系统频率特性

1、第三章 系统频率特性系统的时域分析是分析系统的直接方法，比较直观，但离开计算机仿真，分析高阶系统是困难的。系统频域分析是工程广为应用的系统分析和综合的间接方法。频率分析不仅可以了解系统频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更可靠的方法。本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法，接着介绍Nyquist图和Bode图的绘制方法、系统的稳定裕度及系统时域性能指标计算。3.1 频率响应和频率特性 一般概念频率响应是指系统对正弦输入的稳态响应。考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号 (3.1-1)根据微分方程解的

2、理论，系统的稳态输出仍然为与输入信号同频率的正弦信号，只是其幅值和相位发生了变化。输出幅值正比于输入的幅值，而且是输入正弦频率的函数。输出的相位与无关，只与输入信号产生一个相位差，且也是输入信号频率的函数。即线性系统的稳态输出为 (3.1-2)由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是的函数，称为系统的幅频特性，记为。输出信号与输入信号相位差也是的函数，称为系统的相频特性，记为。幅频特性： (3.1-3)相频特性： (3.1-4)频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性，可表示为： (3.1-5)频率特性是传递函数的一种特殊形式。任何线性连续时间系统的频率特性都可由系统

3、传递函数中的s以代替而求得。有三种表示方法： (3.1-6) (3.1-7) (3.1-8)式中，实频特性：虚频特性：一般在分析系统的结构及参数变化对系统性能的影响时，频域分析比时域分析要容易些。根据频率特性，可以较方便地判别系统的稳定性和稳定裕度，并可通过频率特性选择系统参数或对系统进行校正，使系统性能达到预期的性能指标。同时，由频率特性易于选择系统工作频率范围，或根据工作频率要求，设计具有合适的频率特性的系统。频率特性物理意义明确并且可以用实验的方法测定出来。控制系统的频率特性与其动态特性和静态性能之间存在着定性和定量的关系，因此，可以利用图表、曲线和经验公式作为辅助工具来分析和设计系统。

4、 频率响应的计算一、连续时间系统频率响应的计算 (3.1-9)则系统的频率响应可以由： (3.1-10)直接求出。 又设已知系统的状态方程模型为： （3.1-11）则系统的频率响应可以由下式直接求出： (3.1-12)二、离散时间系统频率响应的计算若离散系统的状态空间模型为(F,G,C,D)，则此系统的频率响应为： (3.1-13)如离散系统以传递函数模型表示，将代入，则系统的频率响应为： (3.2-14)式中，T为采样周期。 应注意，离散时间系统的采样频率，而系统的频率范围应在之间。三、频率响应计算函数MATLAB控制工具箱中，函数FREQRESP用于计算LTI系统的频率响应，它既适用于连续

5、时间系统，也适用于离散时间系统；既适用于SISO系统，也适用于MIMO系统。函数调用格式为：其中，sys为系统模型；为指定的实频率向量，单位为rad/s; 返回值H是系统的频率响应。它是一个三维数组。例如，SISO系统，H(1,1,5)表示频率点所对应响应值；对于MIMO系统，H(1,2,5)表示第1个输出和第2个输入之间在频率点的响应值。频率响应H为复变量。为了说明函数FREQRESP所采用的计算方法，下面程序用两种方法计算一个离散的频率响应：1.采用变换；2.直接用函数FREQRESP。例3-1已知离散系统传递函数为：，采样周期，试计算它的频率响应并绘制其幅频图和相频图,amp301.m。

6、图3-1 系统的频率响应3.2 频率特性图示法在经典控制论中，常用图示法来描述系统的频率特性，它们是：（1）幅相频特性Nyquist图，由表示极坐标上的的幅值和相角关系。（2）对数幅相特性Bode图，它由两个图组成：对数幅频特性图和对数相频特性图。纵坐标分别是：幅值，以表示；相角，以度表示。横坐标为频率，采用对数分度。（3）对数幅相特性Nichols图，它是以为参变量来表示对数幅值和相角关系图。MATLAB控制工具箱中，有专用的函数可方便地实现这三个图形的绘制。 Nyfquist图的绘制频率特性是频率的复变函数，可以在复平面上用一个矢量来表示。该矢量的幅值，相角。当频率从变化时，矢端的轨迹即为

7、频率特性。因此，把频率特性在复平面上用极坐标表示的几何图形，称为频率特性的极坐标图，或称为Nyquist图。Nyquist图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的影响。MATLAB控制工具箱中有绘制Nyquist图的函数NYQUIST，调用格式为：其中，为系统模型；频率向量；为频率响应实部；频率响应虚部。MATLAB中，频率范围可由两个函数给定：产生频率在和之间个对数分布频率点；产生频率在和之间个线性分布的频率点；N可以缺省。函数NYQUIST用于计算LTI系统的Nyquist频率响应。调用时，若不包含左边输出变量，函数NYQUIST绘制系统的Nyquist图；调用时，若包含左边输出变量，则

