全国高中数学联赛试卷及答案

1、二。一年全国高中数学联合竞赛题(10 月 4 日上午 8: 009: 40)题号一一三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题(15个小题)，全卷满分150分。2 、用圆珠笔或钢笔作答。3 、解题书写不要超过装订线。4 、不能使用计算器。一、 选择题(本题满分 36分，每小题6分)本题共有6个小是题，每题均给出(A) (B) (C) ( D)四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将 正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a 2+

2、2=0,x C R的子集的个数为(A) 1(B) 2(C) 4(D)不确定2、命题1:长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2:长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3:长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有(A) 0 个(B) 1 个(C) 2 个(D) 3 个3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y二|ctgx|, y=lg|sinx|中以 为周期、在(0, 一)上单调递增的偶2函数是(A) y=sin|x|4、如果满足/ ABC=60 ,(D) y=lg|sinx|k的取值范围是(B) y=cos|x|(C) y=|ctgx|AC=1Z BCu

3、4q/ABC恰有一个，那么(A) k=8 33(B) 0<k< 12( C) 2( D) 0vkW12 或 k8732、 100020005 .育(1+x + x ) 的展开式为 a o+a i x + a 2x2+ + a 2000 x , 贝 U a 0 + a 3+ a 6 + a 9+ + a 1998 的值为().(A) 3333(B) 3666(C) 3999(D) 320016 .已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是().(A) 2枝玫瑰价格高(B) 3枝康乃馨价格高(C

4、)价格相同(D)不确定二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7 .椭圆p = 1/ ( 2 c o s。)的短轴长等于 .8、若复数 zi,z 2满足忆 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2= - -I,贝U ziZ2=。29、正方体 ABCD-AB1GD1的棱长为1 ,则直线 AG与BD1的距离是 。1 I 13_10、不等式一1 23的解集为。log 1 x 211、函数 y X Jx2 3x 2的值域为 。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。 现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。二、解答题（本题满分

5、60分，每小题20分）22_213、设an为等差数列,bn为等比数列，且b1a1,b2a2 ,b3a3(a1<a2),又lim （b b2bn） J2 1 ,试求an的首项与公差。n214、设曲线G： ） y2 1 （a为正常数）与G:y 2=2（x+m）在x轴上方公有一个公共点 P。 a（1）求实数m的取值范围（用a表示）；（2）。为原点，若。与x轴的负半轴交于点 A当0<a<1时，试求力OAP勺面积的最大值（用a表示）。 215、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、as>a6、（ a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如

6、图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。二。一年全国高中数学联合竞赛加试试题(10 月 4 日上午 10: 0012: 00)学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。、（本题满分50分）如图：/ABC中，。为外心，三条高 AR BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M FD和AC交于点N。求 证：（1） OBL DF, OCL DE; （2） OHL MN、（本题满分50分）21 k jn1,求xi的最大值与最小值。i 1n2设 Xi>0(I=1,2,3,，n)且 xi

7、1三、（本题满分50分）每个正方形的边均平行于矩形的相应边,将边长为正整数 m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,试求这些正方形边长之和的最小值。2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准.选择题：CBDDCA1.已知a为给定的实数，那么集合乂= x | x之一3x a 2 + 2=0, x C R的子集的个数为（）.A. 1 B . 2 C. 4 D.不确定讲解：M表示方程x之一3x a 2 + 2=0在实数范围内的解集.由于 A= 1 + 4a 2>0,所以M含有2个 元素.故集合M有 2, = 4个子集，选C.2 .命题1 :长方体中，必存在到各顶点距高相等的点.

