第二章一元函数微分学及其应用.

1、第二章一元函数微分学及其应用知识点拔2.1导数的概念一、导数的概念1、函数f (x)在点x0导数的定义设函数y二f (x)在Xo的某个邻域内有定义，给自变量Xo以增量 X，而相应的函数增量为f(x)f(xo)存在,limX 氏X _ x01#则称函数y二f (x)在点Xo可导，并称此极限值为函数f (x)在Xo点的导数.Idvf (x° 中也x) f (x0)记作： f(xo), v"x=x 0或才 X=Xo，且有 f (Xo) = jjm注释： 函数在点xo可导必须满足两个条件：a、f (x)必须在点xo的某个邻域(xo -：,xo，)内有定义，如：y = . x在x =

2、 o不可导, 因在x : o时无定义；x，由于极限ljm .y不存在，所以y = |x在x = o不可导.函数在点Xo可导，不能保证函数在点Xo的邻域内可导X2, X为有理数f(o)= o ,但在X = o时它不可导,也就是说，或函数f(x)的xo可导，则一定有 啊f(Xox) f(Xo -：x)存在，但是若极限血一 X) 一 f(Xo - X)存在，也不能说f (X)在Xo点可导，因为它不能保证 f (X)在Xo点有定义.#几个常用导数定义的等价形式f(X。)f (Xo h) - f (Xo)hf (Xo h) 一 f (Xo)-hf (Xo)f (Xo)f (Xo)f (xo) - f (

3、xo -h)hf(X。)珂叫f (Xo 2h) - f (Xo)2h= limf(Xo)-f(Xo2h)h >o-2h般地有f (xo)=lim f(Xo a h)f(Xo)Moa h=讪 f(Xo)-f(Xo ah)hoah(a为常数)；其通式为f(x°)=lim f(Xo 7(x)-f(xo)，其中u(x)为奇函数. hToU(X)2、函数f (X)在区间上的导数定义如果函数y二f (x)在区间(a,b)内的某一点都可导，则称函数y = f (x)在区间(a,b)内可导，那么对于区间(a, b)内的任一点x，都对应于一个确定的函数值f (x)，这个新的函数称为函数y二f(x

4、)的导函数，简称：导数，记作：f(x)、y、dx 即 f (x) = lim 卫二 lim f(x "(x)，其中 x .佝 b).to Ax必 to氐 xdf (x)dx注释：函数y = f(x)在点xo处的导数f (冷)是导函数f (x)在点x=xo处的函数值，即f "(Xo) = f "(x)xk，但 f"(Xo)鬥 f(Xo)二、导数的几何意义1、几何意义可导函数y二f (X)在Xo点的导数(Xo)是曲线y二f(x)在点(x°, f (x°)处的切线斜率2、切线方程与法线方程曲线目二f (x)在点(xo, f (xo)处的切线

5、方程为：y - y° = f (x(x - Xo)；曲线y = f (X)在点(Xo, f (Xo)处的法线方程:1市).2三、左右导数的概念1、左右导数的定义f (Xo . ：x) - f (Xo)f (x) - f (Xo)右导数：f (刈)=limlim0To+Ax+ x-x0f(Xo：x)-f(xo)f(x)-f(xo)左导数；f_(xo) = limlimAx一 X-Xo2、可导的充要条件定理f(X)在Xo可导二f(Xo) = f_(Xo)，即左、右导数存在且相等注释：该定理主要用于讨论分段函数在分段点处的导数是否存在四、可导与连续的关系y = x在x = 0连续，但在定理

6、 如果函数f (X)在点Xo处可导，则f (X)在点Xo处连续，反之不成立注释： 若函数在某一点连续，但函数在该点不一定可导，如x = 0不可导，即函数在某点连续是它在该点可导的必要条件函数在点Xo可导，不能得到它在点Xo的某个邻域内连续,如:X2,X为有理数,0, X为无理数，在x = o可导，且在x = o连续，但在x = o的任何点都不连续 函数在Xo处可导，不能得到它的导函数在Xo点连续，如:2 1X cos ,x = o f (x)X在o,x = ox = o可导，但f (X)2xcosx sinj x = ox在x二o不连续2.2 一元函数的求导法则一、 基本初等函数的求导公式(略

