高一数学必修一重难点讲解

1、高中必修一一些重点函数值域求法十一种2复合函数9一、复合函数的概念9二、求复合函数的定义域：9复合函数单调性相关定理10函数奇偶性的判定方法10指数函数：12幂函数的图像与性质15函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解：故函数的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8 3. 判别式法 例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：

2、（2）当y=1时，而故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反

3、函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为： 5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为 7.

4、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解：令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解：由，可得故可令当时，当时，故所求函数的值域为： 8. 数形结合法其题型是函数解析式具

5、有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴

6、上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。 9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且

7、仅当即当时，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为： 10. 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

8、的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。复合函数一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f g ( x ) 叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在

9、条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。二、求复合函数的定义域：（1）若f(x)的定义域为a x b,则f g ( x ) 中的a g ( x ) b ，从中解得x的范围，即为f g ( x )的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为 0 ， 1 ，求f (

10、2x + 1 )的定义域。 答案： -1/2 ，0 例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。 答案： -1 ，1（2）若f g ( x ) 的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。 答案： 1 ，3 （3）由f g ( x ) 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f h ( x ) 的定义域。例4、已知f ( x + 1 )的定义域为-2 ，3,求f ( 2x 2 2 ) 的定义域。 答案：-

11、3/2 ，-33/2 ，3三、求复合函数的解析式。1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1 设是一次函数，且，求解：设 ，则2、 配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 3、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例3 已知，求解：令，则， 复合函数单调性相关定理1、引理1 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u

12、)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使ax1x2b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.2、引理2 已知函数y=fg(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数

13、y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使ax1x2b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.3、总结同增异减函数奇偶性的判定方法1定义域判定法例1判定的奇偶性（非奇非偶）2定义判定法f(x)与f（-x）关系例2判断的奇偶性（偶）3等价形式判定法例3判定的奇偶性（奇）评注：常用等价变形形式有：

14、若或，则为奇函数；若或，则为偶函数（其中）4性质判定法例4若，是奇函数，是偶函数，试判定的奇偶性评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶函数的和、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数5、练习（1）.()函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ (,1（2）()若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在x2,+上单调递增，则b的取值范围是_(,0）_.(1)令t=|x+1|,则t在(,1上递减，又y=f(

15、x)在R上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减. (2)f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+单调递增，故a>0.又知0x1x,得x1+x2>0,b=a(x1+x2)0.2.奇偶性记F(x)=fg(x)复合函数，则F(-x)=fg(-x)， 如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) => F(-x)=f-g(x)， 则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-fg(x)=-F(x)，F(x)是奇函数； 当f(x)是偶函数时，F(-x

16、)=fg(x)=F(x)，F(x)是偶函数。 如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) => F(-x)=fg(x)=F(x)，F(x)是偶函数。 所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。二 加减函数 1.增减性 对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增 ，减+减=减， 减+增则无定则 2.奇偶性 对于F(x)=g(x)+f(x) , 奇+奇=

17、奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则三 相乘函数 1.增减性 对于F(x)=g(x)*f(x) ,一切皆无定则.知道你会不信 ,很好 ,我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x2,有增有减. 2.奇偶性 对于F(x)=g(x)*f(x), 同样满足乘法定则(其实这名字是我取的,不要说出去,不然没人听的懂). 即 奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶 除法就不用说了,F(x)=g(x)/f(x) ,可以看成F(x)=g(x)1/f(x), 自己推.指数函数：定义：函数叫指数函数。定义域为R，底数是常数，指数是自变量。要求函数中的a必须。因为若时

18、，当时，函数值不存在。，当，函数值不存在。时，对一切x虽有意义，函数值恒为1，但的反函数不存在，因为要求函数中的。1、对三个指数函数的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于x轴上方；（1）x取任何实数值时，都有；（2）图象都经过点（0，1）；（2）无论a取任何正数，时，；（3）在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，的图象正好相反； （3）当时， 当时，（4）的图象自左到右逐渐上升，的图象逐渐下降。（4）当时，是增函数，当时，是减函数。对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的

