随机变量的数字特征VIP

1、第四章 随机变量的数字特征一考研内容提要1随机变量的数学期望及性质（1）离散型随机变量及其函数数学期望的定义；（2）连续型随机变量及其函数数学期望的定义；（3）性质：（i）线性性质：设、是随机变量，为常数，则；（ii）若、相互独立，则2随机变量的方差及性质（1）随机变量方差及标准差的定义；（2）性质（i）设是常数，则，特别地 （ii）若、相互独立，则（可推广到有限的情形）3重要分布随机变量的期望和方差（1）分布：，（2）二项分布：，（3）Poisson分布：，（4）几何分布：，（5）超几何分布：，（6）均匀分布：，（7）正态分布：，（8）指数分布：，4二维随机变量的协方差、相关系数和不相关（1

2、）协方差、相关系数和不相关的定义：（2）性质：（i）协方差的性质： ；。（ii）相关系数的性质： ； 若、相互独立，则；反之不然。 5矩的概念和关系6正态分布的几个重要结果（1）设、相互独立，且都服从正态分布，则、的任一线性组合（不全为零）仍服从正态分布，且 ；（2）服从二维正态分布。则、不相关、相互独立；（3）服从二维正态分布对于任意不全为零常数，服从一维正态分布；（4）设、相互独立，且都服从正态分布，则服从二维正态分布；（5）若一多维随机变量是另一多维正态随机变量的线性变换，则该多维随机变量是多维正态随机变量。二考研题型解析1选择题例1 已知随机变量服从二项分布，则二项分布的参数的值为 （

3、 ）。（A） （B） （C） （D） 解 应选（B）。例2 已知离散型随机变量的可能取值为，则对应于的概率为（ ）。（A） （B） （C） （D）解 应选（A ）。例3 设随机变量的分布函数为，其中为标准正态的分布函数，则（ ）。（A）0 （B） （C） （D）1解 应选（C）。例4 设随机变量独立同分布，且方差，令，则（ ）。（A） （B） （C） （D）解 应选（A）。例5 设随机变量和独立同分布 ，记 ，则随机变量和（ ）。（A）不独立 （B）独立 （C）相关系数不为零 （D）相关系数为零解 应选（D ）。例6 设随机变量和的方差存在且不等于零，则是和（ ）。（A）不相关的充分条件，但不

4、是必要条件 （B）独立的充分条件，但不是必要条件（C）不相关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件解 应选（C）。例7 设随机变量与独立同服从上的均匀分布，则（ ）。（A） （B） （C） （D）解 应选（C）。例8 设随机变量，且相关系数，则（ ）。（A） （B） （C） （D） 解 应选（D）。例9 设随机变量与相互独立，且与存在，记，则（ ）。(A) (B) (C) (D)解 应选(B)。由于，因此故选(B)。例10 将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）。(A) (B) (C) (D)解 应选(D)。设分别表示所截成两段木棒的长度，则，即，从而，故选(D)。例

5、11 设连续型随机变量与相互独立，且方差存在，其概率密度分别为与。随机变量的概率密度为，随机变量。则（ ）。 (A) (B) (C) (D) 解 应选(D)。由于因此又与相互独立，且方差存在，故由于，事实上假设，则，从而，即，不是不相关，这与，相互独立矛盾，因此，从而，故选(D)。2填空题例1 已知随机变量的概率密度函数为，则的期望为 ，方差为 。解 应填。例2 设表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射击目标的概率为，则的数学期望 。解 应填。例3 设随机变量，且已知，则 。解 应填。例4 设随机变量服从参数为的指数分布，则 。解 应填。例5 设一次试验成功的概率为，进行100次独立重

6、复试验，当 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。解 应填，。例6 设随机变量，且，则 ； 。解 应填，。例7 设随机变量的概率密度为，已知，则 ， ， 。解 应填12，12，3。例8 投掷枚骰子，则出现点数和的数学期望为 。解 应填。例9 设，则 。解 应填。例10 设和是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望 ；方差 。解 应填， 。因为和是两个相互独立同服从正态分布，因此，从而，于是，又，所以。例11 设随机变量服从标准正态分布，则 。解 应填。由于的概率密度为，因此例12 设随机变量独立同分布，则行列式的数学期望 。解 应填0。例13 设随机变量的概率分布为，

