2013版高考数学一轮复习 5.2数列综合应用精品学案 新人教A版

1、第五章 数 列5.2数列综合应用【高考新动向】一、数列求和1、考纲点击（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式；（2）掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。2、热点提示（1）以考查等差数列、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想；（2）对非等差数列、等比数列的求和，主要考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力；（3）数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。二、数列的综合应用1、考纲点击能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题；2、热点提示（1）数列

2、的综合应用常以递推关系为背景,考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式；（2）常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化、化归能力，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查；（3）各种题型都有可能出现。【考纲全景透析】一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n项公式求和；等差数列的前n项和公式：等比数列的前n项和公式：（2）一些常见的数列的前n项和：；。2、倒序相加法如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的。3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列

3、和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如类型，可采用两项合并求解。二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题仔细阅读材料，认真理解题意；（2

4、）建模将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解求出该问题的数学解；（4）还原将所求结果还原到实际问题中。具体解题步骤用框图表示如下：2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和，属于等差模型；复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和，属于等比模

5、型。（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系。【热点难点全析】一、数列求和（一）分组转化求和相关链接1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之；2、常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn或数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和.注：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q

6、的取值。例题解析【例】(1)已知数列: 则其前n项和Sn=_.(2)已知求数列an的前10项和S10;求数列an的前2k项和S2k.【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.解析：(1)答案: (2)S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)由题意知,数列an的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.S2k=6+16+(10k-4)+(2+22+2k)（二）错位相减法求和相关链接1、一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相

7、减法；2、用错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的-的表达式。3、利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。例题解析例已知数列满足是首项为1，公比为a的等比数列。（1）求；（2）如果a=2,，求数列的前n项和。思路解析：（1）根据题意得到表达式，再用累加法求通项；（2）利用错位相减法求和。解答：（1）由，当n2时，当a=1时，;当a1时，（2）则-，得（三）裂项相消求和相关链接1、

8、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；2、一般情况如下，若是等差数列，则，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和。3、常见的拆项公式有：（1）（2）（3）（4）（5）例题解析【例】（2012大连模拟）已知数列an各项均为正数，其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2，(1)求an的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为Tn,求Tn的最小值.【方法诠释】(1)利用Sn+1-Sn=an+1寻找an+1与an的关系.(2)先用裂项法求

9、Tn,再根据数列Tn的单调性求最小值.解析：(1)因为(an+1)2=4Sn,所以所以即2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).因为an+1+an0，所以an+1-an=2，即an为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1，解得a1=1,所以an=2n-1.(2)由(1)知Tn=b1+b2+bnTn+1Tn，数列Tn为递增数列,Tn的最小值为（四）数列求和的综合应用例设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和；（3）若思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解；（2）利用错位相减法求；（3）利用反证法证明。解答：（1）方法一：

10、由题意，当a1时，当a=1时，仍满足上式。数列的通项公式为。方法二：（2）（3）由（1）知。若，则。，。由对任意成立，知c0.下证c1.用反证法。方法一：假设c1.由函数f(x)=的函数图象知，当n趋于无穷大时，趋于无穷大。不能对恒成立，导致矛盾。c1, o0),因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为d 的等差数列。与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定利率为r(r0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为以表示到第n年所累计的储备金总额。（1）写出与（n2）的递推关系式；（2）求证：，其中是一个等比数列，是一

11、个等差数列。思路解析：（1）中关系式容易列出；（2）中利用与，与的关系以此类推，逐步得的表达式，再利用错位相减法求得，即不难得出与解答：（1）由题意可得： （2）反复使用上述关系式，得在式两端同乘1+r，得（四）数列与解析几何、不等式的综合应用例1知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解答：（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即.注：数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点。数列是特殊的函数，

12、以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。方法提示：数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度.所以，解决此类题目仅靠掌握单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等.例2已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+

13、（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少？解答：（1）, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ； 由得，满足的最小正整数为112.注：数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题。此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题。解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。【高考零距离】1. （2012新课标全国高考文科12）数列an满足an+1(1)n an 2n1，则an的前60项和为（）3690

14、（B）3660 （C）1845 （D）1830【解题指南】依次写出数列的项，直至发现规律，一般这类数列具有周期性或者能直接求出通项公式，找到规律后，可直接求和。【解析】选D ，.2. （2012山东高考文科20）已知等差数列的前5项和为105，且.()求数列的通项公式；()对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.【解题指南】 （1）可利用等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程组求出首项和公差；进而求得通项公式.（2）利用数列的中不大于内的项的个数.可求得数列为等比数列.利用等比数列的前n项公式求得.【解析】(I)由已知得：解得,所以通项公式为.(II)由，得，即.，是公比为4

15、9的等比数列，.3. （2012广东高考文科19）设数列前项和为，数列前项和为，满足，.(1)求的值；（2）求数列的通项公式.【解题指南】 (1)根据，利用,可建立关于的方程，即可求出.(2)解本题的关键是,因为当n=1时，也满足上式，所以然后转化为常规题型来做即可。【解析】（1）令n=1时，(2) 因为当n=1时，也满足上式，所以当两式相减得所以所以因为,所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，所以所以。4. （2012江苏高考数学科20）（本小题满分16分） 已知各项均为正数的两个数列和满足：（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【解题指南】（1）根据题设和，求

