高中数学点直线平面之间的位置关系同步练习新人教A版必修

1、（二）点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1【04安徽·理】若二面角为1200，直线，则所在平面内的直线与m所成角的取值范围是（A） （B）300，600 （C）600，900 （D）300，9002【04北京理】设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若，则 若，则 若，则 若，则 其中正确命题的序号是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和3【04北京春招理】一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 A. B. C. D. 4【04北京春招理】两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新

2、长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 A. B. C. D. 5【04福建理】如图，A、B、C是表面积为48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是AarcsinBarccosCarcsinDarccos6【04福建理】 已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题若m，n，则mn；若m，m，则；若=n，mn，则m且m；若m，m，则.其中真命题的个数是A0 B1 C2 D37【04湖南理】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为A90&#

3、176;B60°C45°D30°8【04湖北理】已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有A1条B2条C3条D4条9【04全国·理】已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为（A）（B） （C） （D）10【04全国·文】正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（A）75° （B）60°（C）45°（D）30°11【04全国·理】 对于直线m

4、、n和平面，下面命题中的真命题是A如果、n是异面直线，那么B如果、n是异面直线，那么相交C如果、n共面，那么D如果、n共面，那么12【04全国·理】已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心到平面ABC的距离为A1BCD213【04上海·理】在下列关于直线l、m与平面、的命题中,真命题是 (A)若l且,则l. (B) 若l且,则l.(C) 若l且,则l. (D) 若=m且lm,则l.14【04重庆·理】设P是的二面角内一点，垂足，则AB的长为 A B C D 15【04重庆·文】不同直线和不同平面，给出下列命题： 其

5、中假命题有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个16【04天津·理】如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于A. B. C. D. 17【04天津·文】如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且那么，动点C在平面内的轨迹是A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点18【04浙江·理】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，

6、则=（A） （B）（C） （D）19【04重庆·理】若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的面积与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是ACBAPPBCCBABACPP二、填空题1【04辽宁】如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且，则侧棱AA1和截面B1D1DB的距离是 . 2【04全国·理】已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是两条平行直线两条互相垂直的直线同一条直线一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.3【04全国·理

7、】下面是关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)4【04全国·理】 用平面截半径为R的球，如果球心到截面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为_5【04浙江·理】已知平面和平面交于直线，P是空间一点，PA，垂足为A，PB，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到的距离为 6【04浙江·文】已知平面，

8、=，P是空间一点，且P到、的距离分别是1、2，则点P到的距离为 三、计算题1【04广东】如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 解（I）以A为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，设向量与平面C1DE垂直，则有（II）设EC1与FD1所成角为，则·B1PACDA1C1D1BOH

9、83;2【04江苏】 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离. 解 （1）（2）略 （3）AA1B1BC1CMNP3【04上海春季】 如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点. (1) 求证：； (2) 在任意中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.解 (1) 证

10、：； (2) 解：在斜三棱柱中，有，其中为 平面与平面所组成的二面角. 上述的二面角为,在中， 由于， 有.4【04辽宁】 已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED平面PAB； （2）求二面角PABF的平面角的余弦值. 【解】 本小题主要考查空间中的线面关系，四棱锥的有关概念及余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和推理能力。 （1）证明：连接BD. 为等边三角形.是AB中点， 面ABCD，AB面ABCD， 面PED，PD面PED，面PED. 面PAB，面PAB. （2）解：平面PED，PE面PED，连接EF，PE

11、D，为二面角PABF的平面角. 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.在 即二面角PABF的平面角的余弦值为 5【04安徽·理】 已知三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长均为a，侧面A1ACC1底面ABC，A1Ba，（）求异面直线AC与BC1所成角的余弦值；（）求证：A1B面AB1C.解 （）；（）略.6【04北京文】 如图，在正三棱柱中，AB2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点的最短路线与的交点记为M，求： （I）三棱柱的侧面展开图的对角线长 （II）该最短路线的长及的值 （III）平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小解 本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知

