数理统计的基本概念ppt课件

1、安徽师范大学数学计算机科学学院徐林：xulinahnugmail第四章第四章 数理统计根本概念数理统计根本概念引言引言总体与样本总体与样本统计中常用的三种分布统计中常用的三种分布抽样分布抽样分布引引 言言数理统计学是数学的一个重要分支，它研讨怎样数理统计学是数学的一个重要分支，它研讨怎样有效地搜集、整理和分析带有随机性的数据，以有效地搜集、整理和分析带有随机性的数据，以对所调查的问题作出推断或预测，并为采取一定对所调查的问题作出推断或预测，并为采取一定的决策和行动提供根据和建议。的决策和行动提供根据和建议。几个实践问题：几个实践问题：1. 估计产品寿命问题估计产品寿命问题: 根据用户调查获得某

2、品牌洗衣根据用户调查获得某品牌洗衣机机50台的运用寿命为，台的运用寿命为，5，5.5，3.5，6.2，.。根。根据这些数据希望得到如下推断：据这些数据希望得到如下推断：A可否以为产品的平均寿命不低于可否以为产品的平均寿命不低于4年？年？B保质期设为多少年，才干保证有保质期设为多少年，才干保证有95%以上的产品以上的产品过关？过关？2 2商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？商品日投放量问题：如草莓的日投放量多少合理？如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以如何安排银行各营业网点的现金投放量？快餐食品以什么样的速度消费最为合理等等。什么样的速度消费最为合理等等。例例 制衣厂为了合理确

3、实定服装各种尺码的消费比制衣厂为了合理确实定服装各种尺码的消费比例，需求调查人们身长的分布。现从男性成人人群例，需求调查人们身长的分布。现从男性成人人群中随机选取中随机选取100100人人, ,得到他们的身长数据为得到他们的身长数据为: :(1) (1) 试推断男性成人身长试推断男性成人身长X X的概率密度的概率密度(2)(2)假设知假设知X X服从正态分布服从正态分布N(N(, , 2),2),试估计参数的试估计参数的, , 2 2值值知知“总体的分布类型总体的分布类型,对分布中的未知参数所进对分布中的未知参数所进展的统计推断属于展的统计推断属于“参数统计参数统计.数理统计方法的特点1. 1

4、.数理统计方法的归纳性质数理统计方法的归纳性质数理统计是数学的一个分支，但是他们在推理方数理统计是数学的一个分支，但是他们在推理方法上有区别的。数学的方法主要是演绎，而统计法上有区别的。数学的方法主要是演绎，而统计的方法主要是归纳。的方法主要是归纳。例子例子1 1 抽烟有害安康问题的证明抽烟有害安康问题的证明例子例子2 2 证明等腰三角形两底角相等在几何学和统证明等腰三角形两底角相等在几何学和统计学上方法是不一样的。计学上方法是不一样的。数理统计方法的特点.2.数理统计方法得到的结果具有不确定性 数理统计所根据的数据在采集的时候具有随机性，虽然它也可以反映总体的特征，但是有不确定性，这是逻辑的

5、必然。统计学的作用就是提供归纳推理的方法以及计算这种不确定性程度的方法。这种带有不确定性的推断称为统计推断，而不确定的程度可以用概率表示4.1 随机样本随机样本一、总体与样本一、总体与样本 1. 总体：研讨对象的全体。通常指研讨对象的某项数量目总体：研讨对象的全体。通常指研讨对象的某项数量目的。的。组成总体的元素称为个体。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研讨的随机变量或从本质上讲，总体就是所研讨的随机变量或随机变量的分布。随机变量的分布。2. 样本:来自总体的部分个体X1， ，Xn 假设满足：1 1同分布性：同分布性： Xi Xi，i=1,ni=1,n与总体同分布与总体同分布.

6、.2 2独立性：独立性： X1X1， ，Xn Xn 相互独立；相互独立； 那么称为容量为那么称为容量为n n 的简单的简单随机样本，简称样本。随机样本，简称样本。而称而称X1X1， ，Xn Xn 的一次的一次实现为样本察看值，记为实现为样本察看值，记为x1x1， ，xn xn 样本的双重性质1. 1.在详细的实验实施之前，其结果是未知在详细的实验实施之前，其结果是未知的，只能预料其取值范围，因此是随机的，只能预料其取值范围，因此是随机变量，因此才有样本的统计分布，这样变量，因此才有样本的统计分布，这样才可以谈到统计推断。但是在样本察看才可以谈到统计推断。但是在样本察看之后，样本就是详细的数字。

7、之后，样本就是详细的数字。2. 2.对于实际任务者而言，更应注重样本是对于实际任务者而言，更应注重样本是随机变量这一现实。随机变量这一现实。来自总体X的随机样本X1， ，Xn可记为),.(),(,1xFxfXXXiidn或显然，样本结合分布函数或密度函数为 niinxFxxxF121*)(),(或或 niinxfxxxf121*)(),(3.总体、样本、样本察看值的关系总体、样本、样本察看值的关系总体总体 样本样本 样本察看值样本察看值 实际分布实际分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本察看值，去推断样本察看值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联络两者的桥梁总体分布。

