绝对值,二次根式,分式

1、(一) 绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值仍是零即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：a b表示在数轴上，数a和数b之间的距 离.例1、解不等式：| x|1例2、解不等式：|x 1| 2你自己能总结出一般性的结论吗？例3、解不等式：|x 1 x 3 >4.解法一：由x 10，得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ; 若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3)4，即 2x 4 >4，解得 xv0，又 xv 1，xv 0；

2、若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3)4，即 1> 4，不存在满足条件的x; 若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4，即 2x 4 >4，解得 x>4.又x>3x> 4.综上所述，原不等式的解为xv0，或 x>4.解法二：如图1. 1- 1，x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|FA|，即|PA|= |x- 1|; |x- 3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB匸x-3|.所以，不等式x 1 x 3 >4的几何 意义即为|FA|+ |PB|> 4.由AB匸2,可知点P在点C(坐标为0

3、)的左侧、或点 P在点D(坐标为4)的右侧.|x- 3|P C AB Dx 014x|x 1|图 1. 1- 1xv0，或 x>4.练习1填空题：（1） 若 x 5，贝V x=；若 x4，贝V x=.（2）如果 |a b 5，且 a 1，则 b=；若 1 c 2，则 c=2选择题：下列叙述正确的是（）（A ）若 a b，则 a b（ B ）若 a b，则 a b（C）若 a b，则 a b（ D）若 a b，则 a b3.化简:x - 5|- |2x- 13| （x> 5 ）4.解下列不等式：（1）x 3 2x 33(2) x 1 x 34（二）二次根式（1）一般地，形如.a（a

4、0）的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不 能够开得尽方的式子称为 无理式例如3a 、a2 b 2b ,、a2 b2等是无理式，而-、2x2 - x 1 , x2 -、2xy y2, 、a2 等是有理式.21 分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做 分母（子）有理化为了进行分母（子） 有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果 它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如.2 与, 2，3.a 与、.a，-. 3、6 与3，2.3 3 迁与 2、3 3 三，等等. 一般地，a-, x 与x， a x b： y 与a , x bjy， a、

5、x b 与a-、x b 互 为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的 根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分 子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式Ob（a 0,b0）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式 的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2二次根式的意义a, a 0,a, a 0. a2b(a 0) ;(3)4x6y(x 0).2.3b ;a|Vb aVb(a 0)；2x3| y2

6、x y(x 0).例1 将下列式子化为最简二次根式:(2),12b, a2b(1)、莎;解：(1)(2)(3)例2计算：.3 (33).解法一：5 (3 .3) 3_3 V3= 般(3问(3、3)(3、3)3一3 39 3=3( J3 1)6襄12 °解法二：.3 (3.3)3 V333(、3 1)_ 13 1、3 1(、3 1)(.3 1)i2例3试比较下列各组数的大小：(1)、12 .,11 和.11 .,10 ;(2)_2 和 2:26 .V64解:5刁至严51）（、12,1i）1屁妬 屁州吊 1011 "0 (肓帀)(后両 i1.11；10,11 J0，又、.12、

7、，诃,1.10 ,、T2 jT v -.11 J0 .(2)v 2 62 2 6(2 2 6)(2 2+ 6)212厲+厉2屈76又 4>2 2, 6+ 4> 6+ 2 2, _2V 2., 2- . 6.V64练习：1. 将下列式子化为最简二次根式：(1).面2( 2). 27a2b42. 计算：2 It3. 比较下大小：、5 、7和'、11 '、15例 4 化简:（、3&）2004（、3 -.2） 2005.解：（、3 &严（3&）2005二（、30）2004（、.3三）2004（、.3、2） =严(申.2)二（、3J）（GG）2004（

8、G=.32 .例5化简:(1). 9 <5 ;(2)解：(1)原式 ,5 4.5 425 22.(5)2 2 (2、5)22岡75(2)例6已知x解:J(x y1x 一xx 1，1 x，原式=1x.x73rL, yV2v3 7爲y/3、區1/3，迈2 .xx y原式=所以,V 01,求 3x273Xy 3二 3x2 5xy 3y23(x y)2 11xy5xy 3y2 的值.2)2 ( .3 ,2)23 1 02 11289 .10 ,练习1填空题：/八13(1) =；1.3(2) 若 J(5 x)(x 3)2 (x 3)JT"X，则 x 的取值范围是 _ _一(3) W24

9、6阿 3/96 2150 ；5. x 1、X 1 x 1 x 1(4) 右 x，贝y2Vx 1 vx 1 Vx 1 vx 1(5) 等式 xx2xx2 成立的条件是 (6) 比较大小：2-<3頁-V4 (填、”，或 N”).2，求a b的值.Ja2 1 訴2.若b（三）分式1 分式的意义AAA形如A的式子，若B中含有字母，且B 0，则称-为分式当M M0寸，分式-具B有下列性质：ABAA M ；;B MA MB M B上述性质被称为分式的基本性质.2 繁分式abd像cm n2mP这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.例1若5xx(x 2) 解:v AxBx 2B 5,，求常数代B

10、的值.x 2A（ x 2） Bx解得例 2. (1)(2)xA 2A 4,A 2,B1 n(n11 2试证:计算:1)x(x2)证明:对任意大于（1）证明:(2)解：由1 21 (1 )21 1n n 1 . 1n(n 1)(1)可知12 31)(A B)x 2Ax(x 2)5x 4x(x2)（其中1 ；9 10 ；的正整数(n 1) nn(n 1)1 (n 119 10L (1n，n是正整数）；有-2 33 41n(n 1)（其中n是正整数）成立.1n(n 1)2(3)证明：.1 1 | 1L2 3 3 4n(n 1)11111 1=(-)(-)L ()2 33 4n n 1=1 1=2 n

11、 1又n2且n是正整数，1-n+1 一定为正数，11, 1 1 LV2 3 3 4n(n 1)2110910设 e -，且 e> 1, 2c2 5ac+ 2a2= 0,求 e 的值. a解：在2c2 5ac+ 2a2= 0两边同除以a2，得2e2 5e+ 2 = 0,v 1,舍去；或e= 2.(2e 1)(e 2)= 0, 1-e= 2e= 2.练习1对任意的正整数n，n(n则-=y1I 2)1(-n3 .正数x, y满足2xy，求-y的值.x y4 .计算99 100习题A组3.已知1,x3y3 3xy的值.(1)(2書)18(2E =;(2)若J (1a)27(1 a)22 ,则a的取值范围是(3)111111