线性代数复习

1、经济数学线性代数期末复习试题一、 （12分）单项选择题1. 如果n阶矩阵A满足条件 其中是元素的代数余子式，,那么矩阵A的伴随矩阵等于 . . . .2. 设A是mn矩阵,是非齐次线性方程组对应的齐次方程组，那么下列叙述正确的是 （A） 如果只有零解，那么有唯一解. （B） 如果有非零解，那么有无穷多个解.（C） 如果有无穷多个解, 那么只有零解.（D） 如果有无穷多个解, 那么有非零解.3.实二次型的秩与符号差的和必为 .(A)零. (B)负数. (C)偶数. (D)奇数.4. 若3阶矩阵A的秩r (A) =1, 则A的伴随矩阵A*必为 (A)零矩阵. (B) 秩为1的矩阵. (C) 秩为2

2、的矩阵. (D) 秩为3的矩阵. 5.若n阶矩阵A互换第一, 二行后得矩阵B, 则必有 .(A) A+B = O. (B) AB = O. (C) . (D) .6. 若向量组线性无关，则下列向量组线性无关的是 .(A) .(B) .(C) . (D) .二、 （12分）填空题1.设a, b, g, h 都是3×1矩阵, 分块矩阵, , 若2, 3, 则= .2.若, 则x的一次项的系数是 .3. 当a满足条件 时, 线性方程组无解,当a满足条件 时, 上述线性方程组有解, 且有 解(有无穷多个解还是有唯一解).4.设矩阵 则= .5.二次型的矩阵是 .6.如果A是3阶可逆矩阵矩阵，

3、互换A的第一，第二行得矩阵B ,且，则= .三、 （10分）计算n ( >2 ) 阶行列式.四、 （10分） x满足什么条件时, n阶矩阵是不可逆的.五、 （12分）求下列非齐次线性方程组的通解六、 （12分）求向量组的秩和一个极大无关组.七、 （12分） 设，且矩阵A, X满足AX = A + 2X, 求矩阵X . 八、 （10分）设A为m ´ n矩阵，B为n ´ s矩阵，证明：如果AB = O, 那么秩(A) + 秩(B) £ n .九、 （10分） 如果A是n阶正定矩阵，B是n阶实反对称矩阵，证明 正定矩阵.答案：1（C）2（D）3（C）4（A）5（C

4、）6（B）二、1（20）2（2）3（无穷多个）4（）5（）6（）三、解：各行减第3行得四、解：当时，是不可逆的。由于所以，当或时，是不可逆的。五、解：用初等行变换化增广矩阵得同解方程组 所以方程组的通解为其中是任意常数。六、解：由可知的秩为3，且为其一个极大无关组。七、解：由，得因为，所以可逆，因此由知，所以八、证：记为的列向量组，即。由于可知，也就是都是齐次方程组的解。若，则的基础解系应有个解向量，不妨令为，因为可由线性表出，所以即。9.证：因为为对称矩阵，为反对称矩阵，所以，即为实对称矩阵。任取维向量，由于是正定的，所以，因此，即是正定的。线性代数试题一、 选择题 (每题2分，共10分)1

5、、阶方阵与对角阵相似的充要条件是 ( ).(A) 是实对称阵; (B) 有个互异特征值;(C) 有个线性无关的特征向量; (D) 的特征向量两两正交.2、二次型是 ( ).(A) 正定的; (B) 负定的; (C) 半正定的; (D) 不定的.3、阶方阵满足，是阶单位阵，则 ( ).(A) ，但; (B) ，但; (C) ，且; (D) ，且.4、n阶矩阵A的秩的充分必要条件是A中（ ）.(A) 有一个r 阶子式不等于零; (B) 所有的r阶子式都不等于零;(C) 所有的阶子式都不等于零;(D) 有一个r 阶子式不等于零, 且所有阶子式都等于零.5、如果是n阶矩阵A的特征值, 那么必有（ ）.

