线性代数课后习题答案全)习题详解

1、前言解肖斌因能力彳（限资源冇限，现粗略整理了工程数学线性代数课后习题.希望对您的了解和学 习线性代数有参考价值。第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1a b c1 1 1XV Jt+ v(1)1 -4 -1; (2)h c a;C3)a b c:(4)y x+ y x-183c a bf b2a 4-y xyr2 0 1解(I) I -4 -1 = 2x(-4)x3 +Ox(-l)x(-l) + 1x1x8 - 0xlx3-2x(-1)x8 - lx(-4)x(-1)-183二一24 + 8 + 16-4 二一 4a b c(2) b c a = acb + bac +

2、cba 一 bbb 一 aaa 一 ccc = 3abc 一 d' - b' - c'cab<3) a be = be2 +ca2 -卅-加-cb，=(“-b)(b-c>(c-“) a2 b2 c2y(4) y x + yv + y xx+ vFA = A( A + y) V + 'A( A + ) + (A + V)V.V 一 V ° (.1 + )')' 一 Ay=3xy(x + y) _ y' _ 3.v?y -3yv _ 亡一y- -x'= -2W + y)Q址白"JKrH八和+斗i?徘*住

3、击卞别么址0l6fi帝乞斛2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1) 1234；(2) 41 32；(3) 3421:(4) 2413：(5) I3 1 -1)2 4(2/i):(6) 13 a(2 一 1)(2/:)(2/12)2.解(I)逆序数为0逆序数为4：4L43, 42, 3 2(3)逆序数为5：32,3L 42, 41,2 1(4)逆序数为3：2h4L 43逆郴为咛23 21个5 2. 542个7 2, 74, 7 63个一 1)2. (2/-1) 1. (2/-1) 6.，(2/1 1)(2/1 - 2)(/ -1)个(6)逆序数为1)3 21个5 2, 542个

4、】-1)2, (2/-1) 4. (2/-I) 6,.】1)(2 - 2)(ii-l)个4 21个6 2. 642个(2/1) 2.(2/1) 1.(2/) 6 (2/1)】一2)(/1-I)个3. 写出四阶行列式中含有因子5仏的项.解 山定义知.四阶行列式的 般项为（T）匕,2/巧J其中/为PxPlPiPA的逆序数由5=1,化=3已固定.pp2p3p4只能形如13 口, U卩1324或1342对应的/分别为0 + 0 + 1+0 = 1 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2A -ala2ia32a44lalla23ai4a42 为所求.4. 计算下列各行列式:(I)I 210 50 120

5、2I420723151122(3)-ubbdbjac-cdCfaede-ef(4)a-I001b-104 12 44 -1 2 -1()12 0 29 712 0 210 5 2 010 3 2 -140 1170 0 10(I)4一1-104-11()二122x(-l)443 =12-2103-141031410-2149 90 017 17214 12 14 02 14 02 14 03-1213-1223-1223-12212 3 212 3 012 3 012 3 05 0 6 21 15 0 6 22 14 00 0 0 0-ahacae-bee一1 1 1bd-cdde=adfb

6、-c e二 adjbee1 -1 1加cfb c -e1 1 -1=4abcdef证明a100-1b10r +50-1c100-1dl + ab5证明:b22b;I(" + l)2 +l) ("I)' (d + F1 I 1 bed b2 c2 d- bA c4 d4b0:=(-l)(-i)2+,+ab-10a ()c -1 dad+cdax + by avbz az + bxrx y zay + /?z az + bx ax + by=(£?+/)y z xaz + bx ax + by ay + bzz x y+ 2)2 (b + 2)， (c + 2

7、)2 (d + 2F(“ + 3)2 (b + 3F (c + 3)2 (d+3)2=0;=(d- b)(a 一 c)(a - cl )(b 一 c)(h - d)(c - d)(a + b + c + d):X0-1X0-1()000 9 9 9 000 X-1心2a2x + a斤边= =-2uab a2=(a-b)' =右边(2)用边按第一列A分开ay + bz az + hx ax + bvh2-a222b - 2a =(-l)珀"?2b 一 2aaz + bx ax + by av + bzay + bz "Z + bxaz + bx ax + hyax +

8、 by av + bz9T0分别再分2x ay + hz zy z az + hx分别冉分、x y z.1y z xay az + bx x+()+()+Z x ax + bycty z x+/Z x yz ax + by yx y ay + bzz a yx y zV zZ入(-1)2=右边左边=bd2 +(2d + 1) b2+(2b + ) c2 +(2c + l) 屮+(2d+l)("+ 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2(a+ 3) Li2 2a + 10 + 3)2 q-q 护 2/>+i (c +3)2 5-讣2 2c+ 1 ( + 3儿

