高一数学函数一二次函数知识点及测试题

1、高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题一次函数二次函数知识点：一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k0）二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数） 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x

2、轴和y轴的交点） 2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。 3k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限； 当b=0时，直线通过原点 当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：

3、 已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。 （2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和 y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式：（不全，希望有人补充） 1.求函数图像的k值：（y1-y2

4、)/(x1-x2) 2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和） 二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=a

5、x2+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k 抛物线的顶点P（h，k）交点式：y=a(x-x)(x-x ) 仅限于与x轴有交点A（x ，0）和 B（x，0）的抛物线注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x,x=(-b±b2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2

6、.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当= b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数= b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b

7、2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±b24ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式顶点坐标对 称 轴y=ax2(0，0)x=0y=a(x

8、-h)2(h，0)x=hy=a(x-h)2+k(h，k)x=hy=ax2+bx+c(-b/2a，4ac-b2/4a)x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个

9、单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了这给画图象提供了方便 2抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a) 3抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a>0，当x

10、-b/2a时，y随x的增大而减小；当x -b/2a时，y随x的增大而增大若a<0，当x -b/2a时，y随x的增大而增大；当x -b/2a时，y随x的增大而减小 4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x| 当=0图象与x轴只有一个交点； 当<0图象与x轴没有交点当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图

11、象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0 5抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0) (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x

12、)(a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现二次函数1解析式、待定系数法若，且，求的值变式1：若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则 A B C D变式2：若的图像x=1对称，则c=_变式3：若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点、，且，试问该二次函数的图像由的图像向上平移几个单位得到？2图像特征将函数配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像变式1：已知二次函数，如果(其中)，则 A B C DxyO变式2：函数对任意的x均有

13、，那么、的大小关系是 A B C D变式3：已知函数的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_3）单调性已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值变式1：已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是 A B C D变式2：已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_变式3：已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围4最值已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值变式1：已知函数在区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 A B C D变式2：若函数的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于_变式3：已知函数在区间0,2上的最小值为3，

14、求a的值5奇偶性已知函数是定义在R上的奇函数，当0时，画出函数的图像，并求出函数的解析式 变式1：若函数是偶函数，则在区间上是 A增函数 B减函数 C常数 D可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数是偶函数，则点的坐标是_变式3：设为实数，函数，(I)讨论的奇偶性；(II)求的最小值6（北师大版第64页A组第9题）图像变换已知(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值变式1：指出函数的单调区间变式2：已知函数给下列命题：必是偶函数； 当时，的图像必关于直线x=1对称； 若，则在区间a，上是增函数；有最大值 其中正确的序号是_变式3：设函数给出下列4个命题： 当

15、c=0时，是奇函数； 当b=0，c>0时，方程只有一个实根； 的图象关于点（0，c）对称；方程至多有两个实根 上述命题中正确的序号为 7（北师大版第54页A组第6题）值域求二次函数在下列定义域上的值域：(1)定义域为；(2) 定义域为变式1：函数的值域是 A B C D 变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是_变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a 0），满足条件 f (1 + x) = f (1x)，且方程 f (x) = x 有等根(1)求 f (x) 的解析式；(2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域

16、和值域分别为 m,n 和 3m,3n，如果存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由8（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题当具有什么关系时，二次函数的函数值恒大于零？恒小于零？变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) (I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围变式2：已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 a、b 为何实数，恒有 f (sin a )0，f (2 + cos b )0(I) 求证：b + c =

17、1；(II) 求证： c3；(III) 若函数 f (sin a ) 的最大值为 8，求 b、c 的值9（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系右图是二次函数的图像，它与x轴交于点和，试确定以及，的符号变式1：二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为 DCxyOxyOOOxyxyAB变式2：直线与抛物线中至少有一条相交，则m的取值范围是变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 Î R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2(I)若 x1 &l

18、t; 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；(II)若 | x1 | < 2 且 | x1x2 | = 2，求 b 的取值范围10（北师大版第52页例3）应用绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？变式1：在抛物线与x轴所围成图形的内接矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数变式

19、2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）(1) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？变式3：设a为实数，记函数的最大值为g(a) （）求g(a)；（）试求满足的所有实数a二次函数答案1（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法变式1： 解：由题意可知，解得，故选D变式2： 解：由题意可知，

20、解得b=0，解得c=2变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为，展开得，即，解得所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的，它的解析式是，即2（北师大版第52页例2）图像特征变式1： 解：根据题意可知， ，故选D变式2： 解：，抛物线的对称轴是，即，、，xyO故有，选C变式3： 解：观察函数图像可得： a>0(开口方向)； c=1(和y轴的交点)； (和x轴的交点)；()； (判别式)； (对称轴)3（人教A版第43页B组第1题）单调性变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，解得，故选D变式2：解：函数在区间(

