高中数学必修五正弦定理

1、必修五第一章正弦定理一选择题（共14小题）1已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则b的值为（）AB2CD2已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=a（a+c），则的取值范围是（）A（0，1）BCD3在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c若asinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B等于（）ABCD4已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（）AB或CD5ABC的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则角B的大小为（）ABCD6在ABC中，a，b，c分别是角A，

2、B，C所对边的边长，若cosC+sinC=0，则的值是（）A1B+1C+1D27已知G点为ABC的重心，设ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c且满足向量，若atanA=bsinC，则实数=（）A2B3CD8在ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，c=3，且，满足题意的ABC有（）A0个B一个C2个D不能确定9在ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A0CB0CCCDC10已知ABC中，角A，B的对边分别为a，b，且，那么满足条件的ABC（）A有一个解B有两个解C不能确定D无解11数学九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名

3、的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S=现有周长为2+的ABC满足sinA：sinB：sinC=（1）：（+1），试用以上给出的公式求得ABC的面积为（）ABCD12若三角形ABC中，sin（A+B）sin（AB）=sin2C，则此三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形13在ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）Ax2Bx2CD14已知ABC中，满足b

4、=2，B=60°的三角形有两解，则边长a的取值范围是（）Aa2Ba2C2aD2a2二填空题（共6小题）15已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，a=4，b=5，c=6，则= 16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=2ctanB，且a=8，ABC的面积为，则b+c的值为 17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin（B+）=，ABC的外接圆半径为，则ABC周长的最大值为 18已知ABC中，AC=，BC=，ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使BDC=，则CD= 19如图，在ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上

5、，AD=DB，DEAB，E为垂足，若DE=2，求cosA= 20在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，b=4a，a+c=5，则ABC的面积为 三解答题（共6小题）21在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cb=2bcosA（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B22已知函数（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB=2sinC，求c23在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（）求角C；（）求的取值范围24已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求b的值；

6、（2）若，求ABC周长的取值范围25已知ABC中，D为边AC上一点，BC=4，DBC=45°（1）若CD=4，求BCD的面积；（2）若角C为锐角，AB=8，sinA=，求CD的长26已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinCbc=0（1）求A；（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求ABC的面积2018年05月04日必修五第一章正弦定理参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1（2018江西模拟）已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则b的值为（）AB2CD【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转

7、化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得：sinA=，结合sinA0，即可解得b的值【解答】解：+=，ccosB+bcosC=bc=，由正弦定理可得：sinCcosB+sinBcosC=，可得：sinA=，A为锐角，sinA0，解得：b=故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题2（2018河南一模）已知锐角三角形ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=a（a+c），则的取值范围是（）A（0，1）BCD【考点

8、】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】由b2=a（a+c）利用余弦定理，可得ca=2acosB，正弦定理边化角，在消去C，可得sin（BA）=sinA，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围【解答】解：由b2=a（a+c），利用余弦定理，可得：ca=2acosB，利用正弦定理边化角，得：sinCsinA=2sinAcosB，A+B+C=，sin（B+A）sinA=2sinAcosB，sin（BA）=sinA，ABC是锐角三角形，BA=A，即B=2A0B，A+B，（角C为锐角）那么：A，则=sinA（，）故选

9、：B【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题3（2018信阳二模）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c若asinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B等于（）ABCD【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】利用正弦定理与两角和的正弦公式，结合三角形内角和定理，求出sinB的值，即可求得角B的大小【解答】解：ABC中，asinBcosC+csinBcosA=b，由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，且sinB0，sinAcosC+si

10、nCcosA=，sin（A+C）=；又A+B+C=，sin（A+C）=sin（B）=sinB=；又ab，B=故选：D【点评】本题考查了正弦定理与两角和的正弦公式以及三角形内角和定理的应用问题，属于基础题4（2018揭阳一模）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，则角A的大小为（）AB或CD【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】直接利用正弦定理，转化求解即可【解答】解：ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=4，B=，ab则，AB，A+B，sinA=，所以：

