第9章多元函数微分法及其应用济南大学1415.

1、1415A一、选择题(每小题2分，共10分) 极限 lim 倍D )(x,y) 一0,0)x2 +y2(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)不存在. 二元函数f (x, y)在点(xo, yo)处的全微分存在是它在该点连续的(A )(A) 充分条件.(B)必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件. 点(0,0)是二元函数f(x,y)=x2-y2的(C )(A) 极大值点.(B)极小值点.(C)驻点但不是极值点.(D)不是驻点.二、填空题(每小题2分，共10分)(1) 极限 limtan=.(x,y)T0,1) x1(2) 设二元函数 z =1 n(xy)，贝U dz =.1

2、1dx dyxy、计算题(每小题5分，共20分)(1)设z=ex ysinx-x2y3，求三，ex设z=z(x, y)是由方程z3 - x-y-z=0所确定的隐函数,求和2.x _yz x yx y3-z x y2(1)解：e y si nx e ' cosx-2xy ，e y si nx-3xexcy解：设 F(x, y,z)二 zx y z ，贝y Fx(x,y,z) - -1，Fy(x, y,z) = 1 ，Z _ Fx(x, y,z)12xFz(x, y,z)3z T :y五、综合题(每小题10分，共20分)3(1)求函数 f (x, yx2y x2 2xy y2 2x 的极值

3、.22Fz(x, y,z)=3z -1，Fy(x, y,z)12Fz(x,y,z) 3z -1(1)解:fx(x,y) =2xy 2x 2y 2 ，fy(x,yx2 2x 3y ，解方程组'2xy+2x+2y+2=02x +2x+3y=0得驻点:(-1,) , (1,-1), (-3 一1).fxx(x,y)=2y 2, fXy(x,y2x 2, fyy(x,y)=318i在(-1,)点,A 二,B=0 , C = 3 ； AC -B20, A 0，所以 f( 1,)=333是极小值在(1,-1)点，A=0, B=4 , C =3 ; AC_B2：0，所以 f(1,-1)不是极值(-3

4、,-1)点，A=0, B=4 , C =3 ； AC-B2：0，所以 f(-3,-1)不是极值1314A一、填空题(每小题2分，共10 分)极限叫0,1)1 - xy-22x yKey: 1.(3) 设二元函数 z =sin(x y)，贝U dz =.Key: cos(x y)dx cos(x y)dy二、选择题(每小题2分，共10分)(1)极限 lim sin(xy)(x, y)T(0,2)(A) 0.不存在. 二元函数f(x,y)在点(怡。)处的全微分存在是它在该点两个一阶偏导数都=(C )(B) 1.(C) 2.(D)存在的(A)A )充分条件.(B)必要条件.充分必要条件.(C)(3)

5、若z二f(x,y)在(“)处取得极大值，令(D)既非充分也非必要条件.g(y)二 f(x),y).则(b )(A) g(y)在y°取得最大值.(B) g(y)在y。取得极大值(C) y是g(y)的驻点.三、计算题(每小题8分，共40分)(D)以上都不对.aa(1)设 z =x2 cosy-3xy2，求-Z , excy:.2:z和.x: x：yrz2(1)解：2xcosy3y ,ex；z2-x sin y 6xy2 =2cosy , .x仝-2xsiny_6y x:y 设z=z(x, y)是由方程ez-xyz-1=0所确定的隐函数，求厂和一. dxcy解：一Fx(x,y,z) _ y

6、zFz(x, y,z)ez-xyzFy(x,y,z)yFz(x,y,z)xzze -xy1314B五、综合题(每小题10分，共20分)(1)求曲线x3 - xy y3 =1 (x _0,y _0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距 离.33(1)解：设曲线x -xy y-1上的点到坐标原点的距离的平方为2 2f(x,y) =x y，(x _0, y 一0)，令 L(x, y, ) = x2y2 (x3 - xy y3 -1)Lx=2xZ(3x2y)=0解方程组2/口 x=1« Ly =2y +k(-x +3y2) =0得丿33y = 1"=x 一 xy + y 1=0f(1

