论文模板供参考

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）： 1324114 所属学校（请填写完整的全名）： 华中科技大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张 乐 2. 郑 飘 3. 韩 杰 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 梅正阳 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐变位识别与罐容表标定问题探究摘要 本文研究储油罐的变位识别问题和罐容表标

3、定问题，利用实验数据建立数学模型，成功建立了储油罐在已知变位下的罐容表，并实现了对未知变位参数的实际储油罐的变位识别，在实际工程中具有重要的现实意义。针对问题一，根据立体几何割分积分原理求解理论解析式，定义了残差修正函数，建立了自修正积分标定模型，利用软件编程进行求解，得到了储油罐罐体变位前后油位高度间隔为1cm的罐容标定表。随后对各项指标进行了敏感性分析得到时储油量容积对油位探针位置的变化不敏感，储油量容积对纵倾角的变化较敏感。分析了模型稳定性分析并对结果的误差进行残差检验，得到最大相对误差值的绝对值小于0.4%，由此验证了模型的准确性和合理性。 针对问题二，根据立体几何割分积分原理，得到隐

4、式关系式，建立隐式积分变位识别模型，根据最小二乘拟合原理，设计了自适应搜索算法，得到储油罐的纵向倾斜角，横向偏转角；并建立了该变位下油位高度间隔为10cm的罐容标定表。随后对模型进行敏感性分析分析了模型对横向偏转角和纵向倾斜的敏感性，分析了模型稳定性，并对模型结果进行了残差检验，得到最大相对误差值为5.4538%，90.7%的相对误差值落在（-2%，2%）之内，由此可得模型具有较高的准确性和可靠性。鉴于隐式关系表达不具有直观性，利用MATLAB对储油量与显示油高、三者的关系进行了拟合，得到了显式的函数关系式。 最后，对储油罐定位和标定问题进行了深入分析，讨论了不同的建模方式，对算法进行探究设计

5、，并分析了造成罐容表标定误差的具体原因。关键词：残差修正 自修正积分标定模型 自适应搜索算法 隐式积分变位识别模型 1 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。请用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容

6、表标定的问题。 （1）利用已知数据，建立数学模型研究椭直圆筒罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。2 问题分析储油罐属于规则几何体，因此可以利用数学积分的方法分别建立储油罐变位前后罐内油量体积的函数表达式，由此可得出理想条件下储油罐内油位高度和储油量的对应关系。

7、但在实际中，由于储油罐内存在油位探针、注油管、储油罐等附属部件，这些部件都在储油罐中占用一定体积，因此实际用于标定的罐容表与理论值之间必然存在一定的偏差，为尽量找出合理的罐容表，可以利用拟合的方法找出理论值与实际值之间的差值与油位高度之间的关系，并利用这个关系对罐容表进行校正即可得到罐容表的表达式。对于问题二，两端连接球冠的实际球冠储油罐的变位标定问题，先利用几何积分求出变位前实际储油罐在任意油位高度下的储油量，同时考虑横向偏转和纵向倾斜建立球缺顶储油罐内油的体积的理论表达式，编程求解即可。由于在油罐倾斜和偏转情况下油罐中油的体积理论推导存在很大困难，因此如何正确有效地建立倾斜后储油罐中有的体

8、积的理论表达式并设计算法求解成为模型建立的关键。3 模型假设及符号说明3.1 模型假设 根据本问题建立如下合理假设：1. 假设油罐的变位是小角度变位，未超出安全变位区间；2. 假设显示油高为浮漂中心轴处的油高，不考虑浮漂半径的影响；3. 假设储油罐为理想几何体，油罐内壁光滑，且不考虑储油罐的油压变形；4. 假设所有测量数据为同一实验温度下测量得到，不考虑温度对储油量的影响。3.2 符号说明符号说明单位油罐的纵向倾斜角度，以罐体左低右高为正变位度显示油位高度任意圆截面上油位浸没高度为时的截面面积 油位探针距储油罐左端的距离椭圆长半轴椭圆短半轴球冠半径直圆筒半径椭圆体部分的总长横向倾斜角度理论计算

