初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换旋转

1、精心整理初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换一旋转一：如何构造旋转图形1、 遇中点，旋180° ,构造中心对称图形，即倍长中线。2、 遇90 ° ,旋90 ° ,构造垂直一等腰直角三角形、正方形。3、 遇60° ,旋60° ,构造等边。口诀：边相等，就旋转。二：倒角（旋转后，常见图形）%Q为”j i,1、如q/X长为 网的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方 形y c'中阴影部分的面积为连接AE,根据/ BAB' =30可知/ DAB' =60,°由正方形的性质可知， AB=AD ,由图形旋转的性

2、质可知 AD=AB，故可得出RtADE ©RtAB' E, 由直角三角形的性质可得出 DE的长，再由S阴影=S 正方形ABCD -S四边形ADEB 即可得出结论.c笋解答：。解：/BAB' =30,°连接AE, ./DAB' =60,°丁四边形ABCD是正方形,，AB=AD , / D=/B=90 °,正方形AB' C是QE方形ABCD旋转而成, ，AD=AB' , / B' =90 °在 RtAADE 与 RtAAB E中，AD=AB' , AE=AE ,R RtAADERtAAB E丁

3、. / DAE= 1=30 ,2、如图，P是正AABC内的一点，且 PA=6 , PB=8 , PC=10.若将 PAC绕点A逆时针旋转后，得到 P' AB则点P与点P'之间的距离为?, /APB=? °.答案此题答案为:6; 150 °.解：连接PP' .P' A是APAC绕点A旋转得到的，.P' ABA PAC. P' ABA PAC , PA=6 , PB=8 , PC=10 ,',1P' a=PA=6 P' B=PC=10 /PAC=/P' AB.ABC为正三角形, 丁. / BAC=6

4、0 ° ,丁. / PAC+ / BAP=60 . /PAC=/P' AB，/ P' AB + BAP= / P' AP=60 ° . /P' AP=60,°PA=P' A,.PAP'是等边三角形，PP' =PA=6 ./P' PA=60 ° .在 PBP'中 PP' =6 PB=8 , P' B=10 .PBP'是直角三角形，'J " Li /BPP' =90,° ./APB=/P' PA+ BPP' =6

5、0 ° +90 ° =150 ° ,W 弋11：3、如图，P是等边 ABC内一点，/ APB、/BPC、/CPA的大小之比为5:6:7,则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对答案人叶此题答案为：A.解：如图，将 APB绕A点逆时针旋转601AP'Q显然有4 AP'陞 APB ,连 PP',. AP' =AP /P' AP=60,° .AP' P是等边三角形， .PP' =AP . P' c=pb .P&#

6、39; CP勺三边长分别为 PA, PB, PC,/ APB+ / BPC+ / CPA=360 ° , / APB : / BPC : / CPA=5 : 6 : 7 , 丁. / APB=100 ° , / BPC=120 ° , / CPA=140 ° ,./PP' C =AP' G/AP' PNAPB-/AP' P=100-60 =40°,i/P' PC =APC-/APP' =140-60 =80°, 蓝卜UI /PCP' =180- (40 +80 °) =

7、60 °, ./PP' C: / PCP': / P' PC=2 3: 4.故选A.4、如图，C为线段E上一动点(不与点、E重合)，在同侧分别作正 毋1BC和正ACDE,如与皿交于点或与8c交于点P,即与CD交于点Q, 连接P。以下五个结论：,4D = BE；PQ/ME；4P = "Q；DF = DP； 乙403 = 60°。恒成立的结论有 ? 0 (把你认为正确的序号都填上)答案本题主要考查全等三角形的应用和等边三角形。项，在正 A.48C和正 hCDE中，.4C = BCLACH DC = C£LDCE 二册口,(AC -BC

8、( AACD = ABCE 所以lB(：D = 60口，所以LCD二£BCE。在ZUCD和ABCE中，I=,所以A*'DWABCE(S.4” 所以MME。 故项正确。项，由知MCDLBCE,所以"DC =/BEC。在ACDP和MEQ中,!£PDC = £QECDC = C£"D = "5 所以MtDCEQ（ASA：%所以CP = CQ,所以&PCQ为等 边三角形，AQPC = ZPCA = 60°,所以PQ/ME0故项正确。项，由知MCa AHCE,所以AD = BE。由知LCDP”CEQ,所以PD

9、 = QE0所以"二BQ。故项正确。项，PD = QE,由题意知，DEQE,所以。£>DP。故项错误。项，LAOii = ADAE + AOEA 5又因为 ZAEB =/ADC,所以0月0,区"U !ZAOB = /J）AE + ZADC = £DCE= 6/。故项正确。x M . 一75、已知如图，RtAABC中/BAC=90 , AB=AC , D为BC边上任意一 点.（1）求证：2AD2=BD2+CD2；（2）若D为BC延长线上任意一点，（1）中结论是否成立？若成立，请验证；若不成立，请说明理由.答案方法一：旋转 ADC使AC与AB重合方法二

10、？解：（1）作过点D分别垂直AB、AC于点F、E,由题意中RtAABC中/ BAC =90 ° , AB=AC ,所以此三角形为等腰三角',1形，那么/ B= / C=45°而作过点D分别垂直 AB、AC于点F、E,所以RtABFD 与RtACDE均 为等腰直角三角形在 RtA BDF 中有 BF=DF ,由勾股定理得：BF2+DF2=BD2 即 BD2=2DF2在 RtDEC 中有 DE=CE,由勾股定理得：CE2+ED2=CD2 即 CD2=2DE2AD2=DF2+AF2在RtAFD中，由勾股定理得：而四边形AFDE为矩形，所以有DF=AE, AF=DE由以上等