7、,1) =2，考虑边界的点的函数值f(1,0) = f(0,1) =1，所以最长距离是 、2，短距离是1.1314C(3) 设 z 二 us'nv，而 u 二 x2 y2， v 二 xy，求 , z .ex 创L、L、L、L、解:-ZzUZ Vsinvsin v 2xsinv u ycosv u In uL、L、J-x:U:x:V；x2 2、sin xy -42 2、sin xy2 . 2、= 2xsinxy (x y ) ycosxy (x y ) ln(x y )，-'z:z:u:z=» r y:u:y:v-Vsinv 二sinv .2ysinv uxcosv u

8、 In u y= 2ysinxy (x2 y2)sinxy xcosxy (x2 y2)sinv In(x2 y2).五、应用题(每小题10分，共20分)(1)某公司在生产中使用甲、乙两种原料，已知甲和乙两种原料分别使用x单位和y单位可生产Q单位的产品，且2 2Q(x, y) =10xy 22x 33y-10x -5y .已知甲原料单价为200元/单位，乙原料单价为300元/单位，产品每单位售价为 100元，产品固定成本为1000元，求该公司的最大利润.(1)解：利润函数L(x,y) =100(10xy 22x 33y-10x2 - 5y2) - 200x - 300y -10002 2-10

9、00x1000xy -500y2000x 3000y， (x _ 0, y _ 0)解方程组：-2000x+1000y+2000 = 01000x1000y+3000 = 0Lxx(x,y)2000，Lxy(x,y) =1000，Lyy(x,y) =-1000.令 A 二-2000， B =1000， C 二-1000，则 AC B20， A ： 0，所以L(5,8) =16000是极大值，也是最大值0809 B一、填空题(每小题3分，共18分)2、设 z二ln(xy)，则其全微分 dz二11dx dyxy3、函数u鳥的所有间断点是( x, y) | y2 =2x,x R, y R、选择题(每

10、小题3分，共15 分)1、 f (x, y) 2xxyy2，则极限 lim f (x, y)二0(A)不存在(B)1(C) 2(D) 0A当点P(x,y)沿曲线y =kx趋向(0,0)时,kx2k取值不同是，极限也不相同。kx叫 f(x,y)“!叫 x2k2x2 二口 显然，当y :kx所以 lim 2xy 2不存在. （X,y）_（0,0） x2 +y22、在曲线x =t, y - -t2,z =t3所有切线中，与平面 x 3y 34平行的切线（ A ）（A）只有一条；（B）只有两条； （C）至少有3条；（D） 不存在曲线的切向量T = C （t）,（t）,（t）=（1, -2t,3t2），

11、平面的法向量（1,3,3）1(1 - 2t,3t2) (1,3,3) J-6t 9t0,(3t -1)2 =0,得 t .所以只有一条切线满足条3件3、点0,0是函数z =xy的（E ）（A）极值点；（B） 驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对 分析：令乙二y=0,Zy=x=0，得（0,0）是驻点，但点（0,0）是z = xy的鞍点，不是极值点.1、设 z = eu sin v,四、计算题（每小题8分，共32分）u = xy, v = x y, 求 和 exby:z.x:x: u :x.:v；:x二 eu sin v y - eu cosv 二 exy y sin(x

12、y) cos(x y)z:f:-f :-Vu .uxye sin v x e cosv = e x sin(x y) cos(x y) .:yjy ；:u ；:y ；:v ；:y五、解答题（每小题分10,共20分）1、要造一个容积为定数 a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小? 此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为x, y, z,则问题就是在条件（x, y, z）二xyz-a = 0下求函数 S = xy 2xz 2yz(x 0, y 0,z0)的最小值.作拉格朗日函数L (x, y, z) = xy 2xz 2 yz 亠亠；(xyz - a),y +2z + y

