空间向量例题更新

1、空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1.向量的直角坐标运算设=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)，则=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；=a1b1+a2b2+a3b3，Ûa1=lb1，a2=lb2，a3=lb3(lÎR )或， Ûa1b1+a2b2+a3b3=02.夹角和距离公式夹角公式cos<，>=距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|=向量与坐标关系，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则M为中点时得中点坐标：x=，y=，z=即（，）由中

2、点公式，可得以A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)为顶点的三角形重心的公式：x=，y=，z=即（，）3平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作a平面的法向量：如果a，那么向量叫做平面a的法向量一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面a的法向量=(x，y，z)或=(x，y，1)或=(x，1，z)，或=(1，y，z)，在平面a内任选定两个不

3、共线的向量，由a，得=0且=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到例1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求平面A1C1D的法向量和单位法向量0zA1yxAC1BCD1B1D图1解：建立空间直角坐标系，如图1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，设面A1C1D， =(x，y，z)得，又=(1，0，1)，=(0，1，1)，令z=1 =(1，1，1)，0=二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1异面直线所成的角设点A，BÎ直线a，C，DÎ直线b，构造向量，cos<，>=，zA1yxAC1BCD1B1D图1<

4、，>所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角例2在例1中，设ACBD=O，求异面直线D1O，DC1所成的角的余弦值解：如图建立空间直角坐标系D-AC1， D(0，0，0)，1(0，0，1)，C1(0，1，1)，(1，0，0),C(0，1，0),则0(,0)=(，1)，=(0，1，1)cos<，>=，异面直线D1O，DC1所成的角余弦值为2线面所成的角如图，AB为平面的斜线，为平面a的法向量，如果与之间所成的角j为锐角，则斜线AB与平面a之间所成的角q=j即利用向量与求出的是角j，实际上所求的角是qjqaBA若j为锐角，则q=j，sinq=cosj；若j为钝角，

5、则q=(pj)=j，sinq=cosj总之有，sinq=|cos<，>|=zxBA1yEFB1C1D1DCA图2例3. 在例1中，设E、F分别为C1D1、B1C1的中点，求A1D与平面EFBD所成的角解：如图建立空间直角坐标系D-AC1， D(0，0，0)，1(0，0，1)，B(1，1，0)C1(0，1，1)，B1 (1，1，1),则 E(0，1)，F(，1，1)，设 面EFBD，=(x，y，z)，得，又=(1，1，0)，=(0，1)，令y=2 l=(2，2，1)，又=(1，0，1)，sinq = 即q =则所求的A1D与平面EFBD所成的角为3二面角的求法： 二面角alb，平面a

6、的法向量，平面b的法向量则二面角alb的平面角q =<，>所以，cos<，>=若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则<，>为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则<，>为二面角的平面角故在所求的二面角的平面角时，先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角例4. 在例1中，求二面角D1ACD的大小的余弦值解：如图建立空间直角坐标系D-AC1， D(0，0，0)，1(0，0，1)，A(1，0，0),C(0,1,0) 面ACD1，=(x，y，z)，得，

7、又（1,1,0），（,0,1）；令=(1，1，1)，由已知可易得平面DAC的法向量是=(0，0，1)，cos<>,=，由图知所求的角为锐角，则所求的余弦值为练习1： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，且，求：1) 求直线A1D与AM所成角的余弦值；2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切；3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.点到面的距离线到面的距离线到线的距离面到面的距离(二)空间距离1点到面的距离 设A是平面a外一点，AB是a的一条斜线，交平面a于点B，而是平面a的法

8、向量，那么向量在方向上的正射影长就是点A到平面a的距离为dqAaBd所以d=例5. 例1中，设G、H分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AGC1H的距离zA1yxAC1BCD1B1D图1解：如图建立空间直角坐标系D-AC1，D(0，0，0)， C(0，1，0), B1(1，1，1)，A1(1，0，1)，则H(0，0)，G(1，1)，A(1，0，0)， 设面AGG1H，则，令=(x，y，z)，则=(0，1)，=(1，0)有：=0，=0，=(1，2，-1)，又=(0，1，0)，所以点B到截面AGC1H的距离为d=故所求距离为练习2：在例1中，求点A1到平面ACD1的距离ABCD图32异面直线间

9、的距离如图3，若CD是异面直线a、b的公垂线段，A、B分别为a、b上的任意两点令向量a，b，则=+，=+×，=，|=|，|=两异面直线a、b间的距离为：d=其中与a、b均垂直(即a，b的公垂向量)，A、B分别为两异面直线上的任意两点例6在例1中，求直线DA1和AC间的距离解：=(1，1，0)，=(1，0，1)设DA1和AC公垂线段上的向量为=(x，y，z)，由，即可取=(1，1，1)，又=(0，0，1)，所以点A到平面A1C1D的距离为d =，即直线DA1和AC间的距离为ABCDOS图4练习3如图4，正四棱锥SABCD的高SO=2，底边长AB=，求异面直线BD和SC之间的距离3线面距