9、体积底部不可标定体积顶部不可标定体积计算油量差分序列理论油量差分序列4 问题一模型的建立和求解4.1 建模分析图1 问题一建模思路图对于两端平头的椭圆形储油罐的变位标定问题，根据建模思路图（图1），可先利用几何积分分别计算出变位前后任意油位高度下储油罐的储油量；然后计算出变位前罐容表理论值与已知实验数据的残差，拟合出残差与油位高度之间的一一对应关系，将其定义为校正函数；因此储油罐的标定函数即为理论积分函数与校正函数的代数和。同理可表示出变位后储油罐的标定函数，对两个函数进行减法运算即可得到变位对罐容表的影响，最终建立罐容表自修正积分标定模型。4.2 模型建立4.2.1 理论积分模型的建立 根据

10、立体几何割分积分思想，分别建立无变位情况（）和任意纵向倾角下储油罐储油量与显示油位高度之间的函数关系式。a 理论基础图2 空间坐标建立示意图对于任一椭圆截面，如图2，将轴沿罐的纵向固定在罐壁上，建立如图所示空间坐标系，若椭圆截面长轴为，短轴为，储油罐长度为，则椭圆的曲线方程可表示为：引入参数，则该式变换为：在倾斜角作用下，罐壁与水平面之间也存在一个夹角，图示阴影部分面积可用积分表示为，代入参数公式，则：其中为中间参数，为油位浸没高度，且，为椭圆的长半轴，为椭圆的短半轴。b 计算任意值对应下的油位浸没高度如图2,在倾斜角度下，当罐内油量一定时，油罐内的实际油位浸没高度随着值而变化，由图 可知，根

11、据几何关系表示如下：其中为纵向坐标为时的实际油位高度，为油位探针距储油罐左端的距离，为油位探针的测量油位高度。c 无变位下储油罐油量与油位高度的关系在无变位情况下，储油罐内实际油位高度等于显示高度。因此，此时任意显示高度下油罐内的理论储油量可表示为：其中为中间参数，为油位浸没高度，且，为椭圆的长半轴，为椭圆的短半轴，为储油罐的长度。d 任意纵向倾斜下储油量与油位显示高度的关系对式中的对进行微分，有：对式中的对进行微分，有：由于任意的竖向截面对应的值就是该截面处的实际油位高度，即，代入、式可得:根据实际情况，将储油罐分为如上图所示五个积分区域，其中当油位高度处于区域或区域时，无法利用罐容表进行标

12、定，在此将其定义为标定盲区。当实际油位高度隶属于不同的积分区间时最终体积的表达式不同，因此需要进行分段积分：图3 积分区间示意图油位高度液面处于区域 油位高度液面处于区域 油位高度液面处于区域 油位高度液面处于区域 油位高度液面处于区域 其中，区域是正常标定区域，该区域内储油量与油位探针测量高度的函数关系的具体推导过程如下：因此当储油罐发生角度为的纵向倾斜的情况下，油位探针显示高度对应的罐内储油量间的关系（理论罐容表）为：其中， 为油位探针距储油罐左端的距离，为油位探针距储油罐右端的距离,为油位探针的测量油位高度，、分别为椭圆截面的长半轴和短半轴。 在考虑罐体无变位时，如前所诉令，但分析式可以

13、发现，式中分子分母中均含有为0项，因此需要对该式进行稳定性分析，具体过程可参见模型检验部分。4.2.2 修正函数由于实际储油罐并非与理论几何完全相同，实际储油罐罐内中存在出油管、油位探针、注油管等其他构件，当这些构件部分淹没在油中时，会造成实际测量值与理论推导值之间的误差。为了尽可能准确地描述该误差，并将误差最小化，在此建立校正函数对理论值进行修正。对于油位高度和储油量之间的关系，由实验测量数据序列与理论推导序列做减法运算，求出储油量的理论值与实际值间的残差序列，模拟出与油位探针测量高度之间的函数关系:4.2.3 自修正积分标定模型最终罐容表就可由理论函数项与修正函数项两部分相加求得，将两部分