8、样本是联络两者的桥梁。总体分布决议了样本取值的概率规律，也就是样。总体分布决议了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本察看值的规律，因此可以用样本察看值本取到样本察看值的规律，因此可以用样本察看值去推断总体去推断总体统计推断1.统计推断中的两个问题非参数统计推断：不知道总体的分布类型参数统计推断：总体分布类型知，但是参数位置参数统计中的两个主要问题：参数估计、假设检验二、统计量二、统计量定义：定义： 称样本称样本X1X1， ，Xn Xn 的函数的函数g(X1g(X1， ，Xn )Xn )是总体是总体X X的一个统计量的一个统计量, ,假设假设g(X1g(X1， ，Xn )Xn )不含未知参数不

9、含未知参数,1. 11 niiXnX样样本本均均值值,)()(11. 22122SSXXnSnii 标标准准差差样样本本均均方方差差样样本本方方差差几个常用的统计量几个常用的统计量 ： nikiknikikXXnBXnA11,)(11中中心心矩矩原原点点矩矩3.样本样本k阶矩阶矩4.阅历分布函数阅历分布函数 用用S(x)表示样本表示样本X1， ，Xn中不大于中不大于x得随机变量个数。定义阅历分布函得随机变量个数。定义阅历分布函数数Fn(x)为为)(1)(xSnxFn4.2 统计中常用的三种分布统计中常用的三种分布一、一、 2分布分布 .).(),1 , 0(,. 1221221分分布布的的称称

10、为为自自由由度度为为则则设设构构造造 nnXNXXniiiidn2.2分布的密度函数f(y)曲线 0y, 00y,ey)y( f2y12n)2/n(212/n例例1：设：设X1， ，X10是取自是取自N0，0.32)的样本的样本,求求 101244. 1iiXP3. 分位点分位点 设设X 2(n)，假设对于，假设对于 ：0 1， 存在存在0)(2 n 满足满足,)(2 nXP那么那么称称)(2n 为为)(2n 分布的上分布的上分位点分位点。)(2nP220附表附表34.性质：性质：a.分布可加性分布可加性 假设假设X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y独立，那么独立，那么 X + Y 2

11、(n1+n2 )b.期望与方差期望与方差 假设假设X 2(n)，那么，那么E(X)= n，D(X)=2n1.构造构造 假设假设XN(0, 1), Y2(n), X与与Y独独立，那么立，那么).(/ntnYXT t(n)称为自在度为称为自在度为n的的t分布。分布。二、二、t分布分布t(n) 的概率密度为的概率密度为tntnnnthn,)1 ()2()21()(2122.2.根本性质根本性质: : (1) f(t) (1) f(t)关于关于t=0(t=0(纵轴纵轴) )对称。对称。 (2) f(t) (2) f(t)的极限为的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即的密度函数，即 3.3.分位点

12、分位点 设设T Tt(n)t(n)，假设对，假设对:0:01,0(n)0， 满足满足PTPTt t(n)=(n)=，那么称那么称t t(n)(n)为为t(n)t(n)的上侧分位点的上侧分位点 x,e21) t () t ( flim2tn2)(nt注注:)()(1ntnt )(1nt)(nt例2 设是来自总体的样本，求随机变量的分布1234,XXXX2( ,)XN 34221()()iiXXYX三、三、F分布分布 1.构造构造 假设假设U 2(n1)， V2(n2)，U， V独立，独立，那么那么).,(/2121nnFnVnUF 称为第一自在度为称为第一自在度为n1 ，第二自在度为，第二自在度

13、为n2的的F分布分布,其其概率密度为概率密度为 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n2121211112. F2. F分布的分位点分布的分位点对于对于：0010(n1, n2)0，满足满足PFPFF F(n1, n2)=(n1, n2)=， 那么称那么称F F(n1, n2)(n1, n2)为为F(n1, n2)F(n1, n2)的的上侧上侧分位点；分位点；),(21nnF 1),(211nnFFP证明证明:设设FF(n1,n2),那那么么),(1),(12211nnFnnF 注：注：1),(11211nnFFP),(112

14、nnFF),(11211nnFFP),(112nnFFP得证得证!4.3 抽样分布抽样分布211.,( ,),(0,1)/iidnXXXNUNn 若则证明证明:niiXnX11是是n 个独立的正态随个独立的正态随机变量的线性组合机变量的线性组合,故故服从正态分布服从正态分布niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(),(2nNX) 1, 0(/NnX;)1(),(,. 2221相互独立相互独立与与则则若若SXNXXiidn );1()1()2(2222 nSn ).1(/)3( ntnSXT (3)证明证明:)1, 0(/NnXU 且且U与与V独立独立,根据根据t分布的构造分布的构造);1()1(222 nSnV )1(1 ntnVU得证得证!121212222112212(2)-(-) (-1,-1).1/1/(-1)(-1)-2wwX YTt nnSnnnSnSSnn2212 = ,进称为样一一步步,假,假定