2021最新高三高考压轴卷数学试题(含解析)

1、一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已矢口集合A = x|(x+1)(x4)K0 , B = x|log2x<2,贝“Ac八()A. 2,4 B.1，+8)C.(0,4D.-2,e)2 .若复数二满足z(i ( i是虚数单位)，则|z|为()A. B. tC. D. 32453 .已知单位向量W ,令茜足W_I_E ,贝心( a - b )=()A . OB .jc . ID . 24将函数/(4=si*的图象向左平移泠单位，得到函数般的图象, 则g的解析式为()A. g(x) = cos2x B. 9(x)=-co

2、s2x C. 9(.x) =sin2x D. 93) = sin(2i + g)5 .已知 x*log32 = 1 ,则 4x =()A . 4 B . 6C . 410g22D . 96 .在SBC 中，若 sinB = 2sinAcosC ,那么ABC 一定是()A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形7 .宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有秦【九韶】、李 c冶】、杨【辉】、朱【世杰】四大家，朱世杰就是其中之一.朱 世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习九章算 术，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家.他全面继承了前人 数学成果，既吸收了北方的天

3、元术，又吸收了南方的正负开方术、各 种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总 结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙，其中有关于松 竹并生的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹 何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的，分 别为3 , 1 ,则输出的=()A. 2B. 3C.4 D. 58 .已知等比数歹Iq中,公比为, % =3，且1 , q , 7成等差数列，又数列也的前项和为"则& =()A. 36B. 28C. 45D. 329 .设函数/(x) = lnx +加("。,>0),若函数"X)的

4、图象在工=1处的切线与直线x-)2e = 0平行，则；的最小值为()a bA. 1B. yC. 3-2a/2 D. 3 + 2点兀10 .已知函数 f (x) =sin ( 3X+(P )(co>O/ 0<<)的最小正乙JT周期为TT，且关于(今，0)中心对称，则下列结论正确的是()OA.f(1) <f(0) <f(2)B.f(0) <f(2) <f (1)C . f(2) <f(0) <f(l)D.f(2) <f(1) <f (0)11 .已知抛物线.V = #的焦点F是椭圆E+1 = 1(“ >> 0)的一个焦点

5、， 4a b"且该抛物线的准线与椭圆相交于A、3两点，若AE4B是正三角形，则 椭圆的离心率为()A. 6 1B. V2-1C.正D.12 .定义在R上的可导函数/*)满足/(2-x) = /(x)-2x + 2 ,记/(x)的导函 数为小),当xWi时恒有/")<1.若/(吁/(1-2?)，3?-1,则m的 取值范围是A .(-00-1 B .(-1,1C , -i,+oo) D . -1,1JJ二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .求值： log3 15Tog，25= .-2 0,14已知X , y满足x+y>4,若x + 2y的最小值为

6、.15、已知数歹I。的前项和为S.，且S“=2q-l，则数列的前6 4 -项和为.16、已知正三棱锥Pf BC，点P、A、人嘟在半径为遍球面上，若M PB、P。两两相互垂直,则球心到截面的距离为 .三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17 .(12分)质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表:质量指标值等级频数频率60,75 )二笺口 T±uu100.175 , 90 )田口口30b90 ,

7、 105 )一笺口 田口口a0.4105 , 120 )百笺口 T寸寸口口200.2合计n1(1)求a , b , n ;(2 )从质量指标值在90,120 )的产品中，按照等级分层抽样抽 取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽 到的概率.18 . (12 分)已知数歹满足' +=一 +二一 += 2 八"24-5 21-5 抽一 52un -5 3(1 )求数列明的通项公式； (2 )设数歹II;，的前项和为兀求19 . (12 分)将棱长为2的正方体A8CD-A倒GA截去三棱推- ACD后得到如 图所示几何体，。为AG的中点.(1 )求证OB/平面ACD

8、；(2 )求几何体ACM4仇的体积.20,(12分)中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线C：/ = 4)，的焦 点关于直线,'=入.对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为(2,0).(I)求椭圆E的标准方程；(H )过点(。，-2)的直线| (直线的斜率k存在且不为0 )交E于A , B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D ,直线BD交x 轴于点Q.试探究10Pl 是否为定值？请说明理由.21 .( 12分)已矢口函数/(0=/一办+21nx .(I)当。=5时，求仆)的单调区间；(H)若小)有两个极值点与士且："卜修，求。取值范围.(其中e为自然对数的底数).(二)选