14、分别表示为储油量与油位探针显示油位高度的函数关系，即可建立最终罐容表内部关系：因此，椭圆型油罐在油位正常区域内的自修正积分标定模型可表示为：4.3 模型求解利用MATLAB软件对上述自修正积分标定模型编程进行求解，首先求出理论积分时试验数据中对应油位高度下的储油量，再与实验值进行残差拟合，求出拟合函数，最后根据理论积分解和拟合函数确定罐容表。4.3.1 修正函数的拟合(a) 无变位下的修正函数将根据积分计算所得的无变位储油量与无变位试验所得储油量做减法运算，得到无变位积分模型的残差序列，将残差序列利用MATLAB程序进行拟合，拟合函数为：求解出拟合函数的各项系数，拟合结果表1所示：表1 无变位

15、残差拟合参数表系数取值置信区间显著性检验1161-1.245,1.248SSE=32.90.002515-0.05168,0.05671=0.9997-0.4316-14.73,13.87RMSE=0.67591065-1.245,1.248=0.050.002614-0.05392,0.059152.684-12.76,18.13根据表1显著性检验部分结果可知，在显著水平=0.05时，相关系数=0.9997，这表明残差拟合符合显著性检验，该拟合有效，且拟合度高，图5为残差拟合图。因此，无变位修正函数为：图5 无变位时的残差拟合(b) 任意纵向倾斜下的修正函数将根据积分计算所得的纵向倾斜角储油

16、量与试验所得储油量做减法运算，得到时积分模型的残差序列，将残差序列利用MATLAB程序进行拟合，拟合函数为： 求解出拟合函数的各项系数，拟合结果表2所示：表2 残差拟合参数表系数取值置信区间显著性检验90.589.27,91.72 SSE=213.70.0031450.003011,0.003278=0.9714-0.7311-0.8401,-0.622RMSE=2.1322.7871.788,3.787 =0.050.015390.01196,0.01881-7.406-10.08,-4.73根据表1显著性检验部分结果可知，在显著水平=0.05时，相关系数=0.9714，这表明残差拟合符合显

17、著性检验，该拟合有效，且拟合度高，图6为残差拟合图。因此，无变位修正函数为：图6 时的残差拟合图4.3.2 罐容表的建立1 无变位罐容表 表3 椭圆柱储油罐无变位罐容表（部分） 显示油高h(cm)151617181920显示油量V（L）289.90317.78346.45375.87406.02436.84显示油高h(cm)212223242526显示油量V（L）468.33500.43533.14566.42600.25634.60显示油高h(cm)272829303132显示油量V（L）669.46704.79740.59776.82813.47850.522 纵向倾斜角的罐容表表4 竖向

18、倾斜时椭圆柱储油罐的罐容表（部分）显示油高h(cm)404142434445显示油量V（L）922.80959.49996.501033.841071.481109.43显示油高h(cm)464748495051显示油量V（L）1147.681186.221225.061264.191303.611343.32显示油高h(cm)525354555657显示油量V（L）1383.321423.591464.151504.981546.081587.45特别地，当时，对应储油量可能为： ；当时，对应储油量可能为：。4.4 敏感性分析4.4.1探针位置对结果的影响 由建模过程可知，油位探针的位置不同

19、，则建立的储油量与油位探针显示油位高度的对应关系会发生改变，以油位探针距离储油罐最左端的距离作为油位探针的位置指标，作出油位探针位置不同时的储油量-显示油位高度关系图，如图7图7 不同对罐容表的影响由图7可以看出：1 当从0.4到2.0变化，即逐步增大过程中，同一显示油位高度下对应的储油量值相应增加，但影响效果不是非常明显。以油位高度时为例，从0.4m增大到2.0m，变化400%，对应储油量1884从增大到2381.6，增加了26.41%，因此罐容表对探针位置敏感性不大。2 油罐内储油量不同，探针位置变化对储油量的影响不同，且储罐内油量越接近总储量的一半，探针位置变化对储油量影响越明显。在从0

