线性代数讲稿

1、第一章 行列式本章说明与要求:行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分支上都有着广泛的应用在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1) 行列式的定义；(2) 行列式的基本性质及计算方法；(3) 利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三

2、角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件。本章的重点：行列式性质；行列式的计算。本章的难点：行列式性质；高阶行列式的计算；克莱姆法则。1.1 二阶与三阶行列式行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的因此我们首先讨论解方程组的问题设有二元线性方程组 (1)用加减消元法容易求出未知量x1，x2的值，当a11a22 a12a210 时，有(2)这就是一般二元线性方程组的公式解但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列

3、式的起源我们称4个数组成的符号为二阶行列式它含有两行，两列横的叫行，纵的叫列行列式中的数叫做行列式的元素从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号根据定义，容易得知(2) 中的两个分子可分别写成，如果记 ，则当D0时，方程组(1) 的解(2)可以表示成， ， (3)象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆首先(3) 中分母的行列式是从(1) 式中的系数按其原有的相对位置而排成的分子中的行列式，x1的分子是把系数行列式中的第1列换成(1)的常

4、数项得到的，而x2的分子则是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的例1 用二阶行列式解线性方程组 解：这时 ， ，因此，方程组的解是 ，对于三元一次线性方程组(4)作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念我们称符号(5)为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和这六项的和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号例2 令 ， 当 D0时，(4)的解可简单地表示成， (6)它的结构与前面二元一次方程组的解类似例3 解线性方程组 解：， ， 所以，例4 已知，问a，b应满足什么条件？(其中a，b均为实数)解：，若要a2+b2=0，则a与b须同时

5、等于零因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识1.2 排列在n阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介绍排列的一些基本知识定义1由数码1，2，n组成一个有序数组称为一个n级排列例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3!=6个数字由小到大的n级排列1234n 称为自然序排列定义2在一个n级排列i1i2in中，如果有较大的数 it 排在较小的数 is 的前面(isi

6、t)， 则称it与is构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作N (i1i2in)例如， 在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序数，所以，排列3412的逆序数为N(3412)=4同样可计算排列52341的逆序数为N(52341)=7容易看出， 自然序排列的逆序数为0定义3 如果排列i1i2in 的逆序数N(i1i2in )是奇数，则称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列例如，排列3412是偶排列排列52341是奇排列 自然排列123n是偶排列定义4 在一个n级排列i1isitin中， 如果其中某两个数is与it对调位置，其余各数位置

7、不变，就得到另一个新的n级排列i1itisin，这样的变换称为一个对换，记作(is，it)如在排列3412中，将4与2对换， 得到新的排列3214 并且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214 反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对换后，变成了偶排列3412一般地，有以下定理：定理1 任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变定理2 在所有的n级排列中(n2)，奇排列与偶排列的个数相等，各为个1.3 n阶行列式本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手引出n阶行列式的定义已知二阶与三阶行列式分别为其中元素aij的第一个下标i表示这个元素位于第i行，称为行标，第二个下标j表示

8、此元素位于第j列，称为列标我们可以从中发现以下规律：(1) 二阶行列式是2！项的代数和，三阶行列式是3！项的代数和；(2) 二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则取负号作为二、三阶行列式的推广我们给出n阶行列式的定义定义1 由排成n行n列的n2个元素aij (i，j=1，2，n)组成的符号 称为n阶行列式它是n!项的代数和，每一项是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，各项的符号是：每一项中

9、各元素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则取正号；为奇排列，则取负号于是得 (1)其中表示对所有的n级排列j1j2jn求和(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开式称为行列式的一般项当n=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面1.1中用对角线法则定义的是一致的当n=1时，一阶行列为|a11|= a11如当n=4时，4阶行列式，表示4！=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素的乘积恰为4！项根据n阶行列式的定义，4阶行列式为例如a14a23a31a42行标排列为1234，元素取自不同的行；列标排列为4312，元素取自不同的列，因为N(4312)=5，所以该项取负号

10、，即a14a23a31a42是上述行列式中的一项为了熟悉n阶行列式的定义，我们来看下面几个问题例1 在5阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号？解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排列为23514因 N(23514)=4故这一项应取正号例2 写出4阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项解：包含因子a11a23项的一般形式为，按定义，j3可取2或4，j4可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42 ，但因 N(1324)=1为奇数，N(1342)=2为偶数所以此项只能是 a11a23a32a44例3 计

11、算行列式 解 这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24项但只有以下四项adeh，adfg，bceh，bcfg不为零与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234，1243，2134和2143，而N(1234)=0，N(1243)=1，N(2134)=1和N(2143)=2，所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项应取负号，即= adehadfgbceh+bcfg例4 计算上三角形行列式 其中aii (i=1， 2， n)解：由n阶行列式的定义，应有n!项，其一般项为但由于D中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零的项即可在D中，第n行元素除ann外，其余均为所以jn=n；在第n

12、1行中，除an1n1和an1n外，其余元素都是零，因而jn1只取n1、n这两个可能，又由于ann、an1n位于同一列，而jn=n所以只有jn1 = n1这样逐步往上推，不难看出，在展开式中只有a11a22ann一项不等于零而这项的列标所组成的排列的逆序数是N(12n)=0故取正号因此，由行列式的定义有=a11a22ann即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积同理可求得下三角形行列式 =a11a22ann特别地，对角形行列式 =a11a22ann上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线上元素的乘积例5 计算行列式 解 这个行列式除了a1na2n1an1这一项外，其余项均为零