9、宀加+ 14a + 4 6a + 94b + 4 6b + 94c + 4 6c + 94d + 4 6d + 9a2 a 4a+ 4 6d + 9a2 1 4a + 4 6a + 9b1 b 4b + 4 6b+ 9b2 1 4b + 4 6b + 9c c 4c+ 4 6c+9Tl ? 1 4c + 4 6c+ 9d1 d 4 + 4 6d + 9d2 1 4d + 4 6d + 9按第列 分成项491第一项°厂一 _6g第二项廿加G 一9巧b14a6a4b6b4r6r4d6d1=019I1I1c +a d + ac2(c + a) d7(d + a)二(b-“)(c-a)(d

10、- a) b + “h7(b + a)二b-a)(c-a)(d -a)Xc_bd-bb:(b + a) c2(ca)-b2(b + a) d?(d + a) -b'(b + u)= (b-a)(e-")(d -a)(c-b)(d -b)x1 1(c2 +hc + b2 ) + a(c + b) (d + bd +1,) + b)-(a -b(a -c)(a 一d)(b-c)(b- d) (e-d)(" + b + e + d)(5)用数学01纳法证明= 2时,Dz = A I = A' +«(X + 472,命题成立.a2 X 亠 a假设对于S-1

11、)阶行列式命题成立.即Dn-i = A'n_l +E + + an_2x + j,则山按第I列展开：-1000。产山+心-旷小00 =Al<l+dn=右边1IX-I所以.对J"价行列式命越成立.&设阶行列式Z)= det(d/)把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线胡转，依次得5 Clnn aci a rwl/tq =all%9咕5，Ds =55n(itI)证明 D=Q =(-!) DU.证明 D = det(dr/)an=(- 1严(- 1严(-1门5(-DIt 2+，i/> = (-!)w(irI)“QfiT>= (-l) Dr =(_1)

12、 丁 DIV< ITI Int ir11ni n11伙x-1丿=(-1)Ml"ndD2 =7计算下列各行列式（Q为邓介彳亍列A）:a1（l）Dn= .，其中对如线上儿索部是“未卩出的尤索祁址0：Iaa3-ir G/-I)n_，3 WU/-/0"-1几严 11"一1 a-n11 1捉示：利用范德蒙篦行列式的结果.化0 .a. b0oDn =如（呦）其中陽=|f - j;a00010a00000a00000 a01000aD户按最后行展开00001a00000a000000 a0（一旷+ (-1)7（再按第令展开）严=旷22_）dr-2Kn-2)将第行乘（一1）

13、分别加到其余务行.得xa 一 aa-xa0x-aa()0x-a再将，列都加到第列I 得D“ =0x-ax-a）从第刀+1行开始，第"+ 1行经过n次相邻对换，换到第I行第"行经5-1）次对换換到第2行，也巴次行交换.2=(-1) 2严S_1)ian (a - l)n a n (a-n)(u-ll)n此行列式为范徳蒙徳行列式D“=(T)F H-i+l)-(d-.j + l)”3拦1=(-i nn)i=(_i)F=H()It l>/>/>100°</n-l0bnT按第-行展开/05 %C| d|0+(-1)叫0a h c d0e00/lI0 0

14、XCn00都按艰后行展丿I山此得递推公式:°2" = fl< -biCJS j=2KU【）2口 =fl（aa - 也） 6 = ' - >1Q = deg,)=01233210n-i n-2 n-3 一4F'-Q-1-1111-I/ -2H-311 4-1 000 0-1 -200 0-+ ci，5 + Cj-1 -2-20 0q+Cj,-1 -2-2-2 0ii -1 2n-32/1 42/1-5 IIH-3二(_l)f _1)2”2I +°2 00500000000按最后一列和（山W）（7如S）00 000_"2a2000

15、00一6 0000000000 00 00 0 0 00000叫0 00一 "2“20000000a. 0()00一 4 003+. +4 000一叫7000 -J0000000 0=(1 + 宀)(a“2 ) + aa2 anan2an + + u2a.5n J=(硼2心)(l +工一)i*»i ©8. 用克莱姆法则解下列方程组:X)+ x2 + Xj + x4 = 5, x + 2x2 一 心 + 4x4 = 一2, 2片 一 3x2 一 X3 _ 5x4 = _2, 3x)十 x2 + 2“ +1 氐=0：5片 + 6x2= 1,Xi + 5x2 + 6x3