20、.4m增大到2.0m过程中 ，油位高度， ； ，；，。3 当罐内储油量一定时，探针位置不同，探针测出的现实油位高度也不同。 倾斜角度对结果的影响 实际工程中，储油罐竖向倾斜可能为正值，也可能为负值，分析不同对结果影响：图8 不同的倾斜角度对储油量的影响 由图8可以看出：1 在小角度倾斜时，其储油量与纵向倾斜角度呈负的线性关系，其斜率的绝对值大小约为0.63升/度，其实当很小时，模型中所有涉及的数学表达式可视为关于的线性项，这是上述结果产生的根本原因。2 在同一显示油位高度下，正倾和负倾对储油量的影响基本相同。以为例，在时，其储油量相差百分比为0.002%。3 显示油位高度一定时，随着在内变化，

21、储油量呈现出先增后减的趋势，并且在时，储油量达到最大值。这表明当显示油位高度一定时，储油罐在无变位情况下的储油量最大。4.4.3 对不可标定区域的分析由建模过程可知，模型存在、两个无法标定的区域（见图3），当油位液面落入这两个区域时，本模型所建立的罐容表无法对其进行标定，每个区域对应有一个储油量不可标定储油量区间。当纵向倾斜不同时，该不可标定区间上下限值会发生相应变化。以区域为例，若区域的储油量区间为，为区间上限，图9为不同倾斜角度下，区间上限的变化情况。图9 不同倾斜角度下不可标定区域的储油量由图9可以看出：1 随着倾斜角从0到10逐渐增加，积分区域的区间上限值从0逐渐增加到。2随着倾斜角的

22、增加，储油量区间上限的变化率也逐渐增加。当从增加到时，的变化斜率为0.4231；而当从增加到，的变化斜率为0.9185。4.5 模型检验 1 模型的稳定性检验： 在变位的情况下，我们给出的是任意纵倾下的油量与有高之间的半隐式关系（积分函数隐式，积分变量显式）。原则上来说，当无限趋近于0时，即为无变为无变位下的情况。 下面我们就来进行模型稳定性分析，我们以下的无变位理论值为 下表为以不同数量级趋近于0下的数值解表52.0482.0542.0552.05512.05512.05512.05512.05512.05512.05512.0552.0542.0312.250000000 由表5可知，当取

23、值在区间内变化时，模型解与理论解完全相同，但当取值小于时，模型值与实际值出现了一定偏差；因为在越来越小时，其截断误差的影响经过无限次的割分积分的累加而积累，最终得以放大，使得计算解偏离理论解，即该数学积分模型其在数值解要求的精度无限高时不稳定，但本问题中不要求达到无限精确，精度已经完全足够满足精度要求，因此此模型稳定性佳。2 结果检验根据模型求解出试验表中的显示油位高度对应的储油量,与实验数据进行比较检验，计算出模型解与试验值的相对误差，结果如图10所示：图10 相对误差检验由图10可知：1试验值与模型求解值之间的相对误差很小，所有相对误差位于区间内。2其相对误差基本上属于白噪声，与非常符合统

24、计规律，侧面上反应了该模型的正确性。4.6 模型优缺点模型优点：1. 考虑到理论与实际之间存在偏差的情况，在分别建立储油罐罐体无变位和倾斜角为的纵向变位的模型时，在模型中加入的了修正函数，使结果更贴近实际。2针对问题一中模型，所求得的解是解析解，是准确结果。3罐体纵向变位时的模型考虑了显示油高h=0m和h=1.2m时无法标定的容积，使模型更贴近实际。模型缺点：1 求解模型数值解时所采用的数值积分方法理论上是不稳定的。2 罐体纵向变位时没有考虑液面倾斜对油浮子准确测量油位高度的影响。3罐体纵向变位时没有考虑各附体的影响原理，缺乏足够的说服力。5 问题二模型的建立和求解5.1 建模分析5.1.2

25、与问题一比较1 不同点问题二在问题一的基础上于直筒两端增加两个球冠体，同时考虑储油罐的纵向倾斜角度和横向偏转角度。与问题一不同的是，此问题需要在变位情况未知的情况下建立变位识别模型，即需要根据模型求解储油罐的具体变位参数。2 转换关系的建立(a) 将中间圆柱部分视为长短轴相等的特殊椭圆柱，则中间圆柱部分则可与问题一中椭圆柱的问题建立联系，可充分利用问题一的结论。(b) 将球冠部分视为无数个微小的圆柱的集合，则球冠部分储油量与显示油位高度间的关系转化为圆柱储油量与显示油位高度间的关系。5.1.2 建模思路直接利用几何积分原理，在建立任意变位情况下（即纵向倾斜角度为和横向偏转角度为）储油量和显示油