7、)二、导数的四则运算法则定理 设函数u(x)与v(x)在点X处都可导，则(1) (u _ V)二 u _v ；(2) (u v) =uv _ uv ，特别地(Cu)'Cu : C 为常数;三、复合函数的求导法则4定理 若函数u = (x)在x点可导，而 y= f (u)在对应的点 u处可导，则复合函数 y = f (x)在点 x可导，且有 孚 dy d 或 yx 二 f (u)比二 f (x) : (x).dx du dx四、反函数的求导法则定理 若函数x =(y)在某一区间内单调且可导，且(y) = 0，则它的反函数y=f(x)在对应的区间上也可导，且有f(x)=七或学dy注释： 只

8、有满足求导法则的条件时，才能使用求导法则如：f(X)J0，X为有理数1,x为无理数 函数的和、差、积、商、复合函数是可导的，不能保证各自是可导的,g(x) =0x为有理理数，因 f(x) + g(x)=1 , f(x) g(x) = 0,0,x为无理数fg(x) =0, gf(x) =1在任意点都是可导的，但f (x)及g(x)在任一点都不可导2.3高阶导数一、高阶导数的概念1、二阶导数的定义若函数y二f (x)的导数f (x)对自变量x仍可导，则称f (x)对x的导数为函数y二f (x)的二阶导数，记作:f (x)、也或蛋fdx2 一 x22、高阶导数定义二阶及其以上阶的导数叫高阶导数，一般

9、地f(n书(x)的导数，称为f(x)的n阶导数，记作:nnf(n)(X)、y(n)、与或 ，即 f("(X)= f(心)住)】(n_4 ) dxdx3、高阶导数的运算法则(1) (u_ Jn) d(n)(2) 莱布尼兹公式n(n)k (k) (n _k)0 (0)(n)1 (nd)n (n)(0)(uv)Cnu vCnuv Cnu v 亠 亠Cnu v ,其中v(0)k=0u(0)、几个常用函数的高阶导数(xn)(n) = n!，(xm)(n) = m(m-1) (m -n 1)xm- (m _ n)，(xm)(n)= 0(正整数 m n)，(ax)(n) =ax(l na)n，(e

10、ax)(n) =aneax，(e)(n) =(-1)匕，(ex)(n)=ex，n _1(sin x)(n) =sin(x J)， (cos x)(n) = cos(x )， (ln x)(n) = LJ! _，22x1 化(-1)nn!an ( 1 仁(-1)n n! 卩(n) = (-1)nn!iax+b.丿(ax+b)nH1 lx+b 丿(x+a)n41 lx 丿 xn412.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数求隐函数的导数一般有以下三种方法：1、公式法设方程F(x,y)=0决定了 y是x的函数，贝U jY = _Fx(x,y).dx Fy(x, y)2、利用一阶微分

11、形式的不变性方程两边同时微分，可得含有dx、dy的一个方程，从中求出微商jy即可.dx3、利用复合函数的求导法则第一步：方程两边同时对 x求导，当遇到y的表达式时，把y看成是x的函数(即先对 y求 导，再乘以y对x的导数y"),可得到一个含有 x、y、y的方程;第二步：从上述方程中解出y 即可.二、由参数方程所确定的函数的导数1、一阶导数设(口 g邓)，(t)和屮(t)都可导且申壯)鼻0，则dy="(t). y=屮(t)dx A(t)2、高阶导数:d y 二y(n1)t 1( n _2).dxnt(t)三、幕指函数的导数设幕指函数y =u(x)v(x)(其中u(x) 0，

