秋北师大版本数学九上正方形的性质与判定学案

1、1.3 正方形的性质和判定 【学习目标】1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法难点：正方形知识的灵活应用【知识梳理】1正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形它具有前三者的所有性质： 边的性质：对边平行，四条边都相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角

2、线平分一组对角 对称性：正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3正方形的判定判定：有一组邻边相等的矩形是正方形判定：有一个角是直角的菱形是正方形【正方形的性质】【铺垫】正方形有 条对称轴【例1】、已知正方形的边长是正方形的对角线，则 、如图1，已知正方形的面积为，点在上，点在的延长线上，且，则的长为 、如图2，在正方形中，为边的中点，分别为，边上的点，若，则的长为 【例2】将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 【例3】 如图，正方形的边长为，以为圆心，长为半径画弧交对角线于点，连接，是上任

3、意一点，于，于，则的值为 【铺垫】如图，是正方形对角线上的一点，求证：【例4】如图，为正方形对角线上一点，于，于.求证：.【巩固】如图所示，正方形对角线与相交于，且分别与交于试探讨与之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程【巩固】如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么 【例5】已知正方形，在、上分别取、两点，使，求证：是等腰直角三角形【例6】如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，则 【例7】如图，四边形为正方形，以为边向正方形外作正方形，与相交于点，则 【例9】如图，正方形中，在的延长线上取点，使，连结分别交，于，求证：是等腰三角形【巩固】如图，过正方形顶

4、点引，且若与的延长线的交点为，求证【例10】如图所示，在正方形中，、是内的两条射线，求证，.【巩固】如图，正方形的边在正方形的边上，连接，求证：.【例11】 如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上的一点，求的度数.【巩固】已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于（1）求证：；（2）将绕点顺时针旋转得到，判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由ABCDEFG【例12】若正方形的边长为，为边上一点，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为 【例13】如图1，在正方形中，、分别为边、上的点，连接、，交点为、如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；、将正方形沿

5、线段、剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形的边长为，则图3中阴影部分的面积为_【巩固】如图，正方形对角线相交于点，点、分别是、上的点，求证：（1）；（2）.【例14】如图，正方形中，是边上两点，且于.求证：【巩固】如图，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数【巩固】如图，设正方形的对角线，在延长线上取一点，使，与交于，求证：正方形的边长【例15】把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想【例16】如图所示，在直角梯形中，是的垂直平分线，交于点，以腰为边作正方形，作于点，求

6、证.【正方形的判定】【例17】四边形的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形，求证：、四边形对角互补；、若四边形为平行四边形，则四边形为矩形、四边形为长方形，则四边形为正方形【巩固】如图，已知平行四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形、求证：四边形是菱形；、若，求证：四边形是正方形【巩固】已知：如图，在中，垂足为点，是外角的平分线，垂足为点、求证：四边形为矩形；、当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明【例18】如图，点是矩形边的中点，点是边上一动点，垂足分别为、，求点运动到什么位置时，四边形为正方形【例19】如图，是边长为的正方形，是内接于的正方形，若 则= 【例20】如图，在线段上，和都是正方形，面积分别为和，则的面积为 【巩固】如图，在正方形中，点为正方形内的两点，且，则 【例21】如图，若在平行四边形各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形【例22】已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应APB的大小.【课后练习】1、如图，正方形中，是对角线的交