数学建模教学 19.层次分析法

1、编辑ppt 层次分析法（层次分析法（AHPAHP） 首先将所要分析的问题首先将所要分析的问题层次化层次化，根据问题，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次及隶属关系，将因素按不同层次聚类组合聚类组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）高层（总目标）相对重要程度的权值或相相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。对优劣次序的问题。编辑p

2、pt1 1 基本原理基本原理 假定我们已知假定我们已知n只西瓜的重量和为只西瓜的重量和为1 1，每只，每只西瓜的重量分别为西瓜的重量分别为W1，W2，Wn。把这。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示些西瓜两两比较，很容易得到表示n只西瓜只西瓜相对重量关系的比较矩阵：相对重量关系的比较矩阵：A= =(aij)nn 编辑ppt显然显然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk， i、j、k= 1，2，n AW=nW那么就有：那么就有： 编辑ppt即即n是是A的一个特征根，每只西瓜的重量是的一个特征根，每只西瓜的重量是A 对应于特征根对应于特征根n的的特征向量的各个分量特征向量的各个

3、分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到称量，我们如能设法得到判断矩阵判断矩阵（比较每（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？瓜的重量呢？编辑ppt显然是可以的，在判断矩阵显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条具有完全一致的条件下件下，我们可以通过解特征值问题，我们可以通过解特征值问题 AW= maxW求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1 1），从而得到）

4、，从而得到n只西瓜的重量。只西瓜的重量。编辑ppt所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系满足如下关系: :aij =aik/ajk, i、j、k= 1，2，n上式完全成立，称判断矩阵具有上式完全成立，称判断矩阵具有完全一致性完全一致性。此时矩阵的最大特征值此时矩阵的最大特征值max= =n，其余特征，其余特征值均为零。值均为零。编辑ppt在一般情况下可以证明判断矩阵的最大在一般情况下可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且特征根为单根，且maxn。当判断矩。当判断矩阵具有阵具有满意一致性满意一致性时，时，max稍大于矩阵稍大于矩阵阶数阶数n，其余特征

5、值接近于零。这时，其余特征值接近于零。这时AHP得出的结论才基本合理。得出的结论才基本合理。编辑ppt2 2 基本步骤基本步骤 2.1 2.1 建立层次结构模型建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为一般分为三层，最上面为目标层目标层，最下面，最下面 为为方案层方案层，中间是，中间是准则层或指标层准则层或指标层。 买钢笔买钢笔 质量质量 颜色颜色 价格价格 外形外形 实用实用 可供选择的笔可供选择的笔 方案层方案层 准则层准则层 目标层目标层编辑ppt若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为或被下一层所有因素影响，称为完全

6、层次结构完全层次结构，否则称为否则称为不完全层次结构不完全层次结构。还可以建立。还可以建立 子层子层次。次。 信 誉 T 1A型 式 T 2B价 格 T 3C容 量 T 4D制 冷 级 别 T 5耗 电 量 T 6选 购 电 冰 箱目标层：目标层：准则层：准则层：方案层：方案层：编辑ppt目标层目标层合理选择科研课题合理选择科研课题A A成果贡献成果贡献B1人才培养人才培养B2课题可行性课题可行性B3课题课题D1课题课题D2课题课题D3应用价值应用价值 c1科学意义科学意义 c2难易程度难易程度 c3研究周期研究周期 c4财政支持财政支持 c5方案层方案层准则层准则层1 1准则层准则层2 2编

7、辑ppt2.2 2.2 构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相当重要性。层次与之有关的各因素之间的相当重要性。假定假定A层中因素层中因素Ak与下一层次中因素与下一层次中因素B1 1，B2，Bn有联系，则我们构造的判断矩阵如下有联系，则我们构造的判断矩阵如下表所示：表所示： 编辑pptbij是对于是对于Ak而言，而言，Bi对对Bj的相对重要性的数值表示。的相对重要性的数值表示。Ak B1 B 2 BnB1 b11 b12 b1nB2 b21 b22 b2n Bn bn1 bn2 bnn 编辑ppt

8、Bij通常取通常取1 1、3 3、5 5、7 7、9 9及他们的倒数及他们的倒数 尺度尺度 第第i个因素与第个因素与第j个因素的影响相同个因素的影响相同 第第i个因素比第个因素比第j个因素的影响稍强个因素的影响稍强 第第i个因素比第个因素比第j个因素的影响强个因素的影响强 第第i个因素比第个因素比第j个因素的影响明显强个因素的影响明显强第第i个因素比第个因素比第j个因素的影响绝对强个因素的影响绝对强 含含 义义1 13 35 57 79 92,4,6,82,4,6,8表示第表示第i个因素相对于第个因素相对于第j个因素的影响个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。介于上述两个相邻等级之间。编辑pp

9、t显然，任何判断矩阵都应满足：显然，任何判断矩阵都应满足： bij0 ,0 , bii = 1， bij = 1/ /bji，因此，对于这样的判断矩阵来说，作因此，对于这样的判断矩阵来说，作 n(n-1)/2次两两判断就可以了。次两两判断就可以了。i，j = 1，2，n编辑ppt2.3 2.3 层次单排序和一致性检验层次单排序和一致性检验 层次单排序层次单排序就是指根据判断矩阵计算对于上就是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。重要性次序的权值。可以归结为，求解矩阵的可以归结为，求解矩阵的最大特征值最大特征值和和对

