第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课

1、湖北尺族7院理学院数值计篦方法教学轴导材料陈以平编写湖北尺族7院理学院数值计篦方法教学轴导材料陈以平编写第六章常微分方程初值问题的数值解法一习题课1 欧拉法的局部截断误差的阶为0改进欧拉法的局部截断误差的阶为O三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为O四阶龙格库塔法的局部截断谋差的阶为O2.欧拉法的绝对稳定实区域为o二阶龙格库塔法的绝对稳定实区域为O三阶龙格库塔法的绝对稳定实区域为0四阶龙格库塔法的绝对稳定实区域为。3求解初值问题；（；律；?欧拉法的局部截断误差是（）, 改进欧拉法的局部截断误差是（）, 四阶龙格一库塔法的局部截断误差是（）.（A）0（%2） （B）O03） （C）O（/?4） （

2、D）0（/?5）4. 改进欧拉法的平均形式公式是（）（b） yc = yk + hf（xk9yp） 儿* =+（儿+儿）（D”）儿+（,儿） 儿44=+（儿+儿）儿=儿+ "（忑，儿） '申=斗（儿+儿）y厂儿+ （无，儿）（C）儿=儿+肘（.如,儿）h 儿）答案：（D）5. 解微分方程初值问题的方法，（）的局部截断误差为。（力3）.（A）欧拉法（B）改进欧拉法（C）三阶龙格一库塔法（D）四阶龙格一库塔法 答案：（B）解答：改进欧拉法的局部截断误差是二阶精度，0（h3）。6. 对Eulei公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是儿阶方法。 解：其局部截断为九=g）- y（

3、心）-M（x”，y（x”）对y（x,出）在兀处作Takn展开，有y（£G = y（x”）+A/K）+y/K）+o（护）而且F(兀)=f (x,y(xn),因此其局部截断为G = y(兀出)一(心)一 (兀，(兀)hy(xn) + hyxn) + /(xn) + O(A5)-yK)-WJ= ym)+ O(/P) = O(/r)所以，显式Eulei方法是1阶方法，其截断误差的主项是与y”(x”)。7对隐式Eule公式推导局部截断误差及其主项，并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为T卅=心钊)一 y(心)一 (兀出，y (心«)对y(心)在兀处作Talor展开，有>2)

4、g) = y(£)+WJ+y/K)+0(胪)而且y'g) = f (x”y(£«H),也在x处作Talor展开,有ygK”) +W(心)+ M)所以，因此其局部截断为T申=y(xn+i ) - y(x) -hf g, y(xn+l)=yM + hyxn) + y yxn) + O(A3)-(x-心g + 0(，)j 2= y *(A'n )+。(力')=0(J)所以，隐式Euler方法也是1阶方法，其截断误差的主项是- yxn)o8 对梯形公式推导局部截断误差及其主项，并指出该方法是儿阶方法. 解：其局部截断为丁刊=)g)-仇)-号/(x”

5、,y(x”)+ /(X”，()对y(xn41)在兀处作Taloi展开，有yg) = y(xn) + hy(x) +yx) + yw(xj + 0(h4)ZO而且 y'(xn) = f (x,y(xj), yg) = /UM+i»yUn+1),对 y'g)也在 Xn 处作 Talor 展开, 有yg) = yg + 妙(心)+ y /U)+O(h3)所以，因此其局部截断为g = y(xn+l)一 y(x)一 |/(xw,y(x) + /(x,f4d,y(x,l+1)h1h5=y(心)+ hg +yg + + o(“)zo-)3) -1 yu)-|/K)-y y"

6、;M -善 yg+M)h、 =-y'U,) + o(/?4)= o(h)所以，梯形公式是2阶方法，其截断误差的主项是=-r(xjo19用欧拉法解初值问题(0U.6),取步长辰02计算过程保留4位小数.b(o)= 1解:h=0 2，Kx)=p-xy2.首先建立欧拉迭代公式畑=以 + hf E ,yk) = yk - hyk - hxk y；=Q.2yk (4 - xk yk )(k = 0,U)当匸0, xl=0.2 时，已知 O=0,y0=l,有y(0.2)«y 1=0.2x 1(4 Ox 1)= 0.800 0当 k=lf x2=0.4 时，已知 xl=0.2,yl=0.8

7、,有y(0.4)«y2=0.2x0.8x(40.2x0.8)=0.614 4当 k=2, x3=0.6 时，已知.r2=0.4,)2=0.614 4t 有 >(0.6)«y3=0.2x0.614 4x(4-0.4x0.4613) = 0.800 010 用欧拉预报一校正公式求解初值问题p' + V+hsiiixrO,取步长力=02,计算 丿=1y(0.2)j(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数.1解 步长力=0.2,此时Avj)=-y-y2snu.欧拉预报一校正公式为：预报值儿« =儿+M(无，儿)-h-校正值畑=% +了/(忑，儿)+/(畑，儿