8、命题2:长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3:长方体中，必存在到各个面距离相等的点.以上三个命题中正确的有（）.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确.对于命题 2和命题3, 一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点.因此，本题只有命题1正确，选B .3 .在四个函数 y = sin|x|、y = cos|x|、y=|ctgx|、y=lg|sinx| 中，以兀为周期、在（0,兀/2）上单调递增的偶函数是（）.A.y=sin|x|B.y = cos|x|C.y=|ctgx|D. y=lg|

9、sinx|讲解：可考虑用排除法.y = s 1 n | x |不是周期函数（可通过作图判断） ，排除A; y = c o s |x |的最小正周期为 2兀,且在（0,兀/ 2）上是减函数，排除B ; y = | c t g x |在（0,兀/ 2）上是减函数，排除C.故应选D.4 .如果满足/ABC= 60° , AC= 12, B C = k的 A B C恰有一个，那么k的取值范围是 （）.A. k 8J3B . 0vk < 12D. 0V k W 12 或 k 8J3讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知,应选结论D .说

10、明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除A、B、C.5 . 若 （1+x + x 2） 1000 的展开式为 a o+a ix + a 2x2+& 2000 x 2000 ,贝 U a o+a 3+ a 6 + a 9+ '"-ha, 1998的值为（）.A. 3 333 B , 3666C , 3999D , 32001讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法.取 3 = ( 1/2) + (令x = 1 ,得C10003 =a o+a i + a 2+a 3+ a 2000；令x = 3 ,得n1 -1 -2 1

11、1 -2000.0=a o+h 1co+a 2C0 十 十 a 2000 co ,40002000 CO令X = 3 ;得0= a o+a 1 co +a 2co +a 3co + +a三个式子相加得1998).选c.31000 = 3(3 o+a 3+a 6+a999 ao+a 3+a 6+ +a 1998= 3,6.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于 24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于 22元，则2枝玫瑰的彳格和 3枝康乃馨的价格比较，结果是().A. 2枝玫瑰价格高B . 3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定讲解：这是一个大小比较问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y

12、元，则由题设得，6 X3 Y247 X5 丫22问题转化为在条件、的约束下，比较 2x与3y的大小.有以下两种解法：解法1:为了整体地使用条件、，令 6x+3y = a, 4x+5y = b,联立解得x = (5a3b) /18, y= (3b2a) /9. .2x 3y= -= ( 11a 12b) /9.v a >24, b < 22, .11 a 12b >11X24 12X22= 0.2 x > 3y ,选 A .解法2:由不等式、及x> 0、y>0组成的平面区域如图 1中的阴影部分(不含边界).令2x 3 y = 2 c ,则c表示直线1:2x 3

13、y = 2c在x轴上的截距.显然，当1过点(3, 2)时，2 c有最小值为 0.故 2x 3y>0,即 2x>3y,选A.说明：(1)本题类似于下面的 1983年一道全国高中数学联赛试题：已知函数乂= f (x) = a x 之一c 满足：一4W f ( 1) w 1 , -1< f ( 2) W5,那么 f ( 3)应满 足().A. 7Wf(3)W26B. -4< f ( 3)<15C . 1 wf(3)w 20D. - 28/3W f( 3) w 35/ 3(2)如果由条件、先分别求出x、y的范围，再由 2x y的范围得结论，容易出错.上面的解法1运用了整体

14、的思想，解法 2则直观可靠，详见文1，二.填空题7,也3_301372 .i13102(0,1) (1,27)(4,)1131,2) 2,)127327.椭圆p =1/ (2 c o s 8 )的短轴长等于讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率6和焦参数P(焦点到相应准线的距离)的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长.(0) a c 1解法1：由 ()a c 1/3得a =2/3,从而 b =,故 2b =2222解法 2:由 e = c/a=1/2, p = b /c = 1 及 b = a c，得b = .从而 2b = 2且.33说明：这是一道符合教学大纲而超出

15、高考范围的试题.8.若复数 z 1、z 2 满足 | z 1 | =2, | z 3 | =3, 3zi - 2z2 = (3/2) - i,则 z i - z2 = 讲解：参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符 合学生的思维特点，而且也不繁.令 Zi=2(cosa+i s ina) , z 2 = 3(cos0+i s in。),则由 3 z i 2z 2= (3/2) i及复数相等的充要条件，得6 (coscos) 3/26 (sinsin 1即12sin()/2)sin()/2) 3/212cos()/2)sin()/2) 1二式相除，得tg(a + B)