16、= 0,x2 + 5x3 + 6x4= 0、x3 + 5x4 + 6x3 = 0,x4 + Sx5 = I1 -5 -1-91 -5 -1_ 0 0()2-10II（）-46（）I 20 -I23120-91138142= -142111 111111 111111 112-1 401-230 1-23()1-2 32-3-1 -50-5-3-7-0 0-138(10-1 -54312 110-2-180 0-514()00142解(l)D = -142511151111 -5 -1 -91 -5 -1 -91 2 11-2 _3 -1 _5-2 -3 -1 -

17、50 -13 -3 -2305090 1 2 11012 II0 1 2 110 -13 -3 -23151 1151I15111511Z)2 =1-21 40-7-230-1320-132= -2842-2-1 -5()-12-3-7()023II()0-1-19302 110-15-18003931()00-2841 52 -2-3 -2I 04-51111151 2 -I -22 -3 -1 -23 120= 142065I000651()()()65按垠后一行展开枷一0()0 (I501 6=5£>" 6£)"=5(5Z/ - 6D&quo

18、t;) - 6£Z = 19D" - 30 V = 65L - 114 广=65 x 19 -114 x 5665为行列式切的余子式,厅为"中尤的余子式./XD"类推）D、=1()()()I0651000650()()6="+ 6" = 19一30" + 615075I()()(»10001065I0（）065650065I按第列展开6510()()6551()()00650006 5x6= -65-1080 = -! 145510000065按第二列展升0651()()55I()65101 6 05 6 0=0

19、5 6+ 61 5 00 1 50 1 60065()()()(、=19 + 6x114 = 7031 5 U_ 10 I 6一（）65I05= -5-610（）6 = -39555 6 0:j +/y = 1 + 211 = 2120 0 I703-395；X4 =665665212"665:i M“八釧 L OAMI /.Mil fl - n:i M“八釧 L OAMI /.Mil fl - nIvj + 大2 + 大3 = 09. 问入“取何值时.齐次线性方程组.+皿+ a3= 0有非寒解?Xj + 2/zv2 +Xj =0A I I解 0=1 “】=“一“久齐次线性方程组冇非

20、零解则0=0I 2 I得 LI =（）或 2 = I:i M“八釧 L OAMI /.Mil fl - n:i M“八釧 L OAMI /.Mil fl - n不难验证. S = 0或久=1时.该齐次线性方程组确冇非零解.（1 一 2）x）- 2x2 + 4xy = 010. 问凉何值时.齐次线性方程组2.V, + （3-A）x2 +a3=0有非零解?"+ 兀2 +（I 一 &）兀=01 A-241 久一3 + 24D =23-A1=21-21111 - 4101-4:i M“八釧 L OAMI /.Mil fl - n:i M“八釧 L OAMI /.Mil fl - n:

21、i M“八釧 L OAMI /.Mil fl - n齐次线性方程组冇非零解则0 = 0不难验证.mU = 0M = 2或久=3时.该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知纯变换:斗=2耳+ 2儿+儿“=3必+为+5“占=3必+2力+3求“变址“ "x3到变呈力，y?y3的线性变换.解由已知:f 、2 2 屮)3 15 y2<3 2 3yJ( <2 2 1、一1Z <-7 _4 9 Y%)>?23 1 56 3 -7 卜2<3 2 3丿1 3 2 -4丿&丿yl=-7xI-4x24-9x3 y2=6x,+3x2-7A3 儿=3斗+2兀

22、2_4丹>,=-32) + 22 )S=2Z| + Z3 y3=-z2+3z32.已划两个线性变換斗=2廿+比 工2=-2牙+3比 + 2%.召=4廿+为+5力求“ s乃.“到“ X* X）的线牲变换解由已知< (2 0 1估f 2 0 IY-3 1 0何尼一2 3 2 %-2 3 22 0 1 乙1 4 1 5&4 1 5人0 -1 3人剳f-6 1 3=12 -4 9,一10 -I 16占=_6石+%+3?3彩/丿勺= 12©-4°+9乙3x3=-10zi-z2+16z3JL1X3+2'衣 X1)JL】O).A3 K丄II、2*1x(-1)

23、1x2i乙X乙（I 一）X乙丿ii/136£21244X7+3X2+MHx7+(l2x2+3x 一厂 5X7+7X2+0X1J(1)AB出A碍 戛AB也A,IABII、4 36 4(2)(A占)=A2+2AB 古 0爲 無(AfBrpitA 8 占 ima + bhX2H i+.?:k+ CT 2a_ ZX2+%3+.冬A以BQEy遷A=o爲A川：渎宦Au懣zg >&teAA.逵AX2. H.A3 Ex戈.fnS+32HA2 + 2AB + B2ZZA 十 BUllarsi :土 sxf 妄A>4g 也6.省谴feF蛊闵检逹ZVM(1)*叱占遷A&獰珂;7