8、不绘图，只输出变量的向量，这常用于分析系统频率特性。同时，MATLAB控制工具箱中还有绘制Nichols图的函数NICHOLS，其调用格式为：函数nichols(sys)用来计算LTI系统的频率响应并绘制Nichols图，分析系统的开环和闭环特性。例3-2绘制系统的Nyquist图和Nichols图，amp302.m。图3-2 Nyquist图 由图3.2可见，该系统的开环Nyquist曲线不包围点，故闭环是稳定的。 Bode图的绘制Bode图是由两幅图组成，分别称为对数幅频特性和对数相频特性。它在频率响应法中应用最为广泛。它的横坐标是频率，对数幅频特性的纵坐标是幅值，单位dB；对数相频特性的

9、纵坐标为，单位deg。Bode图便于对系统中不同环节的作用以及整个系统进行分析。MATLAB控制系统工具箱中，用于Bode图绘制的函数是BODE。函数BODE用于计算线性时不变系统（LTI）的频率响应、幅值和相位，绘制Bode图，调用方式为：其中，为系统模型；为幅值；为相位；频率范围。函数BODE可用于任意LTI系统，即单输入单输出(SISO)系统，多输入多输出(MIMO)系统 ，连续时间系统，离散时间系统。用函数绘制系统的Bode图时，频率范围将根据系统零极点自动确定。是根据给定的频率范围绘制系统的频率特性曲线。是根据给定的频率范围绘制多个系统的频率特性曲线。当函数调用带有左边输出变量时，函

10、数将返回频率响应的幅值mag，相位phase和频率值。例3-3例3-1系统，试绘制其Bode图，amp303.m。图3-3 Bode图比较图3-3和图3-1可知，在MATLAB中，可用不同方法求得系统的频率响应特性，函数BODE完成例3-1程序的所有计算。3.3 稳定裕度由Nyquist稳定判据可知，若系统开环的Nyquist轨迹不包围点，闭环系统是稳定的。当系统开环Nyquist轨迹离点越远，闭环系统的稳定程度越高；开环Nyquist轨迹离点越近，则其闭环系统的稳定程度越低。这称为系统的相对稳定性。它通过系统开环传递函数对点的靠近程度来表征，定量表示为稳定裕度：幅值裕度kg和相位裕度。一、幅

11、值裕度kg的求取在Nyquist图上，当为相位交界频率时，开环幅频特性的倒数，称为系统的幅值kg，即 (3.3-1)显然，在Nyquist图上，Nyquist轨迹与负实轴的交点至原点的距离即为。对于稳定系统，有；对于不稳定系统，有。在Bode图上，幅值裕度改以分贝(dB)表示： (3.3-2)对于稳定系统，kg(dB)必在0dB线以下，此时称为正幅值裕度；对于不稳定系统，必在0dB线以上，此时称为负幅值裕度。二、相位裕度的求取当为增益交界频率时，相频特性距线的相位差值为相位裕度。 (3.3-3)式中，一般为负值。在Nyquist图上，为Nyquist轨迹和单位圆的交点对负实轴的相位差值。对于稳

12、定系统，必在Nyquist图负实轴以下，为正相位裕度；对于不稳定系统，必在Nyquist负实轴以上，为负相位裕度。在Bode图上，对稳定系统，必在Bode图相线以上，此时称为正相位裕度；对于不稳定系统，必在Bode图相线以下，此时称为负相位裕度。综上所述，若开环系统是稳定的，具有正幅值裕度及正相位裕度时，其闭环系统是稳定的；具有负幅值裕度或负相位裕度时，其闭环系统是不稳定的。为确定系统的相对稳定性，必须同时考虑幅值裕度kg和相位袍度两个指标。从控制工程实践来讲，为使系统具有满意的稳定裕量，一般使： (3.3-4)在MATLAB控制工具箱中，函数MARGIN用来计算相对稳定性的幅值裕度（或称增益

13、裕度）和相位裕度及对应的交界频率（或称穿越频率），调用格式为：用于绘制Bode图并在图中标出幅值裕度和相位裕度。，用于计算单输入单输出系统的增益裕度和相应的相位交界频率，相位裕度和相应的幅值交界频率。根据定义，相位交界频率是指Bode图的相频曲线穿越时的频率；而幅值交界频率是指Bode图的幅频曲线穿越0分贝时的频率。则根据给定的频率响应数据幅值向量mag、相频向量phase和对应的频率向量计算系统的增益裕度G，相位裕度和相应的交界频率和。例3-4已知单位反馈系统开环传递函数为：求系统的幅值裕度、相位裕度和相应的交界频率，amp304.m。图3-4 例3-4的Bode图绘制的标有相对稳定性的波德