8、胡有迭代公式：预报值儿+ = yk + h-yk - yf sin xk)=1(08-02儿 sin.q)。hr2校正值y如=yk +亍(一儿一 W an心)+(-儿.1 一力利sin% 2=九(09一0丄* SLnAj-0.1(yU1 +) sinxU1)当 k=0f a0=1,)0= 1 时，xl=1.2,有y = y0(0.8一0.2几 sinx0) = lx(0.8一02xlsinl)= 0.63171y(1.2) « ” = 1 x (0.9- 0.1 x 1 x sin 1) - 0.1(0.63171+ 0.631712 sin 1.2) = 0.71549当 *=1,

9、 xl=1.2,yl=0.71549 时，x2=1.4,有y2 = y】(0.8 0.2” sinx) = 0.71549x (0.8 - 02x0.71549sin 1.2)=0.47697>(14)12= 0.71549x(0.9-0.1x0.刀549xsm 1.2丿-0.1(0.47697+0.476972 sml.4) =0.5260811 用改进的欧拉法¥均公式，取步长A=0.1,求解初值问题(y9 = x+ y(0 K 0.2)y(0) = 1计算过程保留4位小数.解首先建立迭代格式：yp = y* + hfg ,yk) = hxk + yk (1 + h) yc

10、=以 + M(忑祝 O7)= yk (l + /» + /r)+ 加叶 + h2xk/f2畑=-)> +>7 = -W + h)“ + 加叶+ (1 + + )yk当 #0 时，v0=0j0=lrvl=0.1,有1 012= -0.1x(l+01)x0 +0.1x0.1 + (l+0.1 + )x1 = 1.11当 Hl 时,xl=0.1,yl=l.ll,x2=0.2,有y2 = |0.1 x(l + 0.1) x 0.1 + 0.1x0.2 +(1+0.1+ -)x1.11 = 1.242112. (1)取步长h=02,用改进Euler法求解常微分方程初值问题# = 2

11、x + y+ 2, y(0) = 0 在 x=0.6 上的解。<2)对改进Eluer格式进行误差分析。解：(1)改进Eulei公式九=X +妙(兀,乳)= X +,yj+ /(兀屮歹出)分别将X=O2,0.4,06代入上式中计算即可！改进欧拉格式畑=必+尹+如-K = /uf，x)k： = f(Xj + h,yj + hkJ yd y(D = y(£)+g)+与 y"g+号 *(兀)+o(F)毎=fa + h, y, + hkj = /a，yj + hf；(Xj,y) + hkj；gy)+訥冗 a，%)+2/比/：.(兀,x)+/"M；aj)+o(x) 湖北

12、民族学院理学院数值计篦方法教7辅导材料陈以平编写又 y"(兀)=f；(Xj,yJ+f；a，y”a)= f；gy) + f；gy)h 代入Kh = x + £【K，整理后(和)-心)=00')13. （1）取步长为0.1,试用欧拉公式求解常微分方程初值问题（yf = x+ y-1 b（o）=】在k0.4处的近似值（计算过程保留3位小数）：（2）试用泰勒展式估计改进欧拉公式的局部截断误差。解:（1）欧拉公式为:%< =开+加兀+开_1）,计算结果为:兀00.10.20.30.41.0001.0001.0101.0311.064（2）改进欧拉公式为了出=儿+妙（兀，

13、兀）y,-H =几+刁/（兀，） + / （兀屮艮七）由于讨论的是局部截断误差，因而可设x = y（xj又 y=f(x9y), y" = £(x,y)+W；ay),故有门兀屮九)=心 + /», y(x.) + hyxf) = /(x., y(xf) + hfx + hy 了；(和畑)+ 0(/?2)所以九=心）+处+ »"（兀）+。（胪）而原方程的解连续可微，有y(xiH) = y(x. + /i) =)a)+ hy,(xi)+h12Fa）+o（/r）通过比较，两式中力的次数低于三次的项相同，而三次项不相同，因而 改进欧扌立公式的局部阶段误差

14、为0（，）.14（1）取步长/?= 0.1,用改进的Euler公式求解常微分方程初值问题 （y =严+”1 y（0） = o在0.3处的近似值。（计算结果保留三位小数）（2）试分析改进欧拉法的局部截断误差。解:改进Euler公式'九=乳+灯（兀,兀）J/-H =几+刁（/（如，”）+/（兀七3七）分别将x=0,0.1,0.2,03代入上式中计算即可！<2)改进欧拉格式=%+£【&+«k严 口兀十 h,yj + hkjh1 y(和)=y(- + h) = y(x.) + hyxt) + /(xf) + y*U) + 0(h) / = /(石，卯=卩(兀)