13、z= 0 ,求其对x, y,乙的偏导数，并使之为零，得到x + 2z + 扎 xz= 0 ,2 (x + y ”kxy= 0 , iXyz-a = 0.1 1因为x, y,z都不等于零，得z x y,代入xyz-a=0,得2 2x ="2a, y =3肓,z=1 “2a,这是唯一可能的极值点.由问题本身可知最小值一2定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即长宽高为2a,2a,-2a时，最小2表面积S =3：(2a)0910B一、填空题(每小题2分，共10分)2、设函数z二f (x, y)是由方程x2 y2 z4z给出，则全微分 dz, xdx + ydy2xdx 2ydy 2

14、zdz =4dz ,dz.2_z3、曲面x2 y2z2 =14在点P(1,2,3)处的切平面方程为 切平面得法向量彳 gm =(2 x, 2y,2z)(1,2,3)=(2,4,6),切平面方程为 2(x-1)+4(y-2) 6(z-3) = 0,或x 2y 3z-14 = 0.二、选择题(每小题2分，共10分)1、二元函数f (x, y)在点(Xo,y°)处可微是两个偏导数fx'Eyo), fy'(Xo,y°)都存 在的(B)必要条件(A)充分条件(D)既非充分又非必要条件.(C)充分必要条件四、计算题(每小题10分，共40分)求:三、三. excyx1、设

15、 z二u2l nv，而 u 、v=3x-2y，y解:2xln 3x-2yy3x23x -2y y2筠 In 3x 2yy2x23x - 2y y2y (0,1, 4)y (0,1, 4)1011B一、填空题(每小题3分，共15分)(1) 设二元函数 z =xex4y +(x+1)1 n(1 + y)，贝y dz|(1,0)=.dz |(1,0)=(ex yxexy ln(Vy)|-dx (xexy '(1,0)dydz=2edx (e 2)d y 旋转抛物面z =x2 y2 -1在点(2,1,4)处的法线方程是法线的方向向量(2,1,4)=(2%,2,一x3(xf/ f2(-):yx)

16、(2,1,4)=(4, -1)，法线方程是x2 y" z442-1、单项选择题(每小题3分，共15 分) 设z=f(x,y)的全微分为dz=xdx ydy贝U点(0,0) ( C )A.不是f(x, y)的连续点；B.不是f(x,y)的极值点;C.是f (x, y)的极小值点；D.是f (x, y)的极大值点.分析：zx = x, Zy 二 y ,得 zxx = 1, Zyy = 1, /t 0,由10,A = 10 ,则点(0,0)是f (x, y)的极小值点.三、求偏导数(每小题10分，共20 分)(1)设z，f(xT，其中f具有二阶连续偏导数.求:；解：-3x2f x3(yf|

17、 仏(-爲)=3x2f x'yfj-xyf2-2-:Z ：42- (x f1 x f2)= x4(f11 x 疋)/(Gx就):xxy (0,1, 4)y (0,1, 4)=x5 f x 2x3 f12 xf22X :y(x4 f/ x2 f2)y: x: x=4x3 f1x4(fn y fi2 (E) 2xf2xX2( f2iyf22(E)x=4x3 f12xf2x4yf1 yf22.y (0,1, 4)y (0,1, 4)-z(x, y)是方程xyzarct arxC y z)在(0,1,-1)点确定的隐函数，求 '及 ex-：zy (0,1, 4)例36设函数f(x,y)

18、 =2x2 ax xy2 2y在(1,-1)处取得极值，试求常数a，并确定极解:令 F (x, y, z) = xyz-arctan(x y z)Fz=xy -121 (x y z)2121 (x y z)Fy121 (x y z)例36设函数f(x,y) =2x2 ax xy2 2y在(1,-1)处取得极值，试求常数a，并确定极例36设函数f(x,y) =2x2 ax xy2 2y在(1,-1)处取得极值，试求常数a，并确定极2-z_ Fxyz1(xyz) P1 2.x Fzxy1(xyz) -110分&Fyxz1 + (x + y + z)2 -1= = 2创(0,1,)Fzxy1