14、图如图3-4所示。因该系统幅值裕度和相位裕度均为正值，故系统稳定，且相对稳定性较好。3.4 系统时域频域一般性能指标的计算分析系统特性时，通常要研究系统的时域特性和频域特性。可用MATLAB编程方法分析和计算系统时域和频域的常用的一些性能。 系统瞬态性能指标系统瞬态性能用系统的阶跃响应特征来定义。常用来描述系统瞬态性能指标的参数有：（1）上升时间响应曲线从稳态值的10%上升至稳态值的90%所要的时间。（2）峰值时间响应曲线第一次达最大峰值所需要的时间。（3）最大超调量（4）调整时间瞬态响应曲线进入并永远保持在允许误差范围内的最小时间。通常，取稳态值的2%或5%。系统上述瞬态性能指标计算可用MA

15、TLAB编程完成。例3-5已知系统，试计算系统瞬态性能指标（稳态允许误差，amp305.m。 系统稳定性和相对稳定性对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则该系统是稳定的。对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于单位圆内，则此系统可以被认为是稳定的。若连续系统零极点都在S平面左半平面，或若离散系统全部零极点均在单位圆内，则该系统为最小相位系统。由于用数学方法直接求解特征方程是不容易的，一些稳定判据（如Routh判据、Nyquist判据等）长期应用于系统稳定性分析中，这些方法日均是间接判别稳定性的方法。MATLAB语言可以用数值计算方法直接求特征方程的根，且已编制专门求解函数。MA

16、TLAB函数中有许多函数可用来分析系统零点和极点的分布情况。函数POLE可直接用于计算系统极点。函数EIG用来计算矩阵特征值的根，函数ROOTS用来求一个多项式的根。利用系统零极点形式模型函数ZPK直接给出系统的零点和极点，函数PZMAP用来绘制系统的零极点图和计算系统的零点和极点，判断系统的稳定性及是否是最小相位系统。例3-6已知单位反馈系统开环传递函数，试判断该闭环系统是否稳定，是否是最小相位系统，amp306.m。程序运行结果说明：闭环系统有两个正极点，不稳定，且也不是最小相位系统。关于系统相对稳定性分析，可用函数MARGIN。 闭环系统频率特性在分析系统动态特性中，闭环频率特性性能指标

17、计算是十分重要的，这些指标包括：幅频宽、相频宽、谐振频率、谐振峰值、幅值穿越频率、相位穿越频率等。关于和计算可用MATLAB函数MARGIN，其余的频率域性能指标可以用MATLAB编程方法计算。程序中用到MATLAB库函数INTERP1。函数INTERP1用于一维数据插值，调用格式为：其中，x,y为数据列向量；xi为x中某元素的值；函数返回值yi是用插值法求得y中和xi对应的值。mothed插值计算所采用的方法；linear为线性插值；spline为三次样条插值；cublic为三次插值。该函数要求是单调的。例3-7已知单位反馈系统，开环传递函为：，求该系统闭环的幅值穿越频率、谐振峰频率、谐振峰

18、值、幅频宽、相频宽，amp307.m。图3-5 闭环系统Bode图（例3-7）闭环系统Bode图如图3-5所示。 稳态性能计算一、稳态误差图3-6 误差计算系统方框图对于图3-6所示系统，由输入引起的系统误差 (3.4-1)由干扰引起的系统稳态误差： (3.4-2)系统总的稳态误差为：上面两个计算式可由MATLAB编程实现。例3-8已知单位反馈系统：其中，输入信号，扰动信号，试确定系统稳态误差。这是一个单位反馈系统，。输入信号，即。干扰信号，即。由（3.4-1）和（3.4-2）可知系统稳态误差为：用MATLAB计算系统总误差程序，amp308.m。二、稳态响应值例3-5的程序中，已介绍了一种系统阶跃响应稳态值的计算方法。MATLAB控制工具箱中，函数DCGAIN是用来计算LTI系统的稳态增益。可利用该函数直接求得系统阶跃响应的稳态值。函数调用格式为：其中，sys为LTI模型；K为稳态增益。例3-9用函数DCGAIN求例3-5系统单位阶跃响应的稳态值，amp309.m。计算结果与例3-5完全相同。3.5 系统分析图形用户界面MATLAB控制工具箱还提供了更为直观的系统时域和频域分析的图形用户界面-LTI Viewer。利用LTI Viewer为工具，可交互式可视化地获得系统多种时域特性和频域特性。以例3-5系统为例，介绍LTI Viewer的主要功能和使用方法和使