15、k2 = /u + h,% + hkj = fgy"hf；a，y) + hkj；a，y)+ £ WT：(兀,) + 2h2kJ；(Xj,yJ + /"；/；(£,%)+ 0(护) 又 y"a)= £a，x)+£3，x)ya)= /；(£，%)+f；a，yJ« 代入九=x+彳凶+ kj,整理后y(xi+l)-G) = o(ie)用预估校正法解常微分方程初值问题(0 < x < 1)“卜賂=儿+ °"(2百+ 3儿)解：15 取步长 / = 0.2, fy, = 2x+ 3y

16、ty(°) = 1n012345X”00.20.40.60.81.0儿11.825.879610.713719.422435.0279儿+1 =儿 + 0.1 x (2 心 + 3vn)+ (2xn+1 + 3需)即儿+厂 0.52x“+ 1.78儿+ 0.04y = x + y16用预估一校正法求解/ (0v<l), h=0.29取两位小数。 1只0) = 1解：预估一校正公式为1儿+1 =儿+伙1 + 2)人=妙(心，儿)“ =0,1,2,其中 f(x9y) = x+y9 y0 = l, /?=0.2, /? = 04,2,3,4 ,代入上式得：n12345Xn0.20.4

17、0.60.81.0yn1.241.582.042.643.42湖北民族学院理学院数值计兗方法教学辅导材料陈以平编写17用欧拉法，预估校正法求一阶微分方程初值问题f/ = -v-y)'(0) = 1,在x=0 (0.1) 0.2近似解湖北民族学院理学院数值计兗方法教学辅导材料陈以平编写解（1）用/ = 0.1欧拉法计算公式儿+1 =1(£ _ 儿)=0 9儿 + 0., 7? = 0,1计算得 = 0.9 y2 = 0.9x0.9 + 0.1x0.1 = 0.82 (2)用预估一校正法计算公式驚= 0.9片+ 0 4? ?,+1”° n = 0,1丿”+】=yn +

18、0.05(斗-儿+畑-y驚)计算得= 0.91,儿=0.8380518 写出用四阶经典的龙格一库塔方法求解下列初值问题的计算公式: o<x<i, |y = 3+xr o<x<i,ly（o）= i，,（）= 解：令A= 0.2kl=f(Xn儿丿二心+儿ki = /(£ + £，儿 + £« J = £ + £ + 儿 + £/ = 1. 1(£ + 儿)+ 0. 1 他=/(A+ £,);+£&)=耳+£+); += 1.11(忑+ yj +0.11 h

19、= fa. + h,y” + hk3)= x + h + yn + hk3 = 1.222(兀 + 儿)+0.222'”.产 y» + 2底 + 2為 +/)= 0.2214© + 1.2214y” +0.0214oR产3儿心+耳)2)*2 = 3(儿十 0.此)/(I + A-n 十 0.1) 爲=3(儿+ 0.1£)/(1 + 斗 + 0.1) 人=3(儿 + 02為)/(1 + 斗 + 0.2)0 2=儿+ =(人+ 2« + 2人+人)o19证明对任意参数/,下列龙格一库塔公式是二阶的:h儿 41 =儿 + 空（2 + «3）；

20、 KK兀，儿）;心= /（£ +也儿+ ）;.K、= f（xn + （1 - t）h, yn + （1 - "KJ.湖北民族学院理学院数值计兗方法教学辅导材料陈以平编写证：由一元函数的泰勒展开有J = g + hyX)+ 导仏,g” J) + /；g, y(x” )"(H”) + 丄評 又由二元函数的泰勒展开有儿=儿+0心+心丿=儿+莎 g，y丿+d”,儿)仏+ f'yn，yjhf (x,yj+ OJi2) + (Jg,几)+ f；g, yn X； - M + f；g y XI- t)lif (x”，几)+ OJi2) h?=yn + hf (x，儿丿 +

21、 fXx, y”) + f；g ,y)f(x, yn) + OJi3)为考虑局部截断误差，设yfl = Xxj,上式有K+1 =片 + hfg, y(兀， + yA(x,r, yxn) + fy(xn, y(x”)fxn, yxn)+ Oh3) 比较ygj与畑两式，知其局部误差为陰产心”J-九产0(，) 故对任意参数f,公式是二阶的。20 已知一阶初值问题才=-5yI y(o)= 1求使欧拉法绝对稳定的步长h值。解由欧拉法公式儿+I = ；-K = U-)K九=(1-5礪相减得S = (1-=(1 一 5h)n e0当|1一5力卜1时，0心0.4时，有enQ欧拉法绝对稳定。21 试分析Euler方法的绝对稳定性K-H 二兀 + M(X”,兀)=K + hA yn =(Ah + 1)K九-九=(1+毗)§当力满足|1+乂力|