19、+(x + y+z) 1六、应用题（本题满分10分）从斜边长为丨的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长299解：设另两边长分别为 x, y，贝U x y = I ,周长 C=x，y，l2分2 2 2设拉格朗日函数F （x, y, ） =x y I（x y -I ）-4分U =1 +2xk =0令 <Fy=1+2yk = 06 分匸2丄 2. 2八F=x + y -l =0fljJJ2解方程组得x二yl为唯一驻点，且最大周长一定存在8分242（-故当x=y l时，最大周长为 C=（1.2）l10分1112B、填空题（每小题2分，共10 分）21. z = x y 在点

20、(1,1)处的 dz =2dz =2xydx + x dy, dz x 丑=2dx +dy.y#2. 设函数f （x, y） = 2x2 +ax+xy2 +2y在点（1,一1）取得极值，则常数 a = 值的类型.fx(1厂 1)=(4x a y2)心=0,fy(1,T) = 2xy 2yx=1 y"=0,所以 a =5.分析 这是二元函数求极值的反问题，即知道f(x,y)取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题.解 因为f (x, y)在(x, y)处的偏导数均存在，因此点(1,-1)必为驻点，则有2=4x +a +y =0次(1)內(1,_!)y(1=

21、2xy 2(1)=0因此有 4 a 1 =0 , 即卩 a =5 .因为cf|-y=2x(1,)(1,)=2，例36设函数f(x,y) =2x2 ax xy2 2y在(1,-1)处取得极值，试求常数a，并确定极例36设函数f(x,y) =2x2 ax xy2 2y在(1,-1)处取得极值，试求常数a，并确定极2 2."：二 AC B =4 2 -(一2) =40 , A =40 ,所以，函数f(x,y)在(1,一1)处取得极小值.二、选择题(每小题2分，共10分)3.在点P处函数f (x, y)的全微分df存在的充分条件为(A) fx, fy均存在(B)f连续(C) f的全部一阶偏导

22、数均连续Q)f连续且fx, fy均存在三、计算题(每小题8分，共40分)厂21.设Z=z(x, y)是由方程x2 y2 z2 =2z所确定的隐函数，计算 的值.ex ex解：设 F(x,y,z) =x2 y2 z2 -2z，则 Fx =2x, Fy =2y , Fz2z-2,.z2x x 2z f / x、1 - z xzx= =()=.x 2z2 1z ：x21 z (1 z)21 -z x(1-z)(1 一 z)2 - x23(1-z)4.求函数u二xy yz zx在点(2,1,3)沿着从该点到点(5,5,15)的方向导数解 方向 I = (3,4,12) l0 二-3,-4,12. co

23、s 3 ,cos ,cos 二12 13 13 3131313ux(2,1,3) = 4,uy(2,1,3) = 5,uz(2,1,3) =3,-'z:68UxCOS： uycos-uzcos.i xy13五、证明题(每小题7分，共7 分)证明f(x,y)二.x2 y2 (x,yb (0,0)在(0,0)点偏导数存在，但不可微0(x,y) =(0,0)证：f(x,O) =0, f(O,y) =0,加二啊何“一®0)=x=lim 0=0.x_0fy。)呷何节讪=lim 0 =0.y-，0所以函数f (x, y)在(0,0)处可导.Azfx(0,0)也 xfy(0,0)AyfQx

24、,Ay).limlimlim 2pt刃厶 x2勺2r x2y当点P(. x, . ：y)沿曲线y =kx趋向(0,0)时，=lim：xdk0x也 xAyk®x)222 111 I I222c：x)( ：y) x W( ：x)k C：x)k1k2'显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以lim 22JS .迥不存在.这表示当 J 0 时，二z - fx(0,0)二x - fy(0,0)二y = o( ')所以函数f (x, y),在(0,0)点不可微.1213B、填空题(每小题2分，共10 分) 极限 lim 一“1 (x,y)T(0,2)xy分子有理化设二元函数，则d