16、 / 2) =3/2.由万能公式，得sin (a + B)= 12/13, cos (a + B) =- 5/13.故 Zi Z2=6cos (a + B) + i s i n (a + 0)=(30/13) + ( 72/13) i .说明：本题也可以利用复数的几何意义解.9 .正方体AB CD A i B i C1i的棱长为1,则直线A i C i与BD i的距离是讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法.图2为了保证所作出的表示距离的线段与A】C】和B D】都垂直，不妨先将其中一条直线置于 另一条直线的垂面内.为此，作正方体的对角面B DDiBi,则AiC

17、i，面BDD iBi,且B D 1 匚面 B DD 1 B 1 .设 A i C i A B i D i = 0,在面 B DD i B i 内作 O H±B D i,垂足为 H , 则线段OH的长为异面直线A 1。1与81)1的距离.在Rt/XBB 1D1中，OH等于斜边BD i上高的一半，即OH= &/6.10 .不等式 | ( 1/ 1 o g lx) + 2 | >3/2 的解集为:讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得1 og 1/2X <2,或2/7< 1 0 g 1/2X <0,或 1 0 g 1/2 X >0.从而 X &

18、gt; 4,或 1< X < 22 7,或 0< X < 1.11 .函数y = x+ J六一为+2的值域为：讲解：先平方去掉根号.由题设得(y x) 2=x? 3x + 2,则乂 = (y 2 2) / (2y3).由y>x,得y> (y , 2) / ( 2 y 3) .解得 1&y<3/2,或y>2.由于Jr一3五十2能达到下界0,所以函数的值域为1, 3/2) U 2, +oo).说明：(1)参考答案在求得10丫<3/2或丫2后，还用了较长的篇幅进行了一番验 证，确无必要.(2)本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，

19、读者不妨一试.图312.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图 3),要求同一块中种同一种植物，相邻的两 块种不同的植物.现有 4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案.讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按间隔三块A、 C、E种植植物的种数，分以下三类.(1)若A、C、E种同一种植物，有4种种法.当A、C、E种植后，B、D、E可从剩余的三种植物中各选一种植物(允许重复)，各有3种方法.此时共有 4X 3X3X3= 108种方法.(2)若A、C、E种二种植物，有P /种种法.当A、C、E种好后，若A、C种同一种，则B有3种方法，D、F各有2种方法；若C

20、、E或E、A种同一种，相同(只是次序不同).此时共有P JX3 (3X2X2) = 432种方法.(3)若A、C、E种三种植物，有P J种种法.这时B、D、F各有2种种方法.此时共有P Jx2X2X2 = 192种方法.根据加法原理，总共有?= 108+ 432+ 192 = 732种栽种方案.说明：本题是一个环形排列问题.三.解答题13.设所求公差为d, - 3i<32,d>0.由此得a；(a1 2d)2 * (a1 d)4化简彳导:2a2 4a1d d2 0解得：d ( 2 V2)a1 5 分而 2 版 0,故aK02a2若 d ( 2 J2)a1，贝U q 今 (*2 1)2

21、a12若d （ 2 ”万问，则q:（屹1）2a110分但 lim (b1b2nbn）版1存在，故| q | <1,于是q （后1）2不可能.2从而 a12.2 1a；(2,22)(. 2 1) 21 ( 2 1)2所以 a1. 2 , d ( 2 .2)a1 2.2 220分10分消去 y 得：x 2a2x 2a2m a2设 f(x) x2_ 22a2x2a2m a2,问题（1）化为方程在x （ a, a）上有唯一解或等根.只需讨论以下三种情况：1tla212” 一，“21 = 0得:m ,此时xp=a,当且仅当一a< a <a,即0va<1时适合；22 °

22、f ( a) f ( - a) < 0,当且仅当一a< nK a;3 ° f ( 2)=0得)= a,此时 xp=a2a：当且仅当一ava2a2va,即 0vav1 时适合. f (a) = 0得m= a,此时 xp= a2a1由于一a2a2v a,从而 m a.综上可知，当时，m 一或一a；当 a> 1 时，一a< m< a.1(2) OAP勺面积 S ayD2 p.1 0< a< ，故一av me a 时，0V a2 aVP""1 _2m < a 2由唯一性得xpa2 a a2 1 2mp一,一',xP显