19、图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。与的图象关于y轴对称。通过，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数：定义：如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作（a是底数，N 是真数，是对数式。）由于故中N必须大于0。当N为零的负数时对数不存在。（1）对数式与指数式的互化。由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：求 解：设评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。如求中的，化

20、为对数式即成。（2）对数恒等式：由将（2）代入（1）得运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。计算： 解：原式。（3）对数的性质：负数和零没有对数；1的对数是零；底数的对数等于1。（4）对数的运算法则：3、对数函数：定义：指数函数的反函数叫做对数函数。1、对三个对数函数的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质（1）图象都位于 y轴右侧；（1）定义域：R+，值或：R；（2）图象都过点（1，0）；（2）时，。即；（3），当时，图象在x轴上方，当时，图象在x轴下方，与上述情况刚好相反；（3）当时，若，则，若，则；当时，若，则，若时，则；（4

21、）从左向右图象是上升，而从左向右图象是下降。（4）时，是增函数；时，是减函数。对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是与在点（1,0）曲线是交叉的，即当时，的图象在的图象上方；而时，的图象在的图象的下方，故有：；。（2）的图象与的图象关于x 轴对称。（3）通过，三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作的图象，它一定位于和两个图象的中间，且过点（1,0），时，在的上方，而位于的下方，时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式：由换底公式可得：由换底公式

22、推出一些常用的结论：（1） （2）（3）（4）5、指数方程与对数方程*定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称题型解法基本型同底数型不同底数型需代换型取以a为底的对数取以a为底的对数取同底的对数化为换元令转化为的代数方程对数方程的题型与解法：名称题型解法基本题对数式转化为指数式同底数型转化为（必须验根）需代换型换元令转化为代数方程幂函数的图像与性质一、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数

23、，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）1、 幂函数的图像与性质幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握，当的图像和性质，列表如下从中可以归纳出以下结论： 它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限 时，幂函数图像过原点且在上是增函数 时，幂函数图像不过原点且在上是减函数 任何两个幂函数最多有三个公共点奇函数偶函数非奇非偶函数OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyxOy例1、 右图为幂函数在第一象限的图像

24、，则的大小关系是（ ） 解：取，由图像可知：，应选三两类基本函数的归纳比较： 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数（0且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.性质对数函数的性质：定义域：（0，+）；值域：R；过点（1，0），即当=1，=0；在（0，+）上是增函数；在（0，+）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+）都有定义，图象都过点（1，1）0时，幂函数的图象都通过原点，在0，+上，、是增函数，在（0，+）上， 是减函数。例1已知函数，当 为何值时，：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的

25、增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）或（2）（3）（4）（5）变式训练：已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：解得：小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。例2比较大小：（1） （2）（3）（4）解：（1）在上是增函数， （2）在上是增函数，（3）在上是减函数，；是增函数，；综上， （4），例1 求下列函数的单调区间： y=log4(x24x+3)解法一：设 y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原复合函数的定义域为x1或x3.当x(，1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u

26、为增函数，所以(，1)是复合函数的单调减区间；当x(3，±)时，u=x24x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+)是复合函数的单调增区间.解法二：u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2 (u减)解得x1.所以x(，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x2)21的单调性与复合函数的单调性一致，所以(，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(复合函数定义域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)是复合函数的单调增区间.例2 求下列复合函数的单调区间： y=log (2xx2)解： 设 y=logu,u=2xx2.由 u0 u=2xx2解得原复合函数的定义域为0x2.由于y=logu在定义域(0，+)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2xx2的单调性正好相反.易知u=2xx2=(x1)2+1在x1时单调增.由 0x2 （复合函数定义域） x1，(u增)解得0x1,所以(0，1是原复合函数的单调减区间.又u=(x1)2+1在x1时单调减，由 x2， (复合函数定义域) x1， (u减)解得1