9、考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。V2x = t2 a (t y = -1 + t2如果多做，则按所做的第一题计分。22 .在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为 为参数)，以原点。为极点，X正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。、儡(1 )求直线I的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2 )设P ( 0 ,-1),直线I与C的交点为M , N ,线段MN的中点 为Q,求|丽-而|23 .已矢口函数/(幻=卜一2| .(1 )解不等式：/(x)<4-/*+1)(2 )若函数g(x) = d(x")与函数y = ?T(x)-2/(x-2)的图象恒有

10、 公共点，求实数，的取值范围.参考答案I、【答案】C【解析】算出集合A3后可求An,【详解】A = x|(x+D(x-4)<0 = -1,4 , B = x|log2x<2 = (0,4 z 故 AcB = (0,4,故选 C.2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得,问题得解.【详解】由z(i)可得："&=匚上7 = -；所以同=；故选：B3、C【分析】直接把已知代入数量积求解即可.解：因为单位向量W , 7s茜足,贝- b ) = a2 - a*b= 12 - 0=1 .故选：C.4、【答案】A【解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式.【详解

11、】将函数放)=s»伊十1的图象向左平移泠单位后所得图象对应 的解析式为7T 7TT(y = srn2(x + -)+- = sin(2x + -) = cos2x .6 62故选A.5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解.角星:,/x*log32 = 1 , .,.x = log23 ,/.4x = 410Sz3= 41%9 = 9 ,故选：D .6、B解 r/sinB = sinn -( A+C ) = sin( A+C )= sinAcosC+cosAsinC= 2sinAcosC ,.'.cosAsinC - sinAcosC = sin ( C - A

12、) =0,即 C-A = 0,C=A,9 / 19二c,即SBC为等腰三角形.故选：B .7、【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可.【详解】输入的分别为3 , 1时，依次执行程序框图可得:b = 2xl = 2不成立77 = 1 + 1=29 1 9 27 a=-+x=2 2 2 4b=2x2=4不成立 =2 + 1 = 327 1 27 81 a = + x =4 2 48"=2x4=8不成立77 = 3+1 = 481 1 81 243 a = + x =8 2 816/? = 2x8 = 16成立输出 =4故选：C【解析】由-1, q, 7成等差数列即可列方程求得 =3,即可

13、求得: &=3"T，即可求得：a=-1,再利用等差数列前八项和公式计算即可.【详解】因为-1 , q , 7成等差数列，所以%= 7 + 7 ,解得：q = 3又。2 =3 ,所以 =%厂2 =3x3-2所以=1。比q=1叫3"-' = T所以"=仇+% + h)_9伍+%)9(1-1+9-1)DU故选：A9、【答案】D【解析】由/(x) = "lnx +加可得：f(x) = - + 2bx f .X又函数/的图象在X=1处的切线与直线X - 丁 - 2，=。平行，所以r=。+%=1口斤以+ = + x 1 = + - x («

14、 + 2/7)“'队 a b a b) (a b) ')= 1 + 2 +丝+色之3 + 2,/ = 3+2 虚 a b a h当且仅当。=0-1/=1-4时，等号成立所以 + ；的最小值为3 + 2" a b故选：D10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可.解：二.函数的最小周期是TT，等二穴，得3 = 2 ,则 f ( x ) =sin ( 2x+(p ),TTf (x)关于(一，0冲心对称， o兀/.2x ( - - ) +(p = kn f keZ , BD(p = kn+-y, keZ , 5苫，,号上递减,.,.当

15、k = 0 时，<p = -, 即 f ( x ) =sin ( 2x+子)，则函数在-看，上递增，在看 兀f (0)=f()z-T<1<2'.f(V)>f (l) >f (2), 即 f (2) <f (1) <f(0), 故选：D .11、【答案】C【解析】12 / 19由题知线段AB是椭圆的通径,线段48与）,轴的交点是椭圆的下焦点 耳，且椭圆的c = l ,又NE48 = 60 ,.个=盘=今=得14号= 2|A/ = ；，由椭圆定义知 141n uv 7、7 373口用+口用=2。=,.a = Q,e = £=； =

16、63; ,故选 C.J34 J3 312【答案】D【解析】构造函数/(，?)一/(12?)，曲一1 => f(m)-m > /(I -2/n)-(1 -2m), 所 以 构 造 函 数 F(x) = f(x)-x , /(2 - a) = /(a) - 2x + 2 => /(2 - x) - (2 - X)= /(x) - x , E(2 x) = b(x)所以尸(x) 的对称轴为x = l，尸")=/0)-1所以，xel,+ool尸(x)>,尸(x)是增函数； 工金(-81/3<0,尸")是减函数。二仙-11>11-2-11,解得：1