25、z二dz 二 yexydx xexydy、选择题(每小题2分，共10 分)(1)设函数 f(X, y) =x2?y2，贝U极限(X y)m(0 0)f (X, y) =(D )(A) 0.(B) 1.(C) 2.(D)不存在.当点P(x,y)沿曲线y =kx趋向(0,0)时，kx2klim f (x, y) =lim 2 厂2显然，当k取值不同是，极限也不相同。:復x0 x k x 1 ky夕所以)丹不存在(2)二元函数f (x, y)在点(Xo, yo)处的全微分存在是它在该点连续的(A )(A)充分条件.(B) 必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件如果函数在一点可微分，

26、则函数在该点连续三、计算题(每小题8分，共40分)(1)设 z = x3y _ xy3，求二,ex:z-:y二和x y解:z23:z3x y - y , x f-./x；v-=y32-3y x,-2:'z 223x 3y ,L、- .r/xy-2:z-2y-6xy.设z=z(x, y)是由方程=ln Z所确定的隐函数，求 和二.z yexcy解I :用隐函数求导公式解IIF x, y,z -ln?, z y:x1x1z2壬:x1；:Fzy.zz212zczyzX Zx 1y(x z)2z zz将z看作x, y的函数，两边对 x求导，得:cz Z _ Xdxczz即，同理两边对:x x

27、zy求导得2 zy(x z)解 iii :将方程两边求全微分，得:dz-，解出 dz 得:zdx - xdz2zdz = zzxdxdy；zz5ez将z看作x, v的函数,继续求导，即得二阶偏导数:xx z :yy(x z)_22_22 2_ 22/ zz/ zz x:zz xr2_3 ，r2_-23 ，-3x(z 十 X)yy(z+x):x_ yy(z+x)四、应用题(每小题10分，共20分)(1)求旋转抛物面z= x2 + y2上垂直于直线丿x+v+z+1=0x y0的切平面方程.x+2y+5z+3=0解：令F(x,y,z) =x2 y2 -z,任取旋转抛物面 上一点M (x,y,z)，该

28、点的法向量n =(Fx,Fy,Fz) =(2x,2y,-1),已知直线的方向向量因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行，2x 2 y -13 小心22925=一,所以 x,y =2,代入 z = x y ，得 z4 =3-41244325所以所求的切平面方程为 3(x )-4(y-2)，(z-)=024或 3x -4y z 25 =0 .4注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求= (3,41)1.把y,z看成是x的函数，在方程组乂為；1：。中对x求导，得dy .空=0dy 4dx ，解得dz50dx1 dx 心 l dxdx 3 dz _ j .dx 341则方向向量 s =(1

29、,-一，一).3 32.令 F(x, y, z) =x y z 1， G(x, y,zx 2y 5z 3，直线的方向向量T=(1151 1511255 112)=(3,一4,1)，2(2)求函数y 1在条件x2=8下的最大值与最小值.解 令 F(x,y,zx y V (x2 y2 -8),，于是由R 0，:-).记F(R,：)-2匚聲f(x2+y2)dxdy，求爲.丄 F x 二1 2 x = 0 x - 2 f x - -2Fy =12 y =0 解得 一，一.即(2,2) ,(2 <)为可能的极值点，可能的极值22y=2 y2F ,二x y _8 =0z(2,2) =5, z(2,2

30、)-；,从而所求函数的最大值是z(2,2) =5，最小值是z(2,2) -3.五、综合题(每小题10分，共20分)(2)设f(x)是定义在0, ：)上的连续函数， D是由圆x2 y2二R2和直线y =xta n>，y = 0所围成的区域在第一象限部分(王；:Rf (R2)Rd孑F:R；:：±(；f(R2)Rd" = f(R2)R.解：区域D用极坐标表示(匚“ |0乞t < R,0 w < : ,222OtR 2F(R,： ) =f(x2 y2)dxdy 二 fC )匸士小、=。占 ° fC )8DD- ' R 2 : 二示(0 dj f(