12、u(x)=1)，则幕指函数的求导公式为y =u(x)v(x) =ev(x)lnu(x)= u(x)v(x) v (x) In u(x)u (x) = uv v In u - u.u(x)u2.5 函数的微分一、微分的概念1、微分的定义设函数y二f (x)在X。点的某个邻域内有定义，若函数的改变量y可以表示为自变量增量x的线性函数 z x (其中 丄是与X。有关，而与x无关的常数)与一个比x高阶无穷小0(3)之和，即 绢二二 x oC x)，则称函数f (x)在x。处可微，其中z - x称为函数f (x)在 x0处的微分，记作：dyAx.x =0注释：(1)函数f (x)在点x0可微必须满足两个

13、条件：a、函数f (x)在x的某个邻域内必须有定义；b、 等式=二 x ' o(=x)成立.(2)若函数f (x)在点x0处可微，则dyx之=f (x°)dx (由于dx = (x)'x =).72、可微的充要条件定理f(x)在x0点可微二f(x)在x0可导.3、若函数f (x)在区间I上的任一点 x都可微，则称函数f (x)为I上的可微函数且有dy = f (x)dx.二、复合函数的微分法则定理 如果函数y = f(u)可微，函数u=u(x)也可微，则复合函数 y = fu(x)的微分为dy 二 f (u) u (x)dx，也可以写成 dy 二 f (u)du.2.

14、6微分中值定理一、罗尔(Rolle )中值定理定理(罗尔(Rolle )定理) 设函数f (x)满足条件：(1) 函数f(x)在闭区间a,b 1上连续；(2) 函数f(x)在开区间(a,b)内可导；(3) f(a)二 f(b)，则至少存在一点(a,b)，使得f ( J = 0.注释：罗尔中值定理可用来证明方程在某个范围内至有一个实根二、拉格朗日(Lagrange )中值定理定理(拉格朗日(Lagrange )定理) 设函数f (x)满足条件：(1) 函数f (x)在'a, b上连续；(2) 函数f (x)在(a,b)内可导，则至少存在一点(a,b)，使得 f = f 一 f(a)或 f

15、(b)- f(a)二 f (b-a).b - a推论1如果函数y二f(x)在区间(a,b)内的导数恒等于零，即f(x) = 0,则f(x) = C(常推论2如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)上的导数恒相等，即f (x)三g (x)，则f(x)与 g(x)只相差一个常数 C，即f(x)二g(x) V ( C为常数)三、柯西中值定理定理(柯西(Cauchy )中值定理) 设函数f (x)和g (x)满足(1) 函数f (x)， g(x)在闭区间a,b上连续；(2) 函数 f (x)， g(x)在开区间(a,b)内可导，且 g(x)=O, g(a) = g(b)，则至少存在一点(a,b)，使

16、得 f (b) 一 f(a) = “J .g(b) g(a) g-)注释： 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，即当g(x)二x时，Cauchy中值定理就变成了拉格朗日中值定理 Lagrange中值定理是 Rolle中值定理的推广，即当 f(a)二f (b)时，Lagrange中值定 理就成了 Rolle中值定理 在数学理论上 Lagrange中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理，而Rolle中值定理也看作是Lagrange中值定理的预备定理，Cauchy中值定理虽然更广，但使用不多，在实际应用中，使用 Rolle中值定理的最多，其次是Lagrange定理，而使用Cauchy中值定理的较

17、少.2.7函数的单调性与极值一、函数单调性的判定方法设函数f(x)在b,b上连续，在(a, b)内可导，女口果在(a,b)内有(x) 0 (或(x) ： 0)， 则称f(x)在a,b 上是严格单调增加的(或严格单调减少的)注释：若在(a,b)内有f(x) 7(或f(x)：0 )，它是f (x)在a,b】上严格单调增加(或 严格单调减少)的充分条件，而不是必要条件，如：y=x3在(-：，；)上单调增加，但y = 3x2 - 0.对于函数f(x)，若f (Xo)>O (或 f(X0)cO),不能得到f(x)在Xo点的某邻域内单调增加(或单调减少)21门,、X + X COS, X 工 0.c