26、位高度之间的关系时，由于横向偏转与纵向倾斜对储油量的影响相互独立，因此建模过程中分步考虑横向偏转和纵向偏移。积分过程分别考虑球冠部分和直筒部分，采用立体几何最基本的割分积分思想，综合考虑显示油位高度的可能分布区间，将两部分的积分式集中，建立球冠式实际储油罐积分标定模型。5.2 模型建立5.2.1 直筒部分的积分1 横向偏转当横向偏转角度为时，显示油位高度发生如下转换：其中，为转换后的现实油位高度，为球冠与直筒相交处的半径2 纵向倾斜由于圆柱体为特殊的椭圆柱体，因此可直接引用问题一椭圆柱的积分关系。在此假设该储油罐的变位情况属于小角度变位，变位未超出安全变位区间，则根据问题一，纵向倾斜下直筒部分

27、储油量与显示油位高度间的关系为：其中，,为油位探针距储油罐左端的距离，为油位探针距储油罐右端的距离,为油位探针的测量油位高度，为变换后的现实油位高度，为球冠与直筒相交处的半径。5.2.2 球帽部分的积分1 横向偏转与直筒部分相同，当横向偏转角度为时，显示油位高度发生如下转换：其中，为转换后的现实油位高度，为球冠与直筒相交处的半径。2 纵向倾斜将球帽视为无数个截面半径不同的微小圆柱的集合，则球帽部分的储油量与显示油位高度间的关系可利用问题一中积分思路。即可利用问题一中的割分积分思路建立起体积关系：由于每个微小圆柱的截面半径与有关，此时的截面积为：其中为截面半径，由几何关系知，为问题一中引入的中间

28、参数，为球帽内油位液面到球帽底部的深度，如图11图11 球冠几何关系示意图由图中几何关系可列出如下方程组：另外，若球冠的半径为,截面圆的轨迹方程可表示为为：5.2.3 组合储油罐的储油量与各变量的隐式关系综合上述式式，可以建立任意横向偏转与纵向倾斜时，储油罐内储油量与显示油位高度之间的隐式积分变为识别模型：5.3 模型求解5.3.1 求解算法从问题二的模型中我们已经获得了任意变位下（纵倾，横倾）的油量容积与显示油高之间的隐式关系式。，通过MATLAB编程，先割平面微分，再累加积分，可轻易获得函数的数值解。但是现在的问题是，从附件二中，我们只能准确的得到显示油高度序对应储油量序列之间的差分序列，

29、而模型中参数，的值是无法获取的，于是问题二的求解变成了一个标准的参数识别问题，即求参数，。这里我们通过最小二乘法的来求解。通过附件二的数据序列，在任意有意义下的参数，下，其油量计算值差分序列和测量油量的差分序列的总偏差为：显然，使得计算差分序列和测量差分序列的总偏差最小的参数，就是该储油罐的实际变位角，即：考虑穷举搜索算法是时间复杂度最高的，本文设计自适应收索算法进行求解。其算法过程如下：步骤1，给定一个初值步骤2.，生成一定精度的步骤3，计算同一个下不同组合下的总偏差（时间复杂度分析）步骤4，寻找在下，总偏差最小的参数步骤5，生成一定精度的步骤6，计算同一个下不同组合下的总偏差步骤7，寻找在

30、下，总偏差最小的参数步骤8，比较和，在精度之内则停止，否者令=，重复步骤1图12 算法流程图5.3.2 结果表示1 变位参数根据上述算法，在给定精度下，利用MATLAB求解得到储油罐的纵向倾斜角，横向偏转角。2 该参数下的罐容表表6 罐容表显示油高h(cm)102030405060实际油量V（L）353.271066.662226.963708.805440.657380.51显示油高h(cm)708090100110120实际油量V（L）9499.0411769.5414170.0916679.4119282.5421959.22显示油高h(cm)130140150160170180实际油量