31、 jwr .00607高数A、填空题(每小题4分，共32分)、 填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1. 函数f (x, y, z) = arcco 的定义域为.E+y2( x, y, z) | , x2 y2,x2y2 =05.曲面z=4-x；-y2上点P(1,1,2) 处的切平面方程为 .切平面的法向量 n =(-2x,-2y,-"bgN-2,-2,-1)切平面方程 2(x -1) 2(y -1) z - 20 或2x 2y z-6 = 0 .、单项选择题 (本题共5小题，每题4分，满分20 分)1.考虑二元函数f (x,y)在(X0,y°)点处的下面4条性质

32、:连续，两个偏导数连续，可微，两个偏导数存在若用"P= Q"表示可由性质P推出性质Q，则有A (A) =；(B )=二.；(C) 二.二.；(D).2. 坐标原点(0,0)是函数z = x2 一 y3 5xy的B (A)既是驻点也是极值点；(B)驻点但非极值点；(C)极值点但非驻点；(D)既非驻点也非极值点AC 一 B2 25 : 0所以(0,0)是驻点但非极值点三、计算题一(本题共两小题，满分 15分)2x/zP z1.已矢口 z = ln tan ,求、 1 ；yexcydx2 xsec .:zy 1 丄 x 1cot-x tan yy yy2 2；z : z z ,

33、X 11 x 12 x(cot )2 cot 3 csc .y . x；:x .y:y y y y y y y2.已知丿x +y+ z =0X +y2 +z2 =1，求dz和寮解：注意y =y(x),z =z(x).在方程组-l-x - y - z 1=0x2y2 z2 =1中对x求导，得1 dy dz-。dy=x-zdx dx，解得 dx zy2x 2y 2z生=0空二4Ldx dxdx z - y0708高数A一、填空题(本题共 5小题，每小题4分，满分20 分)1.极限lim圧口(x,y)T0,0) sinxyxylim RT(x,y)go) sin(xy) sin(xy)(、xy 11

34、)22.曲面ez - z xy =3上点P(2,1,0)处的切平面方程为 .设 F(x,y,z) =ez 了 xy -3,切平面的法向量 n = (y,x,ez 1)|(2,1,0)= (1,2,0)切平面方程（X 一2厂2（y 一 1） =0或x 2y 一4 = 0.二、单项选择题（本题共5小题，每题4分，满分20分）321.设 z = x -3x -y ,则它在点（1,0）处（B ）.（A）取得极大值；（B ）无极值；（C）取得极小值；（D）无法判定是否有极值解：zx b,0） = 3x - 3l（1,0） = 0，zy 1（1,0） = 2y kl,0） = 0 .zxx |(1,0)=

35、 6x |(1,0)= 6, C二一Zyy |(1,0)= -2 B = Zxy |(1,0) = 0,AC -B2 = -12 ：0,所以函数在点（1,0）处无极值.三、计算题（本题共两小题，满分14分）Q2Z1. （7分）设函数z = f （xy, x y）,其中f具有二阶连续偏导数，求一飞 叔1(7 分)z解：yf1f2x；：2z.:x2=y2 f11 - 2yf12f222 2 22.(7分)设函数x y z= 2z.：2z.x .:y(x,y)(1,0)xy(x,y)(1,0)xy解：令 F (x, y, z) = x2y2z2 - 2z,Fx = 2x, Fy = 2y, Fz =

36、 2z - 22&_ Fxx&_ Fy y4J J叶:x Fz 1 -z:yFz 1 - z将z看作x, y的函数，继续求导，得-2:z xy:x .y （1z）30809A一、填空题（每小题 2分，满分10 分）1.极限xy 1-1(x,y)(1,0)xylim -(x,y)(1,0)xyxy,xy 11y2 在点(1,1,2)2y -z,22.曲面z = X设 F (x, y, z)二 x2切平面方程 2(x_1) 2(y _1)(z 2) =0 或 2x 2y z 2=0.处的切平面方程为 .切平面的法向量 n = (2x,2y,1)|(1,1,2)=(2,2, 1)二、