10、应的对应的特征向量特征向量。编辑ppt即对判断矩阵即对判断矩阵B，计算满足，计算满足: : BW= maxW的特征根与特征向量。式中，的特征根与特征向量。式中，max为为B的最大的最大特征根；特征根；W为对应于为对应于max的正规化特征量；的正规化特征量；W的分量的分量Wi即是相应因素单排序的权值。即是相应因素单排序的权值。 编辑ppt计算一致性指标计算一致性指标(Consisteney Index):(Consisteney Index):CI 1max nnCI 显然当判断矩阵具有完全一致性时，显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，max-n越大，越大，CI越大，矩阵的一致性就越越大，

11、矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一差。为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性，需要将致性，需要将CI与与平均一致性指标平均一致性指标RI进行进行比较。比较。编辑ppt查找相应的平均随机一致性指标：查找相应的平均随机一致性指标：RI对对n=1、2、39，Saaty给出了下表所示值：给出了下表所示值： 编辑ppt计算一致性比例：计算一致性比例：CR RICICR 当当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。当修正。编辑ppt2.4 2.4 层次总排序和一致性检验层次总排序和一致性检验 确

12、定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为程，称为层次总排序层次总排序。这一过程是最高层次到最低层次。这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层，若上一层次逐层进行的。对于最高层下面的第二层，若上一层次A包含包含m个因素个因素, A1，A2， Am ，其层次总排序权值分，其层次总排序权值分别为别为a1，a2， am，下一层次，下一层次B包含包含n个元素个元素B1，B2， Bn，它们对于因素，它们对于因素Aj的层次单排序权值分别为的层次单排序权值分别为bj1，bj2， bjn（当（当Bi与与Aj无联系时，无联系时，b

13、ji0），此时），此时B层次总层次总排序权值由下表给出。排序权值由下表给出。编辑ppt编辑ppt(1)式中，式中，CI为层次总排序的一致性指标，为层次总排序的一致性指标，CIj为为与与aj对应的层次中判断矩阵的一致性指标；对应的层次中判断矩阵的一致性指标；(2)式中，式中，RI为层次总排序的随机一致性指标为层次总排序的随机一致性指标,RIj为为 与与aj对应的层次中判断矩阵的随机一致性指标；对应的层次中判断矩阵的随机一致性指标；(3)式中，式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。为层次总排序的随机一致性比例。当当CR0.10时，我们认为时，我们认为层次总排序的计算结果层次总排序的计算结果具有满

14、意的一致性。具有满意的一致性。(1)(2)(3)编辑ppt2.5 2.5 判断矩阵的计算方法判断矩阵的计算方法 在层次分析方法中，最根本的计算任务是求解在层次分析方法中，最根本的计算任务是求解 判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量。在层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其在层次分析法中，判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精对应的特征向量的计算，并不需要追求太高的精度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量度。这是因为判断矩阵本身就是将定性问题定量化的结果，允许存在一定的误差范围化的结果，允许存在一定的误差范围。常用近似

15、算法求解判断矩阵的最大特征根及其常用近似算法求解判断矩阵的最大特征根及其所对应的特征向量：和法和根法所对应的特征向量：和法和根法。编辑ppt和法计算步骤和法计算步骤 (1)(1)将判断矩阵每一列归一化将判断矩阵每一列归一化: : njibbbnkkjijij, 2 , 1,/1 TnWWWW,21 所求特征向量所求特征向量: :(2)(2)对按列归一化后的判断矩阵再按行求和对按列归一化后的判断矩阵再按行求和: : nibWnjiji, 2 , 11 (3)(3)将求和后的向量归一化将求和后的向量归一化: : niWWWnjjii, 2 , 1/1 编辑ppt(4)(4)计算最大特征根计算最大特

16、征根: : niiiWAWn1max)(1 14/16/1412/1621A 091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 0列向量列向量归一化归一化编辑ppt求和求和 268. 0972. 0760. 1归一化归一化W 089. 0324. 0587. 0 268. 0974. 0769. 1AW009. 3)089. 0268. 0324. 0974. 0587. 0769. 1(31max 精确计算，得精确计算，得013. 3),090. 0,322. 0,588. 0(max W编辑ppt应用一：资金分配决策应用一：资金分配决策 某

17、个工厂可以使用一笔某个工厂可以使用一笔企业留成利润企业留成利润，由，由厂领导和职工代表大会决定如何使用，可厂领导和职工代表大会决定如何使用，可以选择的方案有：以选择的方案有：发奖金、扩建福利设施发奖金、扩建福利设施和引进新的设备和引进新的设备，为了进一步促进企业的，为了进一步促进企业的发展，如何合理的使用这笔利润？发展，如何合理的使用这笔利润？编辑ppt编辑ppt编辑ppt5/150, 0, 2max CRCI 0, 0, 2max CRCI 0, 0, 2max CRCI 编辑ppt0 CR编辑ppt应用二：城市主导产业决策分析应用二：城市主导产业决策分析 编辑ppt编辑ppt目标层目标层(A) 准则层准则层(C)对象层对象层(P)市场市场C1 效益效益C2 资源资源C3能源工业能源工业P1P1交通运输业交通运输业P2P2冶金工业冶金工业P3P3化工工业化工工业P