种简单的Z变换法。 部分分式法，部分分式法在已知连续函数f t的拉氏变换为F s时，则可将F s展开 成部分分式之和的形式，然后对各个分式求Z变换，其和即为F z。此方法只需记住一些特定传 递函数的Z变换即可求出系统的脉冲传递函数。（8）常系数线性差分方程的常用求解方法有两种：一种是基于解析方法的 Z变换法，另一种是基 于计算机求解的迭代法。 Z变换法用Z变换法求解差分方程较为方便，且可求得差分方程解的数学表达式。Z变换法求解差分方 程的步骤是：对描述离散系统的差分方程进行Z变换，并利用Z变换的实数位移定理，将时域差分 方程化为Z域的代数方程，求其解，再将Z域的代数方程经

8、Z反变换求得差分方程的时域解。 迭代法迭代法是已知离散系统的差分方程和输入序列、输出序列的初始值，利用递推关系逐步计算出 所需要的输出值的方法。（9）在离散控制系统中，把零初始条件下，环节或系统输出脉冲序列的Z变换式与输入脉冲序列的 变换式之比，称为该环节或该系统的脉冲传递函数。记为 G z。脉冲传递函数反映的是系统输入采样信号与输出采样信号之间的传递关系。(10) 如何求得采样系统的开/闭环脉冲传递函数？ 求开环脉冲传递函数时，要注意串联环节之间有无采样开关。即两个相串联环节间无采样开 关时，脉冲传递函数等于这两个环节传递函数乘积的Z变换。当两串联环节间有采样开关时，其脉 冲传递函数等于这两

9、个环节的脉冲传递函数的乘积。 求闭环脉冲传递函数的一般步骤如下：A根据已知的结构图，首先不考虑采样开关，将其看作一个连续系统，写出闭环传递函数门S。B由门S写出输出的拉普拉斯变换表达式Xc S。C将采样开关的设置考虑进去，把Xc S的分子和分母中的每个乘积项，按输入信号与环节、环节与环节之间有无采样开关，根据环节串联时的脉冲传递函数的求法，逐项写出相应的脉冲传递函数，进而写出Xc z。D若Xc z可以独立出来，则可由Xc z写出闭环脉冲传递函数G z。否则写不出G z，而只能写出Xc z。总之，在求离散系统的闭环脉冲传递函数时，一定要注意采样开关的位置，其位置的所在，直 接决定闭环传递函数的求

10、取。(11) 如果离散控制系统闭环特征方程所有的特征根z(i =0,1,2,n)，全部位于Z平面的单位圆内部，即z|",(i=0,1,2，n)则系统是稳定的，否则系统不稳定。(12) 连续系统的劳斯稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定性的。这种对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判断，实质是判断系统特征方程的根是否都在 左半S平面。对于线性离散控制系统，是不能直接应用连续系统劳斯稳定判据，因为离散系统需要判断系统 特征方程的根是否都在Z平面的单位圆内。因此，必须采用一种变换方法，使Z平面上的单位圆， 映射为新坐标系的虚轴，这种坐标转换称为双线性变换，又称

11、为 3变换。令 1z 1z或'时-1z_1再令z = x j y = u jv则有2 2（x+y I2y=u JV2 - j2r（x_1 ） + y （x_1） + y由上式可见，平面内u=0 （虚轴），对应于Z平面内z=x2 + y2=1 （单位圆的圆周）。平面内u c0 （左半平面），对应着Z平面内z=x2+y2v1 （单位圆的内部）。ryr平面内u a0 （co右半平面），对应于Z平面内z =x + y >1 （单位圆的外部）。这样，只要将Z平面上的特征方程式经过z；-变换，就可以在 平面上直接应用劳斯判据判别系统的稳定性。（13）采样系统的闭环极点在Z平面上的分布对系统的

12、动态响应起着决定性作用，采样系统的暂态特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定。对于闭环极点我们分四种情况来分析： Pj位于单位圆内。离散系统是稳定的，位置越靠近单位圆收敛越慢，越接近原点则收敛越快。 Pj位于单位圆上。离散系统是临界稳定的，Pj1时，恒值等幅振荡。Pj二-1时，交错等幅振荡。 pj位于单位圆外。离散系统是发散的。 pj位于单位圆圆心。位置越接近原点，分量项收敛越快。Pj位于圆心位置上时，应该具有无穷大稳定度。闭环极点的位置与暂态特性的关系如图7.1所示。题7.2求下列函数的Z变换(1)f t = cos t(2)f t =1-e&(3)f t 二 te(4)f t =a

13、k解：(1)f t =cos t因为 f t 二 cos t 二 Re e 厂 *所以，由Z变换定义，有7F（z）=Z_f（t） = Z Icosb t 】=Z Re（ ejct）D - 1 1 二 Re -叫-1D - 1 1=Re JtJ - z cos 国 T - jz sin T 一zz - cosT）z - 2zcos T 1 f t由Z变换定义有8#F z = Z V eat1 11at -11 - z 1 - e z#_atz 1 - eatz _ 1 z_ e at# f t =te"t因为z和二亠三(z-1 )所以，根据复位移定理Z |i_e "f t 二