12、识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 （I）正三棱柱的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形其对角线长为 （II）如图，将侧面绕棱旋转使其与侧面在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接交于M，则就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线，其长为 ， 故（III）连接DB，则DB就是平面与平面ABC的交线 在中 又 由三垂线定理得 就是平面与平面ABC所成二面角的平面角（锐角） 侧面是正方形 故平面与平面ABC所成的二面角（锐角）为7【04北京春招理】 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD， （I）求证； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （III）

13、设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小解 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 （I）证明：如题图 底面ABCD是正方形 底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 由三垂线定理得 （II）解 底面ABCD，且ABCD为正方形可以把四棱锥补形为长方体，如图2 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角， 又 为所求二面角的平面角 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 即面ASD与面BSC所成的二面角为（III）解：如图3 是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点面ASD，SA是SB在面ASD上的射影 由三垂线定理得

14、异面直线DM与SB所成的角为8【04福建理】 在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角NCMB的大小；（）求点B到平面CMN的距离.解 本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：（）取AC中点D，连结SD、DB.SA=SC，AB=BC， ACSD且ACBD，AC平面SDB，又SB平面SDB，ACSB.（）AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E，NE平面ABC，过E作EFCM于F，连结N

15、F，则NFCM.NFE为二面角NCMB的平面角.平面SAC平面ABC，SDAC，SD平面ABC. 又NE平面ABC，NESD.SN=NB，NE=SD=，且ED=EB.在正ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=2，二面角NCMB的大小是arctan2.（）在RtNEF中，NF=，SCMN=CM·NF=，SCMB=BM·CM=2.设点B到平面CMN的距离为h，VB-CMN=VN-CMB，NE平面CMB，SCMN·h=SCMB·NE，h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=B

16、C，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面 ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（4，0，0），=（0，2，2），·=（4，0，0）·（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0），=（1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， ·n=3x+y=0，则取z=1，则x=，y=-，·n=x+z=0，n=(，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=.二面角

17、NCMB的大小为arccos.（）由（）（）得=（1，0），n=（，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.9【04湖北理】 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.（I）试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；（II）当D1E平面AB1F时，求二面角C1EFA的大小（结果用反三角函数值表示）. 解 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力.解法一：（I）连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影 AB1A1B，D1EAB1，于是D1E平面AB1FD1EAF.连结DE，则DE是D

18、1E在底面ABCD内的射影.D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中点.当且仅当F是CD的中点时，DEAF，即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F. （II）当D1E平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点.又已知点E是BC的中点，连结EF，则EFBD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则CHEF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1HEF，即C1HC是二面角C1EFC的平面角.在RtC1CH中，C1C=1，CH=AC=， tanC1HC=.C1HC=arctan，从而AHC1=.故二面角C1EFA的大小为.解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

19、（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0） （1）当D1E平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EFBD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AHEF. 连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影.C1HEF，即AHC1是二面角C1EFA的平面角.10【04湖南理】 如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二

20、面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论. 解 （）证明 因为底面ABCD是菱形，ABC=60°，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD.（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.知EG平面ABCD.作GHAC于H，连结EH，则EHAC，EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以从而 （）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以 设

21、点F是棱PC上的点，则 令 得解得 即 时，亦即，F是PC的中点时，、共面.又 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC.解法二 当F是棱PC的中点时，BF/平面AEC，证明如下，证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM/CE. 由 知E是MD的中点.连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 所以 BM/OE. 由、知，平面BFM/平面AEC.又 BF平面BFM，所以BF/平面AEC.证法二因为 所以 、共面.又 BF平面ABC，从而BF/平面AEC.11【04全国·理】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90o，AC1，CB，侧棱AA11，侧面

22、AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M()求证：CD平面BDM；()求面B1BD与面CBD所成二面角的大小解 解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=，CB=CA1=，CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，CDA1B，A1C1=1，C1B1=，A1B1=，又BB1=1，A1B=2，A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1又DM=AC1=，DM=C1M，CDNCC1M，CDM=CC1M=90°,即CDDM，因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1