31、V（L）24695.0227470.4030272.4633090.1935900.9038692.09显示油高h(cm)190200210220230240实际油量V（L）41446.9744150.5946790.5349346.9351800.8754133.50显示油高h(cm)250260270280290300实际油量V（L）56326.6758355.4660184.2161789.3063116.0365362.585.5 敏感性分析1 变化对储油量的影响图13 变化对储油量的影响由图可知：1 实际油量与横倾角负相关，即横倾角越大，实际油量反而越小。2 在时，相对变化率，因此实

32、际油量对横倾角不敏感。2 变化对储油量的影响图14 变化对储油量的影响由图可知：1 当显示油高一定时，实际油量与纵倾角负相关，即纵倾角越大，实际油量 越小；2 其在时，相对变化率通过该系数可知对实际油量对与纵倾角比较敏感。3 ，同时变化对储油量的综合影响图15 不同显示油位下储油量与、的三维关系 由图可知：当显示油位一定时，实际油量与纵倾角和横倾角为间的关系近似为平面，即多元线性关系。因此可假设，后面模型进一步分析中，我们将给出的拟合关系式和的拟合数值解。5.6 模型检验 模型稳定性检验这里我们先利用附件二中的显示油量和显示油高的对应序列对我们的模型进行初步的准确性检验。即令模型二中的纵倾角和

33、横倾角下，显示油量对应的和显示油高即为实际油高，再求得对应显示油高的数值解，其相对误差图图16 理论无偏与试验数据相对误差从图上可知，我们建立的理论数值解已具有相当的精度（），故不再对模型进行残差修正，这是与模型一建立的不同点，故从侧面很好的验证了模型二的正确性。 结果检验根据模型求解出试验表中的显示油位高度对应的储油量,与实验数据进行比较检验，计算出模型解与试验值的相对误差，结果如图17所示：图17 模型结果与试验数据相对误差其最大相对误差为：5.4538%，其相对误差落在之间的概率为90.7%,其统计均方差为，由此可知该模型具有足够的正确性和可靠性。同时该变位参数识别标定模型，其求解原理最

34、小二乘法理论已经非常完善。在精度为下，其搜索区域基本上可覆盖所有的可能组合，其根据上一步的搜索结果自适应向最优解前进，理论上完全是全局最优解，故该模型具有足够的可靠性。5.7 拟合显式关系通过以上的信息建立最终的，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般显式关系从其三维图的灵敏度曲线簇可以得知：拟合关系式近似为：1 令，对和拟合得到2 令，对和拟合得到3 再对，下的进行三角函数级数拟合两者在下，令下求取的，其中有特别的当，时，有，其的相对误差为0.1%可以接受。故最后的表达式为：式中各项参数取值见表7表7 拟合参数参数取值置信区间参数取值置信区间 在显著水

35、平时，上述拟合的相关系数，因此上述拟合符合显著性检验，可以用于拟合。5.6 模型优缺点模型优点：1. 利用问题二中算法求解纵偏角和横偏角，通过对其各个参数进行灵敏度分析，反映了储油量V随油位高度h、纵偏角和横偏角变化的规律，为后续求得储油量V与油位高度h，纵偏角和横偏角间的关系表达式提供了理论依据。2. 基于问题二中算法和实现方法简明、适用，应用范围广泛。3. 利用自适应搜索算法求解模型的数值解，既满足了精度要求，也避免了求解解析解的困难。 模型缺点：1. 所用算法对初始点的选择较敏感，且算法的时间复杂度对初值敏感。2. 未考虑油浮子的半径对显示油位高度标定的影响。3. 其体积关系式为隐性的，

36、很难从理论上去寻求其中的内部变化规律。5.7 模型比较 与简单的数据拟合来求取其储油量V与油位高度h，纵偏角和横偏角间的关系表达式根更具有理论说服力，数据来源可靠，精度较高，可以很容易的推广任意形状的储油罐模型上。5.8 模型改进与推广 通过卧式储油罐的简图，可知，油浮子半径将较大的影响其显示油高，而现实油高是计算理论统计的关键所在，对其进行敏感性分析是必须的。故可以将油浮子半径对标定油高的影响纳入建模分析过程。由于缺乏足够的油浮子相关数据，及其浮子标定油高的传感器类型，6 进一步分析6.1 模型比较本模型建立的理论积分式在的求解过程复杂，基于此，可将理论积分式进行展开，用低次项代替原函数，建