23、然当m= a时，Xp取值取小.由于 xp>0,从而yp= 一 取值最大，此时yp 2Ja a , , aa 1.2.21.2当 m 时，xp= a , yp= # a ,此时 S -aW a .22下面比较 a JOa2与 1ad了 的大小：2令 a ja了 la Jia2，得 a 2 3故当0V aw 时，aJaa2w a1a2,此时Smax-a1a2.3 22112122当一a 时，a v a aa V1 a ,此时 Smax a a a . 20分32215.解:任意排列时，设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为 Bg,当R i = ai=3,Rg最小 5分4,5, 6, R、R 是

24、 a1、a2 的0 2证明如下:1 .设当两个电阻 R、R并联时，所得组件阻值为111R,则 .故交换二电阻的位置，不改R R1 R2R>R.2 .设3个电阻白组件（如图1）的总电阻为 RbR1R2rrrrR2R3RabR3R1R2R1R2显然R+ R越大，RAb越小，所以为使 RAb最 小必须取 R为所取三个电阻中阻值最小的一个.3 .设4个电阻白组件（如图2）的总电阻为 RdIaaaa/?!-AAAA/1若记S1S21 iRRRk ,则S、S2为定值，于 j k 4曰S2R1R2R3TE RCD-二_ _ _S1R3 R4即得总电阻的阻值最3°必需使RvR;且20分40对于

25、图3把由R、R、R组成的组件用等效电阻 Rb代替.要使 Rg最小，由 由1°应使R3E最小.由2 知要使 Re最小，必'需使 F5VR,且应使 Rd最小.而由3° ,要使Kd最小，应使Rv RvR且RvRvR, 这就说明，要证结论成立一.证明：(1) A、C D F四点共圆只有当 RR最小，RRR最大时， Rd最小，故应取 RvR, RvR, RvR, 小 15分 / BDM / BAC- 1。，“。，又/ OBC= (180 -Z BOC = 90 -Z BAC 2. OBL DF.(2) . CFL MA .mc2-mh2=ac2-ah2. BEL NAnb2-

26、nh2=ab2-ah2. DAL BCbd2-cd2=ba2-ac2OBL DFBN2 BD2=OMOD2. OCL DE .CM CD2=OMiOD2 30分+，得NH2-MH2= ON'-OMi MO MHf= NO2-NH2 .OHLMN 50分 另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，aa设 A(0, a), Rb, 0), Qc, 0),则 kAc , kABcbac，直线AC的方程为y -(x c),直线BE的方程为y -(x b) cac-(X b) a得E点坐标为E(2.2a c bca /(x c) c2 ac2 a同理可得F(2,2a bab22 a直线

27、AC的垂直平分线方程为直线BC的垂直平分线方程为-(x ac2)bc a2kOB2ab cb2bcac ab,kOB kDF1OBL DF同理可证OCL DE在直线BE的方程ybc a22a直线DF的方程为c2TkDFab acacxa一(x cc)同理可得a2bc-(x a2)bc上)2a,2.ab abc2 2a b b cabaca2 bcc ,、一 .一一(x b)中令 x= 0得 H(0 , abc) abcab-2 aa2 3bcab acac xbcb2c2_2a 2bc ba(b2c2)(a22,2a c bc22 ,a 2bc cabc ac2-2 Z 2 ) a 2bc c

28、abc ab2a2 2bcbc)(c b)(a2 bc)(a2 3bc)kMN=- 1,OHL MNn二.解：先求最小值，因为(为)2b2ab ac3bcXkXj21 k j nnxii 1等号成立当且仅当存在i使得X = 1, xj = 0, j = in10分Xi最小值为1.i 1再求最大值，令Xkn2kykk 1kykyjj nXky1y2令 y2 1ynyna1a2ynan则？2a22an30分k(ak ak 1)n J!k akk 1k ak 1k 1n(-k , k 1)akk 1由柯西不等式得:11)22(1a2)T1k 1)2 广2an2a12a22an2akakn(-kk 1.k 1)2户(k=1,2,，n)日,从而ykakak2.k (.k 1. k 1)(.k . k 1)2广k 10,Xk> 0n所求最大值为k 1-2 4(.