6、(A) ; (B) ; (C) ; (D) . 二、填空题 (每题2分，共10分)1、与正交，则 .2、是交换n阶单位阵第i行与第j行得到的初等矩阵，则 .3、四阶行列式中含有因子的项为 .4、设是阶方阵,为实数，则行列式 .5、向量组(A): 与向量组(B): 等价，且向量组(A)线性无关，则r与s的大小关系是 . 三、计算与证明1、(12分)计算阶行列式(). 2、(12分)解方程组.3、(12分)设有线性方程组，问取何值时，此方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解.4、(12分)设，求B.5、(12分)已知，求生成的空间的一组基和维数.6、(12分) 求一个正交变换，化二

7、次型为标准形，并确定其正惯性指数. 7、证明 (每题4分，共8分)(1) 设与可乘，且，证明：的列数;(2) 为正交阵，证明或; 且当时，当时，.一、1.（ C ）.2.（ A ）.3.（ D ）.4.（ D ）.5.（ A ）.二、1. （ ）.2. （ ）.3. （ ）.4. （ ）.5. .三、解四、解五、解（1）唯一解。（2）无解。（3）无穷解。六、解七、解是一组基，。八、解 正交化，单位化得正惯性指数3九、证明1. 由为正定阵，有由为正实数，则有.即为正定阵.2. 由为正交阵，则有，即 为正交阵。2005/2006学年第一学期线性代数试卷（A）（答案）一、 选择题：（每小题4分，共2

8、0分）1、设A为n阶方阵，是A的伴随矩阵。则：等于 C 。A： ； B： ； C： ； D： 。2、设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r，则有非零解的充分必要条件是 B 。A： ； B： ； C： ；D： 。3、已知为三阶非零矩阵，且满足，则： C 。A：t = 6时，P的秩必为1； B：t = 6时，P的秩必为2；C：t 6时，P的秩必为1； D：t 6时，P的秩必为2 。4、设有任意两个n维向量组和，若存在两组不全为0的数和，使，则： C 。A：和都线性相关 ；B：和都线性无关 ；C：线性相关 ；D：线性无关 。5、设A 和 B 均为n阶方阵，则必有 D 。A： ； B： ；C： ；

9、D： 。二、填空题：（每小题4分，共20分）1、4阶行列式中含有因子 的项是 和 。2、n阶行列式 = 。3、要使 都是线性方程组的解，则只要系数矩阵 为 （-2，1，1） 。4、已知矩阵是正定的，则 > 4 ， >1/2 。5、设3阶方阵，其伴随矩阵为，则： A/10 。 三、（12分）求非齐次线性方程组 的一个特解。解： 2分 4分 既： ， 2分令： ，得一特解 。 4分四、（12分）设矩阵 和 满足 ，其中，求矩阵 。解：由： ，有： ， 2分 考察： 1分 ， 4分得： 。 2分则： 3分七、（12分）求一个正交变换，化二次型 为标准型。解：设： ，则： ， 2分首先求

10、A 的特征根和特征向量令： ，得： ， 。 2分时：= 即： ， 1分取，得基础解系 ， 。单位化：， 2分时： 即： ， 1分取： ，得基础解系 ，单位化： 2分则： 。在正交变换 下，标准型为 。 2分工科线性代数期末模拟试卷（二）一、填空：（每题3分，共5题）1. 设为阶方阵，且，, 则 .2. 设，则 .3. 向量，与线性相关，则 4 .4. 设是阶可逆阵,已知的特征值为是中元素的代数余子式,则 1/6 .5. 已知二次型的矩阵为，则二次型 .二、选择：（每题3分，共5题）1设均为阶可逆矩阵，则 ( C )A 可逆；B 可逆（为常数）；C 可逆； D .2设n阶矩阵A非奇异（n），A的

11、伴随矩阵是，则 ( C ) 成立.A ； B ；C ； D .3阶矩阵中有一个阶子式，且有一个含的阶子式等于零，则有 ( B ).A ；B ； C ；D .4对n元方程组( D ).A 若AX=0只有零解，则AX=b有唯一解；B AX=0有非零解的充要条件是；C AX=b有唯一解的充要条件是r(A)=n；D 若AX=b有两个不同的解则AX=0有无穷多解.5下列矩阵为正交阵的是 ( B D ).A ；B ；C ；D .三、计算：（每题9分，共6题）1求向量的长，内积及夹角.解: 2.解: 3.已知,求解: 4讨论向量组的线性相关性.当时，线性相关当时，线性无关5讨论为何值时，方程组有唯一解、无穷多解或无解.解:当时,即时,方程组有唯一解当时,此时方程组有无穷多解.当时,此时方程组有无解.6设,求A的特征值与特征向量.解: 得，A的特征值为， 当时，方程组为 （为自由未知量） ， 所以对应于特征值的特征向量为（） 当时，方程组为 （为自由未知量） 所以基础解