完整版现代控制理论东大习题0922

1、第二章知识点状态空间表达式的建立：物理机理直接建立；高阶微分方程转化；传递函数建立组合系统的状态空间表达式：并联；串联；反馈线性变换：变换矩阵的计算离散时间系统的状态空间表达式2.0建立下图所示系统的状态空间表达式，其中 皿侬为小车质量，匕*2为相应的弹簧系数，S,S2为相应小车的位移，u为外力。（这 里忽略摩擦阻尼）7/7/S/7/7/1）确定输入变量和输出变量输入变量：u 输出变量：位移*,S22）将小车弹簧系统分为2个子系统，根据牛顿第二定律（u f ma） 分别写出微分方程。首先对小车mi进行分析，得到如下微分方程u k1 (s1s2)mid2sl同理，对小车m2进行分析，可有k1(s

2、1 s2) k2 s2d2s2dt23)根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量选取系统的状态变量为Xi si,X2&,X3 s2,X4将子系统的微分方程写成一阶微分方程组的形式，得系统的状态方程为X21 一u ki(s1 mis2)上 XimikiX3 mi1-u miX4Lki(*Xik1k2X3m2m2m2Xi系统的输出方程为yiV2最后写成矩阵形式，状态空间表达式可写为0100旦0 旦 0 x1mim1x20001x3ki0k1k20 x410 0 00 0 10X1X2x301m1 u00m2m2X42.1有电路图如图P2.1所示，设输入为5,输出为U2,试自选状态变量并

3、列写出其状态变量表达式解：系统如图R1212.H H QR2U1U C1 U 2U C2ii图 P2.1确定了输入输出变量，根据电路定律列写微分方程设C1两端电压为Uc1, C2两端的电压为Uc2,则dUc2 一Uc1 C2, R2 Uc2 U1dtdU1 Uc1 c dUc2C1C2dt R dt根据微分方程的阶次选择状态变量设状态变量为X1 Uc1 , x2Uc2 ,由式(1)和(2)得:状态空间表达式为:即:x&x&du。dt3dtR2Ri_ _ _ UciRi R2Cii-Uc2R2c11 Ui R2ciUciR2c 21Uc2R2 c21-UiR2c 2R2Ri vx

4、i RR2cliX2R2cl i1UiR2cl1R2c2U2Uix1XiR2c2X2-uiR2c2RR2 clR Rzg1R2c2R2g1R2c2xiX2R2g1R2c2UiXii 0X2Ui2.2建立图P2.2所示系统的状态空间表达式，其中,Mi量，K为弹簧系数，Bi,B2为阻尼，f(t)为外力，设,M2为重物质y2分别为Mi ,M2的位移量。Bi图 P2.2解：确定输入量和输出量令输入f(t)为输入量，Mi , M2的位移量yi , y2为输出量, 根据牛顿定律列写微分方程分别对重物Mi, M2进行受力分析后，得到如下微分方程M1d2yidt2Kyid(y2 yi)dtM2>f(t)

5、Bid(y2 yi)dtdy2dt根据上述2个子系统微分方程的阶次选择状态变量选取状态变量入上面两个式子，输出方程为:dy1xiyi , X2y2 , x31，经整理得状态方程为：& X3x2 x49 KBiBX3XiX3X4M i M iM icBiB B2X4X3 ()X4M2 M2 M2y iXiy 2x 2以。连同u f代 dt1uM2写成矩阵形式为:x 为 网 双00100001X1K0旦旦X2M1M1M1X300旦（且马 M2 M2X4M200 u1M2为V11000x2V20100X3X42.4如图P2.3所示的水梢系统。设水梢1的横截面积为C1 ,水位为Xi ;水梢2的