37、选择题(每题 2分，满分10分)1.函数f (x, y)在(xo, yo)可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的(A ).(A)充分条件；|2.设 z = xy 在点(0,0)(A)取得极大值；(B )必要条件；(C)| 处(C ).(B )取得极小值；充要条件；(D)非充分亦非必要条件(C)无极值；(D)无法判定是否有极值、求偏导数或全微分(每小题8分，满分24分)1设函数Z-2442 2z=x y -4x y ，求 dz 和 2 . exz 3232解:4x -8xy , 一 = 4y -8x y,x:y2'z ,323232dz =(4x -8xy )dx (4y -8x y)dy

38、,-z3222=(4x-8xy2) =12x-8y2.x:x、工2X2.设 z=u Inv, u 二，v=3x2y,，y-：zx.:zyz 2x解：7ln3-2y 3x-2yy23x2-Z一筠 In 3x 2yy2x23x - 2y y23 设 z = z( x, y)由 z = f (xyz, x y z)确定,f有一阶连续偏导，求:z :zf 5 f-x :y解：设 F(x, y,z) =z - f (xyz,x y z).则Fx yz f2),Fy一(仏 xz f2), Fz =1-(£ xy f2)色=虽=yzf,+ / Fz-(xyf1f2),：z _Fy _xzfif2：

39、yFz1-(xyf1匸)六、（8 分）求函数 f （x, y） = （6x - x2）（4y 一 y2）的极值2解：解方程组fx(x, y)=(6-2x)(4y-y )=02fy(x,y) =(6x-x )(4-2y)=0求得以下五组解x=3 1x=0 1x = 0 1x = 6 1x = 6l +,y=2 y=0 |y = 4 Jy=0 y=4于是驻点(0,0)；(0,4);(6,0);(6,4);(3,2),又2 2fxx(x,y)=2y -8y; fxy(x,y) =4(x-3)(y-2); fyy(x, y) =2x -12x,所以1.在(0,0)处 A二 &(0,0) =0,

40、B 二 fxy(0,0) =24,c 二 fyy(0,0) =0,AC - B2 二242 ： 0,故 f (0,0)不是极值；2. 在(0, 4)处 A 二匚(0,4) =0,B 二 fxy(0,4) =24,C 二 fyy(0,4) =0AC - B2 - -242 ： 0,故 f (0,0)不是极值；3. 在(6,0)处 A 二匚(6,0) =0,B = fxy(6,0)24,C 二 fyy(6,0) =02 2AC - B=24 : 0,故 f (6,0)不是极值；4. 在(6, 4)处 A 二匚(6,4) =0,B 二 f/6,4) =24,C 二 fyy(6,4) =0AC - B

41、2 =242 ： 0,故 f (6,0)不是极值；5. 在(3, 2)处 A = fxx(3,2) = -8 : 0,B = fxy(3,2) = 0,C = fyy (3,2) = -18AC -B2 =144 0,故函数在（3,2）点取得极大值，极大值为36.综上所述，函数的极大值为36,无极小值.0910高数A一、填空题（每小题3分，共18分）1.设 -xyz = 0，则三二ex:z yzfz.x e - xy3. 函数 z = x2y2的全微分为 .2xdx 2ydy二、选择题（每小题3分，共18分）4. 曲面y z = ,3在任一点处的切平面与坐标轴的截距之和为B (A)；(B) 3