11、A=故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力5（2017秋罗庄区期末）ABC的三内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，若，则角B的大小为（）ABCD【考点】HP：正弦定理【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；58 ：解三角形【分析】利用正弦定理化为三边关系，再由余弦定理求出cosB的值，从而求出角B的大小【解答】解：ABC中，由正弦定理得，=；b2a2=ac+c2，即c2+a2b2=ac；由余弦定理得，cosB=；又B（0，），角B的大小为故选：B【点评】本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是基础题6（2017秋寻乌县校级期末）在ABC中，a，b，c分别是角

12、A，B，C所对边的边长，若cosC+sinC=0，则的值是（）A1B+1C+1D2【考点】HP：正弦定理【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；57 ：三角函数的图像与性质；58 ：解三角形【分析】sin=2，可得C+=B+=，A，再利用正弦定理即可得出【解答】解：在ABC中，sin=2，可得C+=B+=，解得C=B=，A=，=+1故选：B【点评】本题考查了正弦定理、三角函数的函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（2017秋广西期末）已知G点为ABC的重心，设ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c且满足向量，若atanA=bsinC，则实数=（）A2B3CD【考点】HP：

13、正弦定理【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；44 ：数形结合法；58 ：解三角形；5A ：平面向量及应用【分析】连接AG，延长交AG交BC于D，由于G为重心，故D为中点，CGBG，可得DG=BC，由重心的性质得，AD=3DG，即AD=BC，利用余弦定理可得：AC2+AB2=2BD2+2CD2，即b2+c2=5a2，由atanA=bsinC，结合正弦定理，余弦定理即可计算得解【解答】解：如图，连接AG，延长交AG交BC于D，由于G为重心，故D为中点，CGBG，DG=BC，由重心的性质得，AD=3DG，即AD=BC，由余弦定理得，AC2=AD2+CD22ADCDcosADC，AB2=AD2+

14、BD22ADBDcosADB，ADC+BDC=，CD=BD，AC2+AB2=2BD2+2AD2，AC2+AB2=BC2+BC2=5BC2，b2+c2=5a2，可得：cosA=，atanA=bsinC，=故选：D【点评】本题考查了余弦定理、三角形重心性质、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（2018春宿州期中）在ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，c=3，且，满足题意的ABC有（）A0个B一个C2个D不能确定【考点】HP：正弦定理【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；58 ：解三角形【分析】由正弦定理解得sinB，即可判断三角形的个数【解答】解：，c=3，且，由

15、正弦定理可得sinB=1，由B为三角形的内角，可得B=，可得满足题意的ABC有一个故选：B【点评】本题考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题9（2018春台州期中）在ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（）A0CB0CCCDC【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题【分析】利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求得b的范围，进而利用余弦定理表示出cosC的表达式，根据b的范围求得cosC的范围，进而求得C的范围【解答】解：因为c=AB=1，a=BC=2，b=AC 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知 1b3，根据余弦定理 cosC=（a2+b2c2）=（

16、4+b21）=（3+b2）=+=（）2+所以0C30°故选：A【点评】本题主要考查了解三角形问题考查了学生分析问题的基本的推理能力10（2018春新罗区校级月考）已知ABC中，角A，B的对边分别为a，b，且，那么满足条件的ABC（）A有一个解B有两个解C不能确定D无解【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】利用正弦定理求得sinB=，可得B=，或B=，从而得出结论【解答】解：ABC中，A=30°，a=，b=2，由正弦定理可得：，即：=，得sinB=，B=，或B=，故ABC有2个解故选：B【点评】本题主要考查正弦

17、定理的应用，解三角形，属于基础题11（2017江西模拟）数学九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S=现有周长为2+的ABC满足sinA：sinB：sinC=（1）：（+1），试用以上给出的公式求得ABC的面积为（）ABCD【考点】HP：正弦定理【专题】12 ：应用题；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】由题意和正弦定理求出a：b：c，结合条件求出a