11、式通过等量代换得：2AD2=2? DF 2+DE2=BD2+CD2即 2AD2=BD2+CD2； (2)同样作过点D垂直BA延长线于点H,过点C作垂直DH于点G,同得RtA BHC与RtACGD为等腰三角形,在 RtBHC 中有 BH=CH,由勾股定理得：BD2=BH2+DH2=2DH2J /在 RtCGD 中有 CG=DG,由勾股定理得：DC2=DG2+CG2=2CG2' Fl在RtAHD中，由勾股定理得：AD2=AH2+DH2 一% XJ " 、L',.,1而由题意知：四边形 AHGC为矩形，所以有 AH=CG由以上等式，由等量代换得：2AD2=2? AH2+DH

12、 2=2AH2+2DH 2 =弋x ，!J= BD2+CD2所以(1)中结论仍成立.6、已知如图，一""中，0=90 , AB = AC ,E F为BC上的点且 “必=睛,求证：EF=BD + Fd.答案产一门-.-1( /c if vAAB（；.连接EG.8 E 产。证明:把绕点A顺时针旋转,川，得到来源网络，仅供个人学习参考Za.4ct= A.mr;则/ 4G = AF BG = CF £ABG = Z.4CF= 45" ,. BAC - SXT ZG4F = 90" ,.，/G.AE= ZE4F= 43°» A/1EC

13、、AAFE »在 和 中AG AFAGAE = LFAEAE = AE ,AEG = AFE(SA5) .EF= EG,- ' ：.-：._ 1,；,., . . . ._='> i 'i I ir'i I I >1 i 又, e- I'/.£?E2 + BG- = EG2 ,即 ，. ! I 工，' J 弋7、如图, 和 都是等腰直角三角形 f 一皿七一，D ,diD- + /炉=DE 、 "U./ GOC+ / GOH=90 / GOH+ / BOA=90/AOG=90三角形AOG是等腰三角形，AG=

14、12AC=169、已知：正方形,如CD中，N = 45、/MAN绕点顺时针旋转，它的两 边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点”、.V。当口日A；绕点.4旋转到 B.V = DA时（如图1）,易证BM + DA = MA。（1）当NMC绕点旋转到8“,公,时（如图2）,线段RU、DA和之 间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。为AB边上一点.求证：十”比，.答案,.I ' I 二， 1".ECO _ 一证明：. 和 都是等腰直角三角形，/.ZZ? = ZBAC = 45 I ,AC = BC- ：.:：,CE = CD ,£ACB - ZDC£ =

15、 90,.4CZ? - Z.ACD = Z.DCE - ZACD ,即，,AACE _ ZBCD , 在 和 中，f AC = BC < Z1 = Z2 CE=CD , ：AACE = ABCD ,.ZC4£= ZB = 45” ,"EAD = /E/C+ /CAR = 45° 1-45° = 90° ,./.BE- = AE2 + AD2 .；| .7 入 .，；-r-.,8、如图，以Rt BCA的斜边BC为一边在 BCA的同侧作正方形 BCEF , 设正方形的?中心为O,连结AO,如果由二4 ,耳。=6有，那么AC的长为（？ ）. 答

16、案在上取一点G,使CG=AB=4,连接OGOGC全等于OAB是等腰直角三角形，（勾股定理） 1 当MAN绕点旋转到如图3的位置时，线段BM、DA：和.也V之间又有 怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。答案（1）BA/ + DX = A/A0如图，将A4DA.绕点顺时针旋转切口，使得与如 重合，则E、D、M共线,AS。AD,=心'，ZDAN = /D4E。因为= 所以 UAN + /BAM = NBAE +如U = IEAM =疔。在 All他与AABN 中, （AE = ANI；一；.；，EAM =，NAM1i ,.m/,所以 MME.ZUMN（SAS）所以 M£=MK ,即

17、*：M11BA/ + B£ = BA/ + aV = A/A0,1.''f.- （2）DN-3M = MV。解析本题主要考查图形的旋转变换、边角边定理以及正方形的性质。（1）根据旋转图形性质，利用边角边定理证得 AAME*AAMN,根据等量 代换证得.UE = MN ,进而证得BM + DX = MR。（2）如图所示，在DA,上截取W = B”，在ADQ与/UAU中，r 4D = AB4 Z.ADQ = ZABM=眸,所以AM - MB邨期,所以如Q =皿H DQ = BMo又因为4 mM 900 - ZD.4Q 73 9俨-乙立叫=45°,所以0鼻&quo

18、t;公川、。!AQ = AM £QAN = £MAN j 1V = 4,，所以- &4M邓的，所以V'=QN,所以 DN-BM=MA。精心整理10、已知：在？4ABC?中，？BC=a?, ?AC=b?,以？AB?为边作等边三角形？ABD.?探究下列问题：(1)如图？1,?当点？D?与点？C?位于直线？AB?的两侧时？,a=b=3,?且？ / ACB=60° ?,贝U?CD=?;(2)如图？2,?当点？D?与点？C?位于直线？AB?的同侧时？,a=b=6,?且？ / ACB=90° ?,贝U?CD=?;(3)如图？3?,当？/ACB?变化，且点？D?与点？C?位于直线？AB?的两侧时，7u Q"答案c求？CD?的最大值及相应的？/ACB?的度数。a=b=3?,且？/ACB=60° ?, N冷、飞蕊0、(i.ABC?是等边三角形，.00=33，？， .CD=33 2 ?(1?分？)(2)36，？32M?(2?分？)(3)以点？D?为中心,将？DBC?逆时针旋转?60° ?,贝(J点？B?落在点？A?,点？C?落在点E.连接？AE?, ?CE?, ，CD=ED?, ?/CDE=60° ?, ?AE=CB=a?,.CDE?为等边三角形， 来源网络