21、,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，即变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，已知函数在上是单调函数，区间应在直线的左侧或右侧，xyO即有或，解得或4（人教A版第43页B组第1题）最值变式1： 解：作出函数的图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，m的取值范围是，故选C变式2： 解：函数有意义，应有，解得， Þ Þ ，M=6，m=0，故M + m=6变式3： 解：函数的表达式可化为 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾当，即时，是

22、最小值，依题意应有，解得，又，为所求当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又，为所求综上所述，或5（人教A版第43页A组第6题）奇偶性变式1： 解：函数是偶函数 Þ Þ ，当时，是常数；当时，在区间上是增函数，故选D变式2：解：根据题意可知应有且，即且，点的坐标是变式3： 解：（I）当时，函数，此时，为偶函数；当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当时，若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为，且（ii）当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且，若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最

23、小值为；当时，函数的最小值为6（北师大版第64页A组第9题）图像变换变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间xyxO当时，当时，作出函数图像，由图像可得单调区间在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以是不正确的；若则，满足，但的图像不关于直线x=1对称，所以是不正确的；若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，在区间a，上是增函数，即是正确的；显然函数没有最大值，所以是不正确的变式3： 解：，(1)当c=0时，满足，是奇函数，所以是正确的；(2)当b=0，c>0时，方程即 或 ，显然方程无解；方程的唯一解是 ，所以

24、是正确的；(3)设是函数图像上的任一点，应有，而该点关于（0，c）对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以是正确的； (4)若，则，显然方程有三个根，所以 是不正确的7（北师大版第54页A组第6题）值域变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，注意到函数定义不包含，所以函数值域是变式2：解： y= cos2x+sinx=2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î 1,1，则y=2t2+t+1，其中tÎ 1,1，y Î 2, ，即原函数的值域是2, 变式3： 解：(I) f (1 + x) = f (1x)， =

25、 1，又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b1) x = 0 有等根， = (b1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = ， f (x) = x 2 + x(II) f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，1° 当 m1 时，f (x) 在 m,n 上是减函数，3m = f (x)min = f (n) = n 2 + n(*)， 3n = f (x)max = f (m) = m 2 + m，两式相减得：3 (mn) = (n 2m 2) + (nm)，1m < n，上式除以 mn 得：m + n = 8，

26、代入 (*) 化简得：n 28n + 48 = 0 无实数解2° 当 n1 时，f (x) 在 m,n 上是增函数，3m = f (x)min = f (m) = m 2 + m， 3n = f (x)max = f (n) = n 2 + n，m = 4，n = 03° 当 m1n 时，对称轴 x = 1 Î m,n，3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 与 n1 矛盾综合上述知，存在 m = 4、n = 0 满足条件8（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x

27、2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R，应有 Þ a > 1，实数 a 的取值范围是(1,+¥) (II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值1° 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；2° 当 a 0 时，应有 Þ 0 < a1实数 a 的取值范围是0,1 变式2： 解法一：(转化为最值)在上恒成立，即在上恒成立， ；，综上所述解法二：（运用根的分布） 当，即时，应有， 即，不存在；当，即时，应有，即，；当，即时，

28、应有，即 ， 综上所述变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)0，f (2 + cos p) = f (1)0，f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = 1，(II)由 (I) 得： f (x) = x 2(c + 1) x + c (*)f (2 + cos b )0 Þ (2 + cos b ) 2(c + 1) (2 + cos b ) + c0Þ (1 + cos b ) c(2 + cos b )0，对任意 b 成立1 + cos b 0 Þ c2 + cos b ，c(2 + c

29、os b )max = 3(III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a(c + 1) sin a + c，设 t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t 2(c + 1) t + c，1t1，这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ，由 (II) 知：t= 2， g(t) 在 1,1 上为减函数 g(t)max = g(1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， c = 3 b = c1 = 49（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系变式1： 解：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函数图象知同号，而由中一次函数

30、图象知异号，互相矛盾，故舍去又由知，当时，此时与中图形不符，当时，与中图形相符变式2： 解：原命题可变为：求方程，中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，即得所求解不等式组得 ，故符合条件的取值范围是或变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = ，g(x) = f (x)x = a x 2 + (b1) x + 1，a > 0，由x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2，g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ >

31、; 1 Þ > ，即 m > (II) = (b1) 24a > 0 Þ (b1) 2 > 4a， x1 + x2 = ，x1x2 = ，| x1x2 | 2 = (x1 + x2) 24x1x2 = () 2= 2 2，(b1) 2 = 4a + 4a 2(*)又| x1x2 | = 2， x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，要 g(x) = 0 有一根属于 (2,2)，则 g(x) 对称轴 x = Î (3,3)， 3 < < 3 Þ a > | b1 |，把代入 (*) 得：(b1) 2 > | b1 | + (b1) 2，解得：b < 或 b > ， b 的取值范围是：(¥, )( ,+¥)10（北师