专题1第1讲函数与方程思想Word版

1、一、函数与方程思想(1)函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等(2)方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2函数思想与方程思想的联系函数思想与

2、方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数yf(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)g(x)的解的问题可以转化为函数yf(x)与yg(x)的交点问题，也可以转化为函数yf(x)g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要例1长度都为2的向量，的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧 (劣弧)上，mn，则mn的最大值是_思维流程四类参数范围(或最值)的求

3、解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的

4、表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决1(1)若a，b是正数，且满足abab3，则ab的取值范围为_(2)如果方程cos2xsin xa0在上有解，则a的取值范围为_ 例2设函数f(x)，g(x)x2bx，若yf(x)的图像与yg(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()Ax1x2>0，y1y2>0 Bx1x2>0，y1y2<0Cx1x2<0，y1y2>0 Dx1x2<0，y1y2<0思维流程解决图像交点及方程根等问题的方法函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判

5、断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用2已知方程9x2·3x(3k1)0有两个实根，则实数k的取值范围为_例3已知函数f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若对任意x1(0,2)，x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，求实数b的取值范围思维流程不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数3设f(x)ln x1

6、，证明：(1)当x>1时，f(x)<(x1)；(2)当1<x<3时，f(x)<.例4若数列an的通项公式为an×n3×nn(其中nN*)，且该数列中最大的项为am，则m_.思维流程数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式第三步：研究函数性质结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步：回归

7、问题结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题4等差数列an的前n项和为Sn,已知S3a，且S1，S2，S4成等比数列,求an的通项公式例5椭圆C的中点为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且3 (1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围思维流程利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程第二步：求解判别式.第三步：代换利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换第四步：下结论将上述等量代换式代入>0或0中，即可求出目标参数的取值范围第五步：回顾反思在研

8、究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节5如图，椭圆C：x21(0<m<1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称(1)若点P的坐标为，求m的值；(2)若椭圆C上存在点M，使得OPOM，求m的取值范围应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思考和切入(1)函数与不等式的相互转化对函数yf(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的

9、函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决一、选择题1等比数列an的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列an的公比为()A. B. C. D.2若a>1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，) C， D(，)3已知

10、a1,1，不等式x2(a4)x42a>0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，) B(，1)(2，)C(，1)(3，) D(1,3)4若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy05.如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，AOP(0<<)，四边形OAQP的面积为S，当·S取得最大值时的值为()A. B. C. D.6已知函数f(x)cos x(x(0,2)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m的值为()A. B C. D二、填空题7若方程sin2x2sin xa0有解，则实数a的取值范围是_8已知数列an是递增数列，且对于任意的nN*，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_9设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是_三、解答题10已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S770，且a1，a2，a6成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，数列bn的最小项是第几项，并求出该项的值11如图，曲