7、则 。解 由于，故，从而的分布律为即服从参数为1的Poisson分布，故，于是。例14 设的联合分布律为 0100.070.180.1510.080.320.20则 ， 。解 应填，。例15 设二维随机变量服从，则 。解 由于，因此相互独立，且，从而。3.解答题例1 设是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为，又设，（i）写出二维随机变量的联合分布律；（ii）求出随机变量的数学期望。 解 （i）和的可能取值为。由于总有，故故的联合分布律为 12310033（ii）由（i）中的联合分布律可得的边缘分布律123故的数学期望。例2 设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，

8、而经销商店进货数量为区间中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小的进货量。解 设进货量为，则利润为期望利润依题意，有，解之得，故最小进货量为21单位。例3 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件不合格品，乙箱中仅有3件合格品，从甲箱中任取3产品放入乙箱后，求：（i）乙箱中次品件数的数学期望；（ii）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。解 （i）的可能取值为0，1，2，3，的概率分布为，即0123故（ii

9、）设表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式，有例4 设二维随机变量的概率分布为 0101且，求（i）常数；（ii）。解 （i），由，解得；再由，得。（ii）由的概率分布可得的分布律分别为010101，故。例5 箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记为取出的红球数，为取出的白球数。（i）求随机变量的概率分布；（ii）求。解 （i）的可能取值为0，1，的可能取值为0，1，2，即的概率分布为 01201（ii）由的概率分布可得的分布律分别为0101201，故 例6 设随机变量与的概率分布分别为且。（i）求二维随机变量的概率分布；（ii

10、）求的概率分布；（iii）求与的相关系数。解 （i）由，得，所以故的概率分布为 01001（ii）的可能取值，由的概率分布可得的概率分布为（iii）由及的概率分布，得，所以，从而。例7 假设二维随机变量在区域上服从均匀分布，记，（i）求和的联合分布；（ii）求和的相关系数 。解 （i）由于二维随机变量在区域上服从均匀分布，故其联合概率密度为 和的可能取值为0，1即的联合分布律为 01001（ii）由的联合分布律得的分布律分别为010101故 从而 所以 例8 设随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数，求(i)的概率密度；（ii）；（iii）。解 (i)先求的分布函数当时，；当时，；

11、当时，；当时，。再求的概率密度时。；当时，；当时，当时，故的概率密度为（ii） ，故 。（iii）例9 设二维随机变量的概率分布为 0100.200.10.2100.1其中为常数，记，求（i） 的值；（ii）的概率分布；（iii）。解 （i） 由联合概率分布律的性质知，即由，得，即再由，即解以上关于的三个方程得（ii）的可能取值为0120.20.10.30.30.1（iii）例10 设是随机事件，且，令，求（i）的联合分布律；（ii）；（iii）分布。解 （i）的可能取值为0，1，由题设，故，即的联合分布律为 0101（ii）因为都服从分布，所以，于是，又，故，从而（iii）的可能取值为。即的

12、分布律为012例11 设随机变量的概率密度为，求（i）；（ii），问是否相关；（iii）问是否独立，为什么？解 （i）（ii）由于，所以从而不相关。（iii）由于，但，即事件与不独立，故不独立。例12 设随机变量，与的相关系数，令，求（i）；（ii）。解 （i）（ii），从而。例13 设随机变量与在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量的方差。解 设，依题设的联合概率密度为所以 同理可得 而 所以于是例14 设二维离散型随机变量的概率分布为 12012（i）求；（ii）求。解（i）由的概率分布得（ii）由的概率分布可得，的概率分布分别为012012012所以，从而，又，故。例15 设随机变量与相互独立，且都服从参数为1的指数分