23、G、FG、B1F，则FGCD，FG=CDFG=，FGBD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1，所以BB1D是边长为1的正三角形，于是B1GBD，B1G=，B1GF是所求二面角的平面角又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.cosB1GF=即所求二面角的大小为-arccos解法二：如图以C为原点建立坐标系(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,),M(,1,0),(,),(,-1,-1),(0,-), CDA1B,CDDM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM(II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-

24、,)，BDB1G，又CDBD，与的夹角等于所求二面角的平面角，cos所以所求二面角的大小为-arccos12【04全国·理】 三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1)求证 ABBC ；(II)如果 AB=BC=2，求AC与侧面PAC所成角的大小解 证明：取AC中点O, 连结PO、BO.PAPCPOAC又侧面PAC底面ABCPO底面ABC又PAPBPCAOBOCOABC为直角三角形ABBC解：取BC的中点为M，连结OM,PM，所以有OM=AB=，AO= 由有PO平面ABC,OMBC，由三垂线定理得PMBC平面POM平面PBC，又PO=OM=.POM是

25、等腰直角三角形，取PM的中点N，连结ON, NC则ONPM, 又平面POM平面PBC, 且交线是PM, ON平面PBCONC即为AC与平面PBC所成的角. .故AC与平面PBC所成的角为. 13【04全国·理】 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（）求四棱锥PABCD的体积；（）证明PABD. 解 本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力. （）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PEAD.作PO平面在ABCD，垂足为O，连结OE.根据三垂线定

26、理的逆定理得OEAD，所以PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知PEO=60°，PE=6，所以PO=3，四棱锥PABCD的体积VPABCD=（）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P（0，0，3），A（2，3，0），B（2，5，0），D（2，3，0）所以因为 所以PABD.解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得 所以 RtAEORtBAD. 得EAO=ABD. 所以EAO+ADF=90° 所以 AFBD. 因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA

27、BD.14 如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC为正四面体；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.【证明】 (1) 棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等

28、, DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又截面DEF底面ABC, DE=EF=FD=PD=OE=PF,DPE=EPF=FPD=60°, P-ABC是正四面体. 【解】(2)取BC的中点M,连拉PM,DM.AM. BCPM,BCAM, BC平面PAM,BCDM, 则DMA为二面角D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱长均为1, PM=AM=,由D是PA的中点,得 sinDMA=,DMA=arcsin.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为,则该六面体棱长和为6, 体积为sin=V.正四

29、面体P-ABC的体积是,0<V<,0<8V<1.可知=arcsim(8V)故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.15【04天津·理】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小【解】 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO底面ABCD是正方形， 点O

30、是AC的中点在中，EO是中位线， PA / EO 而平面EDB且平面EDB，所以，PA / 平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且底面ABCD，PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， 同样由PD底面ABCD，得PDBC底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC而平面PDC， 由和推得平面PBC而平面PBC，又且，所以PB平面EFD（3）解：由（2）知，故是二面角CPBD的平面角由（2）知，设正方形ABCD的边长为a，则， 在中，在中，所以，二面角CPBD的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得

31、底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且，这表明PA/EG而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB（2）证明；依题意得，又，故 由已知，且，所以平面EFD（3）解：设点F的坐标为，则从而所以由条件知，即，解得点F的坐标为，且，即，故是二面角CPBD的平面角，且， 所以，二面角CPBD的大小为16 【04天津·文】 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，是PC的中点（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值【解】 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力方法一：（1）证明：连结AC

32、、AC交BD于O连结EO 底面ABCD是正方形 点O是AC的中点在中，EO是中位线 而平面EDB且平面，所以，平面EDB（2）解：作交CD于F连结BF，设正方形ABCD的边长为 底面ABCD F为DC的中点 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角在中， 在中 所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点设（1）证明：连结AC，AC交BD于G连结EG依题意得， 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心，故点G的坐标为 这表明而平面且平面EDB 平面EDB（2）解：依题意得，取DC的中点 连结EF，BF ， ， ， 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角在中， 所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为17【04浙江·理】 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=，AF=1，M是线段EF的中点（）求证AM平面