18、、b、c的值，代入公式求出ABC的面积【解答】解：因为sinA：sinB：sinC=（1）：（+1），所以由正弦定理得，a：b：c=（1）：（+1），又ABC的周长为2+，则a=（1）、b=、c=（+1），所以ABC的面积S=，故选：A【点评】本题考查正弦定理，以及新定义的应用，属于基础题12（2017富锦市校级一模）若三角形ABC中，sin（A+B）sin（AB）=sin2C，则此三角形的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用【专题】56 ：三角函数的求值【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sinC不为

19、0得到sin（AB）=sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，【解答】解：ABC中，sin（A+B）=sinC，已知等式变形得：sinCsin（AB）=sin2C，即sin（AB）=sinC=sin（A+B），整理得：sinAcosBcosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即2cosAsinB=0，cosA=0或sinB=0（不合题意，舍去），A=90°，则此三角形形状为直角三角形故选：B【点评】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键13（2017贵州模拟）在ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则

20、x的取值范围是（）Ax2Bx2CD【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°A135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系求得a的范围【解答】解：=2a=2sinAA+C=180°45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A45°

21、，则C90°，这样A+B180°，不成立45°A135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以sinA1a=2sinA所以2a2故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力14（2017东胜区校级模拟）已知ABC中，满足b=2，B=60°的三角形有两解，则边长a的取值范围是（）Aa2Ba2C2aD2a2【考点】HP：正弦定理【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；58 ：解三角形【分析】由正弦定理可知：三角形有两个解，则满足，代入即可求得边长a的取值范围【解答】解：由三角形有两解，则满足，解得：2

22、a，边长a的取值范围（2，），故选：C【点评】本题考查正弦定理的应用，考查三角形解的个数，考查计算能力，属于基础题二填空题（共6小题）15（2018化州市二模）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，a=4，b=5，c=6，则=1【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，sinA的值，利用二倍角公式化简所求即可计算得解【解答】解：ABC中，a=4，b=5，c=6，cosC=，cosA=，sinC=，sinA=，=1故答案为：1【

23、点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题16（2018吕梁一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB+btanA=2ctanB，且a=8，ABC的面积为，则b+c的值为【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA的值，由余弦定理可求64=（b+c）2bc，利用三角形面积公式可求bc=16，联立即可得解b+c的值【解答】解：在ABC中btanB+btanA=2ctanB，由正弦定理可得sinB（tanA+tanB）=2

24、sinCtanB，sinB（tanA+tanB）=2sinC，cosB（tanA+tanB）=2sinC，cosB（+）=2sinC，cosB=2sinC，cosB=2sinC，解得cosA=，A=；a=8，由余弦定理可得：64=b2+c2+bc=（b+c）2bc，ABC的面积为=bcsinA=bc，可得：bc=16，联立可得：b+c=4故答案为：4【点评】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于基础题17（2018赤峰模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin（B+）=，ABC的外接圆半径为，则ABC周长的最大值为9【考点】HP：正

25、弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】化简条件式可得A=，利用正弦定理得出a+b+c关于B的三角函数，从而得出周长的最大值【解答】解：sin（B+）=，sinB+cosB=，sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC=sinB+sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=sinB+cosAsinB，B为三角形内角，sinB0，sinA=1+cosA，sin（A）=，由A（0，），可得：A（，），可得：A=，即A=由正弦定理得=2，a=2sinA=3，b=2sinB，c=2sinC=2sin（B），a+b+c=3+2sin

26、B+2sin（B）=3+3sinB+3cosB=3+6sin（B+），当B+=，即B=时，a+b+c取得最大值9故答案为：9【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（2018肇庆模拟）已知ABC中，AC=，BC=，ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使BDC=，则CD=【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；44 ：数形结合法；58 ：解三角形【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinACB=，从而可求ACB=，在ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求B，在BCD中，由正弦定理可得CD的值【解答】