14、F _e 巧 ，有Ze-att二TzeaTTze如zeaTz_aT（4） f t i=ak根据z变换定义，有aZ f k 八 f k z*0求下列函数的Z变换。1F s 2' f sak-k八 a zk=0oOzz- a题7.3(1)F s =(s+a Xs + b) 、 KF s 二s s a-nTseF s =(s+ a)T是采样周期解：(1)因为L-112 = t _s2所以Z_sTz1-z1Tz2 z- 1F(z)=Z【11 I1L(s+axs+b).b-ais+a s+b 力e 如- ebT z10#(3)b - a r z - e aT z_bTe#-Zs s a a_ss

15、+ a 一aTz V e-aT-aTe z enTseT是采样周期因为at - nte根据延迟定理，有-at - nte-atez-aTz e题7.4(1)求下列函数的z反变换。z - 0.5zF z = z1 z22z2F z 一 z-0.1 z-0.8F z = z z TT是采样周期解：(1)F z = z 0.512f kT 二 0.5 kT(k = 0,1,2,)# Fzj “将展开，有z#-11+z-213所以zz-2#f kT 1kT(k = 0,1,2,)#2z2 F 八 z-0.1 z-0.82z216F 八 z-0.1 z-0.87 z-0.8 7 z-0.1z1F(z)卜

16、7!z-0.87z-0.仁#16 kT 2 kT0.8 0.17# F " zd zdTT是采样周期#1-T-2Te 一 e-Tz e1-2The 一 e-2Tz 一 e14#Z-2Tz e 丿1I zz e T z e_2Tz- e TJ 不八/z_e z_e2T题7.5用Z变换的方法求解下列差分方程，结果以x k表示。x k 2 2x k 1 x k 二 ukxO;=O, x 1 =0, u k i=k k =0,1,2;解：对差分方程进行Z变换Z |X k 2 2x k 1 x k 二 Zuk22ZzXz-zxO-zxl 2zX z - 2zx 0 X z2(z-1)代入初值整

17、理得X z22(z+1)(z-1)d2k dd2k 1x k = lim z -1 X z zklim z 1 X z zk_1dz1 dzk -1k-1 k -1144k为偶数时,x k =0； k为奇数时,k -12题7.6求题7.6图所示各系统的输出Z变换C(z) oTR(z)C(z)R(z)(b)题7.6图解：(1)题7.6 (a)图所示环节为三个环节串联组成，且环节之间没有采样开关,所以其等效的传递函数的Z变换为Gz=ZG!zG2zG3ZZ2Z1 - S-1 2Z16#所以Xc z = Xr z G z(2)根据题7.6 (b)图得Xc z =G3 z zG2 z Xr z -G3

18、z G! z Xc z题7.7设开环离散系统如题7.7图所示，试求开环脉冲传递函数G z 0R(z)2X r5s + 2s+5C(z)(a)R(z)25s+2s+5C(z)(b)题7.7图解:对于题7.7 (a)图，环节间有采样开关22zILs 2z - e'T17#5z5_s 5z- e*T#开环脉冲传递函数:#2G z 二異it(z_e z_e对于题7.7 (b)图，环节间没有采样开关Z Z2ILs 2 s 5-2T_5T x10 z e -e2T3 z-e z-e10 10题7.8设闭环离散系统如题7.8图所示，试求闭环脉冲传递函数门z。R(z)题7.8图解：由题7.8图得G(z

19、)1 G z H2 z GH1 z题7.9已知闭环脉冲传递函数0.53 0.1z1 -0.37z_118试求该系统的单位阶跃响应解:0.53 0.1z*1 -0.37zJ0.53z 0.1z -0.37Xc z =0.53z 0.1z -0.37Xr z =0.53z 0.1z -0.37zZ 119#Xc Z _0.53z 0.1_ 10.47z z -1 z-0.37z-1 z- 0.37Xc z 二zz -10.47zz -0.37#进行Z反变换，得nXc kT 严1 -0.47 0.37题 7.10判断题7.10图所示系统的稳定性。R(zgT_T=11ss 10s 1C(z) ”R(z

20、)C(z)T=1#(b)题7.10图解：由题7.10（ a）图，开环脉冲传递函数s(10s+1 )1-z_11 10 , 丁矿1 =Vzz_zTz-11 - e1 z1-e".10.095zT z-e®zd1z-0.905#闭环特征方程1 G z =10.095+z - 0.905=020#即 z - 0.905 0.095 二 z - 0.81 二 0特征根z = 0.81，系统稳定2zz1由题7.10 (b)图，开环脉冲传递函数G z =Z4z24z2z-1 z-e z2 -1.368z 0.368闭环特征方程1 G z =14z2z2 -1.368z 0.368#即5z2 -1.368z 0.368 二 0z1, 0.1368 ±0.23430.271 龙 1闭环系统稳疋。题7.11设闭环离散