6、横截面积为C2,水位为X2；设R、R2、R3为各水管的阻抗时, 推导以水位七、X2作为状态变量的系统微分方程式。但是，输入 u是单位时间的流入量，,、y2为输出，是单位时间由水梢的流出量。C1X1C2X2R1R3R2y1y2图P2.3水梢系统解：确定了单位时间的流入量u为输入，单位时间由水梢的流出量乂、y2为输出量，在水梢1,考虑时间增量t内水量的进出。单位时间的流入量是 输入u和有两个水梢的水位差决定的水量（X2 X1）/R3 ,流出量是y1 x"R。（类似电压，电阻，电流的意义）设水位的增量为则水量的增量是J %,则单位时间内的水量增量为Cl2StX1 (X2 X1) uRR3同

7、样，得到水梢2单位时间内的水位增量有如下关系。c2 x2X2 (X1R2R3设t 0,则XI /t)南,(X2 /t)%,因此可有下列微分方1X2 uC1X2X1C2 R3C2R2C2R3)X2输出方程为1V】X1R11V2 - X2R2设 xx1 x> TyiTV2,将上述微分方程组写成矩阵形式如下C1R11Ci ng1gR1 1C2R3C2R2C2R30x 1 r21Ry0化对角（约当）标准型的步骤求取系统矩阵 A的n个特征根i,L ,0和对应的特征向量Pl,L ,Pn令 P （Pl,L ,Pn）1做变换A P 1AP On2.14试将下列状态方程化为对角标准形1）解：求特征值1 A

8、 5求特征向量居 01X10u&56 X21(6) 5 (5)(1) 0611, 25a、对于11：（对应11的特征向量满足（1lA）V10）,故有11V110vn155v1205151v21051v220构造P,(令P (PR)求P 1541414141B1P 1AP541414141414得到对角形的状态方程为1414X12)&0312X1X2X3U1U2求特征值3122,1)(2)(3) 0求特征向量110V110V111312V120V1211275V130V131b、对于 22有：210V110V112322V120V1241274V130V131c、对于 23有：3

9、10V110V111332V120V121273V130V133（凡P2,R）求 p（令P1。构造P9235252232求A,1AP1B9235252232372所求。372152720 u00327“1622.15试将下列状态方程化为约当标准形& 忌&解：求特征值：I Ax131U1412X227102U2X353113412_ 212(1)(3)01131,求特征向量a、对于 1 有：（1I A）v10312Vli112v12112V130v1100v1220v131b、对于 3有:由(1lA)v20,有112v210v211132v220v221

10、110v230v231由(1lA)v3v2 ，有v31V32V33V31V32V33构造P ,（令P（巴巴上3）求A, Bo1AP1B10000103011101 ,3122所求的约当标准形为2.16已知系统的状态空间表达式为4u求其对应的传递函数。C(sIA) 1BsI A1(sI A) 1(s 5)(s 1) 3 3（线性代数知识，设A=a1.a2a12a22a1na2nan1an2annA1AAnA2n1detA1detAA1A：AiAn2AnA2nG(s) C(sI A)11B所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵为AAn(s 2)(s 4)4s2 36s 91s2 6s

11、82.8已知系统的微分方程1)y 4y5y3u ；2)2y3y u3)2y 3y5y5u7u试列写出它们的状态空间表达式。1）此题微分方程右边不含有输入函数导数,利用有高阶微分方程转化状态空间表达式的公式直接写出,010MO0XXu0010anan 1La11y 1, L , 0, 0, L 0x令y Xi , & X2,典X3 ,则有x1 X2X X3X35为 4x2 x3 3uy X状态空间表达式为：&010Xi0&001X20uX3541X33Xiy 1 0 0 X2X32) 已知系统的微分方程(2y 3y u u ),利用由传递函数建立状态空间表达式的方法。首先对微分方程取零初始条件下的拉氏变换，得到系统的传递函数后，再 由传递函数求取状态空间表达式。本题利用直接法。对微分方程取拉氏变换得2s3y(s) 3sy(s) s2u(s) u(s)1 21y(s)s2 12s 3u(s) 2s3 3s 3 3s s2见教材中的公式(2.3.47a) 和(2.3.47b)&01 L 0 为%00 Ox2M MO 1 M&anan 1 LaiXn0M u01bnbn 1 Lb1X2MXn从而X1X2X3010X1001x23x30-032XiX1X2X33）采用拉氏变换法求取状态