27、解：AC=，BC=，ABC的面积为=ACBCsinACB=sinACB，sinACB=，ACB=，或，若ACB=，BDC=BAC，可得：BAC+ACB+，与三角形内角和定理矛盾，ACB=，在ABC中，由余弦定理可得：AB=，B=，在BCD中，由正弦定理可得：CD=故答案为：【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，求ACB的值是解题的关键，属于中档题19（2017新乡二模）如图，在ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DEAB，E为垂足，若DE=2，求cosA=【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：

28、转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值；58 ：解三角形【分析】由已知可得A=ABD，BDC=2A，设AD=BD=x，由正弦定理在BCD中，在AED中，可得，联立即可解得cosA的值【解答】解：C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DEAB，E为垂足，DE=2，A=ABD，BDC=2A，设AD=BD=x，在BCD中，=，可得：，在AED中，=，可得：，联立可得：=，解得：cosA=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题20（2017九江一模）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，b=4a，a+c=5

29、，则ABC的面积为【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】由已知及正弦定理可求=，又b=4a，可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：由正弦定理及=，得=，又b=4a，sinC=，ABC为锐角三角形，cosC=，cosC=，解得a=1，b=4，c=4，SABC=absinC=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题三解答题（共6小题）2

30、1（2018四川模拟）在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cb=2bcosA（1）若a=2，b=3，求c；（2）若C=，求角B【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；48 ：分析法；58 ：解三角形【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，整理可得：a2=b2+bc，代入已知即可解得c的值（2）由题意A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，由正弦定理化简已知等式可得：2sin2B+sinB1=0，解得sinB，即可求B=【解答】解：（1）cb=2bcosA由余弦定理可得：cb=2b×，整理可得：a2=b2+bc，a=2，

31、b=3，24=9+3c，解得：c=5（2）C=，A+B=，可得sinA=cosB，cosA=sinB，cb=2bcosA，由正弦定理可得：sin（A+B）=2sinBcosA+sinB，可得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA+sinB，解得：cos2B+sin2B=2sin2B+sinB=1，即：2sin2B+sinB1=0，可得：sinB=或1（舍去）即B=【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题22（2018成都模拟）已知函数（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）若ABC的内角A，B，C

32、所对的边分别为a，b，c，sinB=2sinC，求c【考点】HP：正弦定理【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与性质；58 ：解三角形【分析】（1）化f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调递减区间；（2）根据题意，利用正弦、余弦定理求得c的值【解答】解：（1）=，由，kZ，解得，kZ；函数f（x）的单调递减区间为，kZ；（2），A（0，），；sinB=2sinC，由正弦定理，得b=2c；又由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得，解得c=1【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是基础题23（2018祁阳县二模）在ABC中，

33、角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（）求角C；（）求的取值范围【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形【分析】（）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数；（）由（）及正弦定理化简可得：=2sin（A+），结合A的范围，可得sin（A+）1，即可得解【解答】解：（）由正弦定理，可得：，整理可得：a2+b2c2=ab，由余弦定理可得：cosC=，C（0，），C=；（）由（）可得：B=A，由正弦定理可得：=2sin（A+），0A，A+，sin（A+）1，从而解得：=2si

34、n（A+）（1，2【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查24（2018江西模拟）已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求b的值；（2）若，求ABC周长的取值范围【考点】HP：正弦定理【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；44 ：数形结合法；58 ：解三角形【分析】（1）由已知应用余弦定理，即可解得b的值（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求B的值，利用正弦定理可得a=2sinA，c=2sinC，进而可求范围A（，），利用三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质即可得解周长的取值范围【解答】解：（1），应用余弦定理，可得+=，化简可得：b=（2），即：sin（B+）=1，由B为锐角，可得；，a=2sinA，c=2sinC，又在锐角ABC中，0，0，C=，A（，），周长L=a+b+c=+2（sinA+sinC）=+2sin（A+）（3+，3【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题2