10、离直线a与平面a平行时，直线上任意一点A到平面a的距离就是直线a与平面a之间的距离其求法与点到面的距离求法相同4平面与平面间的距离平面a与平面b平行时，其中一个平面a上任意一点到平面b的距离就是平面a与平面b间的距离其求法与点到面的距离求法相同1）用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题QyPRxzD1C1B1A1CDBA2）用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题例8在例1中，设P、Q、R分别是A1C1、A1D和B1A上任一

11、点，(1)求证：平面A1PQ平面B1RC；(2)求平面A1PQ与平面B1RC间的距离解：(1)由前面例题知=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(1，0，1)，=(0，1，1)，设，(l、m、nÎR，且均不为0)设、分别是平面A1PQ与平面B1RC的法向量，由即即，可解得：=(1，1，1)，由即即，可解得=(1，1，1)，所以=，所以平面A1PQ平面B1RC如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用Û=0来证明 (2)A(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，=(1，0，1)，=(0，0，1)，=(1，0，0)，设平面A1

12、C1D的一个法向量=(x，y，1)，则，即，=(-1，-1，1)平面AB1C与平面A1C1D间的距离d=将平面AB1C与平面A1C1D间的距离转化成点A到平面A1C1D的距离例9.已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（II）求到平面的距离证明：（I）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；（II）由，得。设平面的法向量为，所以，设，则所以点到平面的距离。(三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等若两平面a、b的法向量分别为、，则(1)当=0时，平面a平面b；(2)当=l，即它们共线时，平面a平面b若平面a的一法

13、向量为，直线AB在平面a外，则(1)当=0时，AB平面a； (2)当=l，即它们共线时，AB平面aAB平面a内的两条相交直线，则AB平面aA1C1B1BACD例9如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱长为，D是CB延长线上一点，且BD=BC求直线BC1与平面AB1D之间的距离；解：由题设知，AD，AC，AA1两两垂直，建立空间直角坐标系A1DCA1，则A(0，0，0)，B(，0)，C(0，3，0)，D(3，0，0)，B1(，)，C1(0，3，)可求得平面AB1D的一个法向量为=(0，-1)直线BC1与平面AB1D之间的距离为d=(2)平面ABD的一个法向量为=(0，0，)，cos

14、<，n>=，二面角B1ADB的大小为arccos(3)取AB中点M(，0)，则=(-，0)是平面ABB1的一个法向量，点C到平面ABB1的距离为h=1，又SABB1=，三棱锥C1ABB1的体积为图8ABCDNPM例10如图8，已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PD=DC=a，AD=a，M、N分别是AD、PB的中点求证：平面MNC平面PBC证明：建立空间直角坐标系DACP，则P(0，0，a)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(a，0，0)，N(a，)=(a，a，-a)，=(-a，0，0)，=(a，-)，=(-a，a，0)，设n1=(x，y，1)为平面PBC的法向量，则n1&

15、#183;=0，n1·=0，解之得:，n1=(0，1，1)同理可求平面MNC的一个法向量：n2=(-，-1，1)，而n1·n2=0-1+1=0，n1n2，故平面PBC平面MNC若ab，则；反之也成立若ab，则；反之也成立利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正(长)方体、直棱柱、正棱锥等事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常

16、广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深zyxFCBEAA1B1C1D1D例7长方体ABCDA1B1C1D1中AB=2，AD=4，AA1=6，E是BC的中点，F是CC1的中点，求(1)异面直线D1F与B1E所成角大小的余弦值；(2)二面角D1AED大小的余弦值；(3)异面直线B1E与D1F的距离分析：建立空间直角坐标系ABDA1，则(1)=(2，0，-3)，=(0，2，-6)，cos<，>=，异面直线D1F与B1E所成的角为arccos (2)显然平面AED的一个法向量为=(0，0，6)，设平面AED1的一个法向量为n=(x，y，1)，且n，n，

17、则，=(2，2，0)，=(0，4，6)，n=(，-，1)cos<，n>q=，得q=arccos二面角D1AED的大小为arccos(3)令向量m=(x，y，1)，且m，m，则，m=(，3，1)异面直线B1E与D1F之间的距离为：d=练习1： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，且，求：1) ；2) 直线AD与平面ANM所成的角的正切；3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴.则D(0,8,0)，A1 (0

18、，0，4)，M(5,2,4) (2) 由(1)知A1DAM，又由已知A1DAN，平面AMN，垂足为N.因此AD与平面ANM所成的角即是(3) 平面ABCD，A1N平面AMN，分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则PBCA如图，四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135°.（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz由平面几何知识知：AD4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)(1,0,1),(1,1,1)·0，AF与BG所成角为 . (2) 可证明AD平面APB，平面APB的法向量为n(0,1,0)设平面CPD的法向量为m(1，y，z)由 Þ 故m(1,1,2)cos<m,n>平面APB与平面CPD所成的锐二面角