18、如：f(x)二xf(0)=10,但 f(x)在 x = 0 的任0,x = 0一邻域内不单调在满足判别法的条件时，函数不仅在开区间(a,b)内单调，而且在闭区间a,b 1上也单调.二、函数的极值1、函数极值的概念定义 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若对于该邻域内任何异于x0的x都有f(x)vf(x°)(或f(X)Af(Xo),则称f(Xo)是f (x)的一个极大值(或极小值)，而称Xo为极大值(极小值)点，极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称极值点注释： 函数的极大(小)值只是局部性的概念，它不一定是全局性的最大(小)值根据极值的定义知，函数在所定义的区间端点

19、处一定不取得极值，即极值点一定在区间的内部取得2、极值存在的必要条件定理 若函数f(x)在点X。 (a,b)取得极值，则f (xo) =0或f (x)在Xo点不可导注释：使f (X。)=o的点称为f (x)的驻点 极值点不一定是驻点，女口 ： y=|x，x=o是它的极小值点，但不是驻点，如果函数是可 导的，则极值点一定是驻点 驻点也不一定是极值点，如：y=x3，X=o是它的驻点，但函数在 X = o不取得极值3、极值存在的充分条件(1) 极值存在的第一充分条件定理 设f(x)在Xo的某去心邻域内可导，且f (Xo) =0或f (Xo)不存在，但f (X)在点Xo处连续，如果在该邻域内(1 )当

20、 x x0 时，有 f(X) 0 ,而当 x - x0时，有 f(X)： 0 ,贝y f (x)在 x = x0 点取得极大值;(2) 当 x : x0 时，有 f (x) :：: 0，而当 X . x0时，有 f (x) . 0，则 f(x)在 X = Xo 点取得 极小值；(3) 若当X ：:X0或x . x0时，f(X)不改变符号，则f(x)在X。点不取得极值 注释：求连续函数极值的步骤为(1) 确定函数的定义域；(2) 求f (x)并令f (x) =0，进而求出函数f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点；(3) 然后判定f (x)在上述各点左右两侧的符号，若左正右负，则该点是极大值

21、点，若左负右正，则该点是极小值点，若两侧f(X)的符号相同，则该点不是极值点(2) 极值存在的第二充分条件定理 设函数f (X)在点X。具有二阶导数，且 (X。)= 0 , f “(X0)= 0,若f ”(x。)：:： 0， 则f (x)在X0点取极大值；若f "(x°)0，则f (X)在X0取极小值(3) 极值存在的第三充分条件定理 设f (X)在点X0的某邻域内存在直到n -1阶导函数，而在点 X0存在n阶导数，且f(k)(x0) =0( k =1,2，,n-1 )，f (n)(x0b£0，则(1 )当n为偶数时，f(x)在点xg取得极值，且当f(x°

22、;)：0时取极大值；当f(n)(xo)0 时取最小值.(2)当n为奇数时，f (x)在点X0不取得极值.注释： 若f (X)在点Xo的某邻域内连续，且在 Xo的左侧单调增加，右侧单调减少，则它在X0点必取得极大值，但反之不一定成立如:f (X)二2 -x2(1 sin22,二0取得极大值,但它在x = 0的任一邻域内不单调若f（Xo） =o , f ”（Xo） = 0，则f （x）在Xo点必取得极值，但（Xo） = 0时，函数f （x） 在x0处不一定取得极值，如：y = x4在x=0处取极小值，而 y = x5在x=0不取极值.三、函数最值的求法（1 ）闭区间上连续函数的最值求法比较函数在该

23、区间内的驻点、导数不存在的点以及区间端点处的函数值的大小，即可求出函 数的最大值与最小值.（2 ）开区间上连续函数的最值求法若函数在开区间内连续、可导且有唯一驻点或不可导点，并在该点处取得极大（小）值，则此极大（小）值就是函数在该区间内的最大（小）值（3 ）实际问题中的最值求法先建立目标函数 y = f （x）并确定其定义域，如果函数在定义域内只有一个驻点或不可导点， 并且知道该问题一定有最值，则函数在该点一定取得最值x, 0Ex 乞1注释：函数的最大（小）值，不一定是它的极大（小）值 如：f （X）= <1,1 £ X V 2在3-x, 2 兰 x 兰3区间0,31上的最大值