16、出，从而证明而得证。（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。【解析】（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。（）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。又，是公比是的等比数列。若，则，于是。又由即，得。中至少有两项相同，与矛盾。 。5 （2011浙江高考文科17）若数列中的最大项是第项，则=_.【思路点拨】可由不等式组解得.【精讲精析】答案：4设最大项为第项，则由不等式组得,即,解得,故.6. （2011安徽高考理科18）在数1和1

17、00之间插入个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这+2个数的乘积记作，再令，（）求数列的通项公式；（）设求数列的前项和.【思路点拨】本题将数列问题和三角问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n项和公式，及两角差的正切公式等基本知识.【精讲精析】（）设这+2个数构成的等比数列为，则，则，又所以 （）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得 所以【考点提升训练】1.（2012沈阳模拟）设数列(-1)n的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn=( )()(B)(C)(D)2数列an、bn都是等差数列，a15，b17，且a20b2060，则anbn的前20项和为( )()

18、700(B)710(C)720(D)7303.(易错题)已知数列an的通项公式(nN*)，设an的前n项和为Sn,则使Sn-5成立的自然数n( )（）有最大值63（B）有最小值63（C）有最大值31（D）有最小值314.已知实数等比数列an中，Sn是它的前n项和.若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为，则S5等于( )（）35（B）33（C）31（D）295.已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1b1，a1、b1N*(nN*)，则数列的前10项的和等于( )（）65（B）75（C）85（D）956.（2012合肥模拟）已知数列an为等差

19、数列，若-1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn0的n的最小值为( )()11(B)19(C)20(D)21二、填空题（每小题6分，共18分）7.设若则n的值为_.8.设Sn是数列an的前n项和,若(nN*)是非零常数，则称数列an为“和等比数列”.若数列是首项为2,公比为4的等比数列，则数列bn_（填“是”或“不是”）“和等比数列”.9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励三、解答题（每小题15分，共30分）10.（预测题）已知

20、各项都不相等的等差数列an的前6项和为60,且a6为a1和a21的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn+1-bn=an(nN*)，且b1=3，求数列的前n项和Tn.11.（预测题）设数列an(n=1,2,)是等差数列，且公差为d,若数列an中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.(1)若a1=4,d=2，求证：该数列是“封闭数列”.（2）若an=2n-7(nN*),试判断数列an是否是“封闭数列”，为什么？（3）设Sn是数列an的前n项和，若公差d=1,a10，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使若存在，求an的通项公式；若不存在，说明理由

21、.【探究创新】（16分）已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且在点Pn(n,Sn)处的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式;(2)若,求数列bn的前n项和Tn.答案解析1.【解析】选D.数列(-1)n是首项与公比均为-1的等比数列,.2【解题指南】根据等差数列的性质可知，仍然是等差数列，所以利用等差数列的求和公式求解即可.【解析】选C.由题意知也为等差数列，所以anbn的前20项和为：3【解析】选B. =n+226,n62.又nN*，n有最小值63.4.【解析】选C.由a2a3=a1a4=2a1得a4=2,又a4+2a7

22、=,a7=,设等比数列an的公比为q，则a7=,q=,a1=16,.5.【解析】选C.应用等差数列的通项公式得an=a1+n-1,bn=b1+n-1,数列也是等差数列，且前10项和为.【方法技巧】构造等差数列求解在等差数列相关问题中，有些数列不能直接利用等差数列的性质和求和公式，但是通过对数列变形可以构造成等差数列.（1）由递推公式构造等差数列一般是从研究递推公式的特点入手，如递推公式an+1=2an+32n+1的特点是除以2n+1就可以得到下标和指数相同了，从而构造成等差数列.（2）由前n项和Sn构造等差数列.（3）由并项、拆项构造等差数列.6.【解题指南】解答本题首先要搞清条件“”及“Sn

23、有最大值”如何使用，从而列出关于a1,d的不等式组，求出的取值范围，进而求出使得Sn0的n的最小值.【解析】选C.方法一：由题意知d0,a100,a110,a10+a110,由得.由Sn=0得n=0或Sn0的解集为nN*|故使得Sn0的n的最小值为20.方法二：由题意知d0,a100,a110,a10+a110,由a100知S190,由a110知S210,由a10+a110知S200,故选C.7.【解析】,解得n=6.答案：68.【解题指南】解决本题的关键是正确理解“和等比数列”的定义，然后求解.【解析】数列是首项为2,公比为4的等比数列，所以设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=n2,T2n=

24、4n2,所以=4,因此数列bn是“和等比数列”.答案：是9.【解析】设第10名到第1名得到的奖金数分别是a1,a2,a10,则则即an=2an-1,因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以答案：2 04610.【解析】(1)设等差数列an的公差为d(d0),则解得an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,bn-bn-1=an-1(n2,nN*)，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=n(n+2)当n=1时，b1=3也适合上式,bn=n(n+2)(nN*).11.【解析】(1)an=4+(n-1)2=2n+2,对任意的m,nN*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,m+n+1N*于是，令p=m+n+1,则有ap=2p+2an.(2)a1=-5,a2=-3,a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解