立体几何证明平行的方法及专题训练

1、立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜-szdsgz立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法: (1 通过“平移”。(2 利用三角形中位线的性质。 (3 利用平行四边形的性质。 (4 利用对应线段成比例。 (5 利用面面平行的性质,等等。 (1 通过“平移”再利用平行四边形的性质1.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF 平面PCE ;分析:取PC 的中点G ,连EG .,FG ,则易证AEGF 是平行四边形 2、如图,已知直角梯形ABCD 中,AB CD ,AB BC ,AB =

2、1,BC =2,CD =1+3, 过A 作AE CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将ADE 沿AE 折叠,使得DE EC.(求证:BC 面CDE ; (求证:FG 面BCD ; 分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形(第1题图 D B A 1AF3、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB M 为BE 的中点, AC BE. 求证:(C 1D BC ; (C 1D 平面B 1FM.分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF/EA4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是

3、直角梯形, ,AD CD AD BA CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: /EB PAD 平面;分析:取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2 利用三角形中位线的性质5、如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM 平面EFG 。分析:法一:连MD 交GF 于H ,易证EH 是AMD 的中位线 法二:证平面EGF 平面ABC ,从而AM 平面EFG 6、如图,直三棱柱/ABC A B C -,90BAC =, AB AC =AA =1,点M ,N 分别为/A B 和/B C 的中点。ABCDEF G M证明

4、:MN 平面/A ACC ;分析:连结AC 1,则MN 是则A 1BC 1的中位线, 7.如图,三棱柱ABC A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点. 求证:AB 1/面BDC 1;分析:连B 1C 交BC 1于点E ,易证ED 是 B 1AC 的中位线8、如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.证明: BC 1/平面A 1CD;分析:此题与上面的是一样的,连结AC 1与A 1C 交F,连结DF ,则DF/BC 1 9、如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和AP 作平面

5、交平面BDM 于GH .求证:AP GH .分析:连结AC 交BD 于O 点,连结OM ,易证OM PA 从而PA 平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得AP GH .(.3利用平行四边形的性质10.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心,求证: D 1O/平面A 1BC 1; 分析:连D 1B 1交A 1C 1于O 1点,易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形 11、在四棱锥P-ABCD 中,AB CD ,AB=21DC ,中点为PD E . 求证:AE 平面PBC ;分析:取PC 的中点F ,连EF 则易证ABFE 是平行四边形12、在如图所示的几何体中

6、,四边形ABCD 为平行四边形, ACB=90,EA平面A BCD,EF AB,FGBC,EGAC .AB =2EF . (若M是线段AD的中点,求证:GM平面ABFE ; (若AC=BC =2AE ,求二面角A -BF -C的大小. (I 证法一:因为EF/AB ,FG/BC ,EG/AC ,90ACB =, 所以90,EGF ABC =.EFG 由于AB=2EF ,因此,BC=2FC , 连接AF ,由于FG/BC ,BC FG 21=在ABCD 中,M 是线段AD 的中点,则AM/BC ,且BC AM 21=因此FG/AM 且FG=AM ,所以四边形AFGM 为平行四边形,因此GM/FA

7、 。 又FA 平面ABFE ,GM 平面ABFE ,所以GM/平面ABFE 。(4利用对应线段成比例 13、如图:S 是平行四边形ABCD 平面外一点,M 、N 分别 是SA 、BD 上的点,(1SM AM =ND BN, 求证:MN 平面SDC (2AM DNSM BN=,求证:MN 平面SBC 分析:法一:过M 作ME/AD ,过N 作NF/AD利用相似比易证MNFE 是平行四边形法二:连接AN 并且延长交CD 或CD 的延长线于E 点,连结SE ,则易证MN SE,于是MN 平面SDC ,同理连接AN 并且延长交BC 或BC 的延长线于F ,连结SF ,则易证MN SF,于是MN 平面S

8、BC 14、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ,M ,N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证:MN 平面BEC分析:过M 作MG/AB ,过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形(6 利用面面平行15、如图,三棱锥ABC P -中, E 为PC 的中点,M 为AB 的中点,点F 在PA 上,且2AF FP =. 求证:/CM 平面BEF ;分析: 取AF 的中点N ,连CN 、MN , 易证平面CMN/平面EFB16、如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中,3AC =,4BC =,5AB =,14AA =,点D 是AB 的中点, (1求证:1AC B

9、C ;(2求证:11CDB /平面AC ; (3求三棱锥11C CDB -的体积。分析:取A 1B 1的中点E ,连结C 1E 和AE ,易证 C 1E CD,AE DB 1,则平面AC 1E DB 1C,于是11CDB /平面AC17 在长方体 ABCD - A 1B 1C1D 1 中, AB = BC = 1, AA 1 = 2, 点 M 是 BC 的中点,点 N 是 AA1 的中点. (1 求证: MN / 平面 ACD ; 1 A1 B1 N C1 D1 (2 过 N , C, D 三点的平面把长方体 ABCD - A 1B 1C1D 1 截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的

10、体积的比值. （1）证法 1：设点 P 为 AD 的中点，连接 MP, NP . 点 M 是 BC 的中点, MP / CD . CD Ì 平面 ACD , MP Ë 平面 ACD , 1 1 MP / 平面 ACD . 1 点 N 是 AA1 的中点, NP / A 1D . A1 D Ì 平面 ACD , NP Ë 平面 ACD , 1 1 2 分 A B B1 A1 C1 D D1 C M N A B P M C D NP / 平 面 4 分 A1 . MP C D NP = P , MP Ì 平面 MNP , NP Ì 平面

11、MNP , 平面 MNP / 平面 ACD . 1 MN Ì 平面 MNP , MN / 平 面 6 分 A1 . C D A1 B1 N 证法 2: 连接 AM 并延长 AM 与 DC 的延长线交于点 P , 连接 A 1P , 点 M 是 BC 的中点, BM = MC . D1 C1 6 A D ° ÐBMA = ÐCMP , ÐMBA = ÐMCP = 90 , Rt MBA Rt MCP . AM = MP . 点 N 是 AA1 的中点, MN / A1P . A1 P Ì 平面 ACD , MN Ë

12、平面 ACD , 1 1 MN / 平面 ACD . 1 (2 解: 取 BB1 的中点 Q , 连接 NQ , CQ , 点 N 是 AA1 的中点, NQ / AB . AB / CD , NQ / CD . 2 分 4 分 6 分 B1 A1 C1 N D1 Q A B D M C 过 N , C, D 三点的平面 NQCD 把长方体 ABCD - A 1B 1C1D 1 截成两部分几何体, 其 中 一 部 分 几 何 体 为 直 三 棱 柱 QBC - NAD , 另 一 部 分 几 何 体 为 直 四 棱 柱 B1QCC1 - A1 NDD1 . 8 分 S DQBC = 1 1 1 QB BC = ´ 1 ´ 1 = , 2 2 2 直 三 棱 柱 Q -B N C A 的D 体 积 V1 = S DQBC AB =