37、立展开简化积分模型。与本模型相比，展开积分模型求解过程容易实现，算法的时间复杂度较低；但展开过程存在较大的截断误差，且当多个代数式进行展开相加过程中，截断误差被2累加放大，造成模型的精度欠佳。6.2 算法探究基于工程测试与信息处理的相关思想可以得知，不同的变位参数下，其序列可以通过傅里叶变换成频域上的序列，提取其隐含的特征信息，并且该特征信息只与其变位参数相关。这样，我们可以先建立所有可能变位下的特征信息库，带入试验序列，对信息库进行比对，从而得到其变位参数。该算法具有更高的可靠性和准确性，因为其对空间进行了变换处理，提取的为另一维上的信息。但该算法需要建立不同变位参数下的信息库，可能在工程实

38、际需要高精度的变位识别时，该算法才能得以运用。6.3 误差来源分析模型求解所得罐容表与试验测量值存在一定误差，分析可知误差来源主要来自如下几个方面：6.3.1 浮漂半径 当储油罐发生变位时，浮漂不是正浮于与油面上，其显示油高与实际油高存在一定偏差，且浮漂半径越大，造成的偏差越大。6.3.2 储油罐内壁凹凸不平 由于储油罐在实际工程中的成型是由不同钢板焊接而成，因此储油罐内壁不可避免地会出现凹凸不平；另外，油罐内装的液体会对罐内壁产生不同程度的侵蚀也会造成储油罐内壁的凹凸不平。地基沉降不均匀引起储油罐变形由于沿储油罐长度方向的地基沉降不均匀，可能造成储油罐变形，导致积分过程与实际不相符。7 参考

39、资料1 陆菊春，应用统计学，武汉：武汉大学出版社，20072 曾建军 李世航，MATLAB语言与数学建模，合肥：安徽大学出版社，20053 国家技术监督局，JJG中华人民共和国国家计量检定规程JJG 26619964 卢文祥 杜润生，工程测试与信息处理，武汉：华中科技大学出版社，2001附录表1 椭圆柱储油罐无变位罐容表显示油高h(cm)123456显示油量V（L）18.9227.0437.9751.1366.2182.97显示油高h(cm)789101112显示油量V（L）101.24120.90141.84163.95187.18211.45显示油高h(cm)131415161718显示油

40、量V（L）236.69262.86289.90317.78346.45375.87显示油高h(cm)192021222324显示油量V（L）406.02436.84468.33500.43533.14566.42显示油高h(cm)252627282930显示油量V（L）600.25634.60669.46704.79740.59776.82显示油高h(cm)313233343536显示油量V（L）813.47850.52887.95925.75963.901002.37显示油高h(cm)373839404142显示油量V（L）1041.161080.251119.621159.261199.1

41、51239.28显示油高h(cm)434445464748显示油量V（L）1279.631320.191360.941401.881442.981484.25显示油高h(cm)495051525354显示油量V（L）1525.651567.181608.831650.581692.421734.34显示油高h(cm)555657585960显示油量V（L）1776.331818.371860.4581902.571944.711986.85显示油高h(cm)616263646566显示油量V（L）2028.982071.12113.192155.242197.232239.17显示油高h(cm

42、)676869707172显示油量V（L）2281.022322.792364.462406.022447.452488.75显示油高h(cm)737475767778显示油量V（L）2529.92570.892611.712652.352692.792733.02显示油高h(cm)798081828384显示油量V（L）2773.022812.792852.322891.582930.562969.25显示油高h(cm)858687888990显示油量V（L）3007.643045.713083.443120.833157.843194.48显示油高h(cm)919293949596显示油量

43、V（L）3230.713266.533301.913336.833371.283405.23显示油高h(cm)979899100101102显示油量V（L）3438.673471.573503.903535.643566.773597.25显示油高h(cm)103104105106107108显示油量V（L）3627.053656.153684.503712.063738.803764.67显示油高h(cm)109110111112113114显示油量V（L）3789.623813.583836.493858.283878.863898.11显示油高h(cm)115116117118119120显示油量V（L）3915.9