13、，现在来看这一项的符号，列标的n级排列为n(n1)21，N(n(n1)21)= (n1)+ (n2)+2+1=，所以=同理可计算出=由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同的列的n个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0在n阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把n个元素的行标排成自然序排列，即事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n个元素的次序是可以任意写的，一般地，n阶行列式的项可以写成 其中i1i2in，j1 j2jn是两个n阶排列，它的符号由下面的定理来决定1.4 行列式的性质当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n阶行列式的值是困难

14、的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复杂的行列式转化为较简单的行列式(如上三角形行列式等)来计算将行列式D的行列互换后得到的行列式称为行列式D的转置行列式，记作DT，即若， 则反之，行列式D也是行列式DT的转置行列式，即行列式D与行列式DT互为转置行列式性质 行列式D与它的转置行列式DT的值相等性质 交换行列式的两行(列)，行列式变号例 计算行列式解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得将第一、五列互换，得推论 若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值等于零性质 行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面即此性质也可表述为：用数k乘行列式的某一行(列)的所有元

15、素，等于用数k乘此行列式推论：如果行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值等于零性质 如果行列式的某一行 (列)的各元素都是两个数的和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即性质5 把行列式的某一行 (列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变即 i行k加 到第s行 作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子例2 计算行列式 解：这个行列式的特点是各行个数的和都是，我们把第、各列同时加到第列，把公因子提出，然后把第行(1)加到第、行上就成为三角形行列式具体计算如下：例3 计算行列式例4 试证明：例5 计算n+1阶行列式 例6 解方程 例7 试证明奇数阶反对称

16、行列式 证：D的转置行列式为，从DT中每一行提出一个公因子(1)，于是有，但由性质1知道DT=D D=(1)nD又由n为奇数，所以有D= D，即 2D=0， 因此 D=01.5 行列式按一行(列)展开本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法降阶法为此，先介绍代数余子式的概念定义 在n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列后，余下的元素按原来的位置构成一个n1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作ij元素aij的余子式ij前面添上符号(1)i+j称为元素aij的代数余子式，记作Aij即Aij(1)i+jMij例如：在四阶行列式 中a2

17、3的余子式是M23=而 A23=(1)2+3M23= 是a23的代数余子式定理 n阶行列式D等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin (i=1，2，n)或 D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj (j=1，2，n)定理 n阶行列式D中某一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即：ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)或 a1jA1t+a2jA2t+anjAnt =0 (jt)定理1表明，n阶行列式可以用n1阶行列式来表示，因此该定理又称行列式的降阶展开定理利用它并结合行列式的性

18、质，可以大大简化行列式的计算计算行列式时，一般利用性质将某一行(列)化简为仅有一个非零元素，再按定理1展开，变为低一阶行列式，如此继续下去，直到将行列式化为三阶或二阶这在行列式的计算中是一种常用的方法例 计算行列式 例 计算n阶行列式 例 计算，其中 xy例 试证 (1)式中左端叫范德蒙行列式结论说明，n阶范德蒙行列式之值等于a1， a2， ， an，这n个数的所有可能的差aiaj(1jn时，任意m个n维向量都线性相关即 当向量组中所含向量个数大于向量的维数时，此向量组线性相关例7 证明如果向量组a1，a2，a3，线性无关，则向量2a1+a2，a2+5a3，4a3+3a1也线性无关证明：设有数

19、组k1，k2，k3，使k1(2a1+a2) +k2(a2+5a3)+k3(4a3+3a1)=0 整理得 (2k1+3k3)a1+(k1+k2)a2+(5k2+4k3)a3=0因为 a1，a2，a3线性无关，所以仅有 经计算，方程组的系数行列式， 于是方程组只有零解k1= k2= k3=0， 所以向量组2a1+a2 ， a1+5a3 ， 4a3+3a1也线性无关定理3 向量组a1，a2，am(m2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表出定理4 若向量组a1，a2，am线性无关，而向量组，a1，a2，am线性相关，则可由a1，a2，am线性表出，且表达式唯一证：因为，

20、a1，a2，am线性相关，所以存在一组不全为零的数k，k1，k2，km使得 k+k1a1+k2a2+kmam=0成立这里必有k0，否则，若k=0， 上式成为k1a1+k2a2+kmam=0且k1，k2，km不全为零，从而得出a1，a2，am线性相关，这与a1，a2，am线性无关矛盾因此，k0，故，即可由a1，a2，am线性表出下证表示法唯一如果 =h1a1+h2a2+hmam ，=l1a1+ l 2a2+ l mam 则有 (h1 l1)a1+ (h2 l2)a2+ (hm lm)am=0成立由a1，a2，am线性无关可知 h1 l1=0，h2 l2=0，hm lm =0即 h1=l1，h2=

21、l2，hm=lm 所以表示法是唯一的定理5 若向量组中有一部分向量组(称为部分组)线性相关，则整个向量组线性相关推论 若向量组线性无关，则它的任意一个部分组线性无关2.4 向量组的秩 矩阵的秩在二维、三维几何空间中，坐标系是不唯一的，但任一坐标系中所含向量的个数是一个不变的量，向量组的秩正是这一几何事实的一般化十四. 向量组的极大无关组我们知道，一个线性相关向量组的部分组不一定是线性相关的，例如向量组 a1=(2，1，3，1)，a2=(4，2，5，4)， a3=(2，1，4，1)，由于 3a1 a2a3=0，所以向量组是线性相关的，但是其部分组a1是线性无关的，a1， a2也是线性无关的可以看出，上例中a1，a2，a3的线性无关的部分组中最多含有两个向量，如果再添加一个向量进去，就变成线性相关了为了确切地说明这一问题我们引入极大线性无关组的概念定义1 设有向量组a1，a2，am，如果它的一个部分组ai1，ai2，air，满足：(1)ai1，ai2，air