42、；(C) 9；(D) 1.三、计算题（每小题8分，共32分）1.设z=sinx，求空y£x£y解:,:z-议1xcos ； yy.2:Z1 xx . x2 cos 3 siny2yy3 y四、应用题（每小题8分，共16分）2 2 21.在已给的椭球面 笃与务=1内的一切内接长方体（各边分别平行于坐 a b c标轴）中，求其体积最大者解：此题是条件极值，约束条件是内接于椭球面由椭球的对称性，不妨设（x, y, z）是该球面上位于第I卦限的任一点，则约束条件为222xvz222 =1，本题不易变为一元函数,abc采用拉格朗日数乘法解之。设内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(

43、x, y, z 0)，其体积为:V =8xyz .2 2 2构造拉格朗日函数 L( x, y, z, )二 8xyz - 1y7二-1)a2b2c2V=8xyz = 8abc3丁3a b c求得(x,y,z，3, .3, .3 '六、（8分）设函数f（u）在（0,+：）内具有二阶偏导数，且. .2 -2z 二 f （、. x2y2）满足等式=0.excy 验证f ”（u厂=0 ; 若f （1H0, f （1） =1,求函数f（u）的表达式.u解:设 u = . x2 y2，则_ X:x uf (u)；-2d-zX212 =(-)2f (u) f (u):Xuu2Xf (u)2u同理,；

44、：2z.7 22y 21y()2 f(u)f (u)3uuu3f (u)由F.X4.y-0-f (u)1 f (u) =0.u设 f (u) = p,f (ur 乎，du则原方程化为:dudpPduu积分得：p=C，即uf (u)由f=1,得C=1.f (u) = In WIG代入 f (1) =0 得: Ci=o.函数f (u)的表达式为：f(u)=ln | u |.、填空题(每小题3分，共15 分)sin(xy) x1011高数A1、 lim(x,y)(0,2)2二、选择题(每小题3分，共15分)1、设可导函数 f (x, y)满足 fx(x0,y°) = fy(X0,y

45、6;) =0则A、(X0 ,y°)是 f (x, y)的极值点B、(x°, y°)是 f (x, y)的驻点C>(x0,y0)是f(x,y)的连续点 D、f (x, y)在(x0,y0)处可微分三、求下列函数的导数(每小题6分，共18分)ycz cz1、已知 z = arctan ，求 ，一XcX cy解：:x-：z 一 x21 (-)2x-yx1 (-)2xxx2y22、已知ez -xyz=O，求江江Fy - xz, Fz =ez - xy ,& £y；zFxyz；zFyxz:xz,Fze -xy:yFz_ ze -xy3、已知22、 ,

46、；z；zz = f (xy, x -y )，求解：设 F (x, y, z) = ez - xyz.则 Fx - - yz,/ x:ypzrz解：yf； 2xf2, z =xf2yf2：；:x；:y1112高数A一、填空题(每小题2分，共10分)(1)极限 lim Sin(xy)二.(x,y)T0,0)y0二、选择题(每小题2分，共10分)(1) 函数f (x,y)在点(X0,y°)处的全微分存在的充分条件是(C )(A) f (x, y)在点(x。, y。)处的两个一阶偏导数都存在.(B) f(x,y)在点(x°,y°)处连续.(C) f(x,y)在点(x

47、76;,y°)处的两个一阶偏导数都连续.(D) f(x,y)在点(x°,y°)处连续并且两个一阶偏导数都存在.(2) 设 z = x2，y3,则它在点(0,0)处(B)(A)取得极大值.(B)无极值.(C)取得极小值.(D)无法判定是否有极值Tzx = 2x = 0_|_x = 0解：解方程组2,求得解.于是驻点(0,0),又Zy =3y =0y = 0fxx(x, y)二 2; fxy(x, y)二 0; fyy(x, y)二 6y,所以在(0,0)处 A = fxx(0,0) =2,B 二 fxy(0,0) =0,C 二 fyy(0,0) =0,AC - B?二242 =0, (0,0)可能是极值点，也可能不是极值点但是在(0,0)附近函数有大于0的点也有小于0的点所以在(0,0)处无极值三、计算题(每小题10分，共40分)-2_ 2设z=x2siny，求立，三，