24、为1,但它不是函数的极大值2.8曲线的凹凸性及曲线的渐近线一、曲线凹凸性的概念及判别法1、曲线凹凸性的定义设f（x）在区间I上连续，若对I上的任意两点X1，他，恒有f X1 +X2兰f （X1） + f（x2）I 2丿2（或 f X1 +X2 b f （为）+ f （X2），则称曲线y = f （x）在区间|上是凹（凸）的.I 2丿22、曲线凹凸性的判别法定理 设函数f（x）在（a,b 上连续，在（a,b）上二阶可导，若在（a,b）内有f ”（x） ： 0 （或 f （x）0），则称曲线y =f（x）在a,b 上是凸（凹）的.注释：此方法是判定曲线 y二f(x)严格凸(或严格凹)的充分而非必要

25、条件，即当曲线在区间I上是严格凸(或严格凹)时，不一定有f ”(x) ： 0 (或 厂(x) . 0).女口： y = x4在(叫亦)上的图形是凹的，但 y“ = 12x2工0.3、拐点的概念及其求法(1) 定义连续曲线上凹弧与凸弧的分界点叫曲线的拐点(2) 拐点的求法方法一：设f (x)在X。点连续，若(X)= 0或f“(x)不存在的点xo，则当 厂(X)在点X。的 两侧异号时，称点(x。, f(xo)是曲线y = f (x)的拐点；而当f “(X)在点Xo的两侧同号时，点 (X。, f (Xo )不是曲线的拐点.方法二：设f(X)在点Xo的邻域内二阶可导，在点Xo处三阶可导，且(X。)=

26、0，f “(X。)=0，则Xo为曲线的拐点.二、曲线渐近线的求法水平渐近线：若lim f (x)二b (或lim f (x)二b或lim f (x)二b )时，则直线y = b是曲X )二x 丿：.X线y二f (x)的一条水平渐近线；垂直渐近线：若lim f(x)=°° (或limj(x)=°°或lim f(x) = °° )，则直线x = X。是曲 Xi。x；x。x线y = f (x)的垂直渐近线；斜渐近线：若lim.一f (X) = k，且limf (x) - kxb，则直线y = kx b是曲线的一条斜渐x . xx 近线.注释

27、： 当 lim._ f (x) - ：, limyf (x) - ：, lim _ f (x)-:至少有一个成立时，曲线 y 二 f (x) 才可能有斜渐近线.一般情况下，当lim_f(x)是常数或无穷大之一时，水平渐近线与斜渐近线在同一图象中不能共存2.9函数不等式的证明方法、方程根的判定方法和辅助函数的构造方法一、函数不等式的常用证明方法函数不等式的证明，可以利用函数的单调性、微分中值定理、最值、凸凹性、导数定义等方 法证明不等式.二、方程根的存在性判定方法讨论方程f(x) =0根的存在性与根的个数问题，主要依据函数的性态(连续性、单调性、极值、凸凹性等)来解决.1、证明方程f(x)=0至少有一个(或几个)实根的方法方法一：利用零点定理证明；方法二：利用罗尔定理证明，这时方程f (x)二0应改写为F (x) = 0 ；方法三：当证明方程f(x)=0在某个区间内至少有 n个根时，需证明在该区间内的 n个子区 间上分别至少有一个实根.2、证明方程f(x)=0仅有一个(或n个)实根的方法(1 )证明方程f(x)=0仅有一个实根的方法首先根据零点定理或罗尔定理证明方程存在实根，然后利用f (x)的单调性证明最多有一个实根，从而仅有一个实根.(2)证明方程仅有n个根的方法首先求f (x)，从而求得驻点和不可导的点，这些点把定义域为n个子区间；然后讨论函数f (x)