17、3【答案】1【解析】根据对数运算，化简即可得解.【详解】由对数运算，化简可得log. 15-Ilog. 25=log, 15-log, 25 = log315-log35 故答案为:114、【答案】5【解析】式组表示的平面区域，再将目标函数z = x+2y对应的直线进行平移, 可得当x = 3且y = l时，z取得最小值.x>0【详解】作出不等式组卜“表示的平面区域，x-2y<其中解得A（3.1）工一,） 一 设z = x+2y，将直线I : z = x+2y进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当I经过点A时，目标函数z达到最小值.z 最小值= 3+2 = 5故答案为：5 .15、

18、【答案】黑【解析】由题意得斗=21 -1( > 2) . 4= 2an -2an_1.S尸2-1,=1, % = 2- ± = G严，数列J 的前6项和为 % 乙ln1-4)6_631 -32 i 216、【答案】f【详解】.正三棱锥P - ABC , PA , PB , PC两两垂直,.此正三棱锥的外接球即为以PA , PB , PC为三条棱的正方体的外接球，球的半径为十，,正方体的边长为2 ,即PA = PB = PC = 2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h则正三棱锥P - ABC的体积V = $3BCxh = |sPABxPC

19、 = |xix2x2x2 = JABC为边长为2”的正三角形，SMBC = x ( 2M ) 2 = 2炉17、解：(1)由 10+0.1 = 100 , SD n = 100 ,/.a = 100x0.4 = 40 ,b = 30-100 = 0.3 .(2 )设从特等品产品中抽取x件，从一等品产品中抽取y件，由分层抽样得瑞嗡脸，解得 x = 2 , y = 4 ,在抽取的6件中，有特等品2件,记为Al , A2 ,有一等品4件，记为Bl , B2 , B3 , B4 ,则所有的抽样情况有15种，分别为：A1A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A2B1 , A2

20、B2 , A2B3 ,A2B4 , B1B2 , B1B3 , B1B4 , B2B3 , B2B4 , B3B4 ,其中至少有1件特等品被抽到包含的基本事件有9种，分别为：A1A2 , A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A2B1 , A2B2 , A2B3 ,A2B4 ,二至少有1件特等品被抽到的概率为：P =.12分18 .解：(1)令,当心2时，-I=-,当 =1时，仇=；,则,故/=三士63加 一3 32分(2),'二!一 , 8(3 + 5)3(/ +1) + 5 3 (3 + 5) 3(n + 1) + 5分T = (-) + (-) HF (-)3x

21、1+5 3x2 + 53x2 + 5 3x3 + 53x + 5 3(/+ 1) + 5_14_3(+ 1) + 56 9+ 24 6+ 1612分19 .解:(1)取AC中点为。一连接oq出 ,.正方形48cA中。为A£的中点，为坊自的中点.又;正方体 A3CQ-A4GD| 中 5 &CC & BB,.。0 n CCj & BB . ：.OOX 匕 BB四边形OOB为平行四边形，BO】2 B、O ：.BOl 幺 Dp.四边形O/OQ为平行四边形.又30(Z平面AC。1，OQi u平面AC。1，/. OB/ 平面 ACD1 6 分(2 ) 匕底为4阳 =VaB

22、CCRABi _ 匕 1_岚耳 _ Vc-gDiv _v 一20vABCClDAlBl = vABCD-AlBClDl _ VDACD =4一 ,A-BCBX =%-8£Q =飞，lOc/AA =才-2乂 不=412分 20 . (1)因为椭圆E的一个焦点与抛物线=今的焦点关于直线 y=x对称,所以椭圆E的右焦点为（1，。）,所以。=1.又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为（2,。），所以。=2 ,又方=-一厂=3 ,所以椭圆E的标准方程为=+=1.4分43=1（2波直线1的方程为丫 =履-2，"o则点尸标,0；|设4（不,"心,为） 则点。（X，F）,联立直线I与椭

23、圆E的方程有了可y = kx-2彳导（3 + 4犷卜216人+ 4 = 0 ,所以有 = 48（4G一1）0 ,即父；_ 16k“r ：+妹二即直线bd的方程为_4>2 + >1 X2 X令尸。，得点Q的横坐标为“=卡=笑言手? !十 ?2K l Al 十七 1 一8k 32k-24攵力代入得：丸丁户-4（3 + *）=F = 2k9所以IOPI IO。卜卜门°|=/2攵=4 ,所以IOPI IOQI为定值4 K21. （ 1） f（x）的定义域为（0，+8）,八加2="3=生如二1, XXX/（'）的单调递增区间为|。，9和（2，笆），单调递减区间为，25分（2/上2+皂士产，小）有两个极值点，令g(x) = 2f-m+2 ,则g(x)的零点为,且;玉/<±.3 e