24、）（畀卜（2畀）'2 00zr Lo I A1 Ax o2 0 0/ Io I OA1 AxoA o o122龙2A/l2oA2o O# 3A2A3=A2-4= 0 X0 03/1)3/1-Z(XA4 = 434= 004来6巧才4才0才# 5才A5 = /t4-4= 0 龙L 0 010/T)5才/()0(+一)/r一ZVH并+一)*、空 (=+一)*丄¥r(r |一)、CBSA84r&rA丛丛空8W8.A8套容s10.命ASMn尊总豪余週 用空ABld#芙空髯劳净审&度游/tAe出A.ilEs济存 _#A”d=B s'>s> 旻応Brd

25、tbbr丛从8轻AB ss.企令赛zXAfe少sABrgB. SABUAg也H 一 Af f cose sin_3 fxj (Sin9 C0S9J滾A= 3 4 2M-心$七进4E谆54 - J、COS9 sine厂sin9 cosBahf cos8 SS-E(sing cose )f>>cos8 sind(>>JTsin0 cos93 23 3 0O藝$X IIX一 2 2丄3 _L一 O丄2 3 </II厂、一 2 24 一£3 J_O丄2 3 、X3ahoo 23-X-+ 2X2+3X51* 2X+2X2+5X3H2,.3X-+5X+X13吏 a*

26、：+AJ川 蠱活黑鹫TA氨 H前丄二山去£、+ £二 s l. 0x$T-. H S 6 得 工FJ 土f、！*£ * JLm/A 无+ $T)m) 矗 . k -)m4) ZWWD煮丄>s、Fk- VFk-gkk、十七”-i产盍盘HHO.>.H02ai.?i313X- +2X215X3=0上=5X2H0启=315.设方阵A满足於卡-2E4证明A及A+2E祁可逆.井求f 及(A+2E) 证明由“42勿怜才UWE ffJA(A£QE或A*(4 E)=E.由定理2推论知a可逆./iA '=(A-E).llj於42E=O f9A-A-6EE

27、,即(Z2EHA-3EH或 (A+2E)4(3£-X)=E4由定理2推论昨+2E冋逆.n(A+2E) ' =(3E-A).4证明由AJ-2ER得H"=2E.曲姦同时取行列式得IAg*所以A妙逆.而22E*/川2£/=“丁二刃.我从2E也吋逆.itlA ¥-2ER =A(A-£)=2ET lA(A-E)=2A !E=>A '=(A E).乂由Ay -A -2E=O* 十2E)A -3(A +2E)XEn(A+2E)(ATE)7E所以(A+2E) '(A+2E)(ATE)7(A+2 E)(A + 2E 尸=+(3EA)

28、4亀因为» |=丄7人巴所以|川1(24)7肿胡"-5刊胡"今"I17.设矩阵A可逆.证明其伴舖阵A也可逆.M(A)W证明 A_，=-!-4*得ZAA 所以为A对逆时.1/11)AgA门Aj二內“闻从而A也可逆.因为AJ/A" r.所以(A尸习 AA.女人=右(店)*=M|(店产叩(A广勻A广AWAlIAi(A)yA)18.设n阶矩阵A的伴鬪矩阵为M.证明:捋AJR.則ZR;(2)lAgAr证叨“)用反证法证明.假设妙加rs尸 由此得A=AA"AJ、AIE(A) 'q.所以Nd 这与lAjm孑轩故TlAinff/. WE(A-

29、E)B 上AA)(A 丸).p 0 一g-AIETI()l ()=llHod冬岀瀬交 一 o q(2 0 二BHA + EH 0 3 0 U 0 2j2】漆A=d.0ga-2rbdA=28b-SE汨B妥 _=ABA=2BAJ0E$(Ar2m)8A2r82Al2m£2>>r2E)>->> 館一 A3 遷一 A-JLA1【 工一 A3亘1)&一七一& sslimi19总ahb?5-28海8燮 EAB=A+2E=JAEBg 洽BAAI2E?I 一 I 22丄3一 0 323IIr、一丄OAII厂>一 O 0 2 0一 o 、/»

30、p>p殳2SAEAPME 先 nAHP>=p23広PAP£半PH3 0 0000IIzXO 6 O 63 O 6 O0 6 0 0丄O O O2mA 二 2_>T2Al. 2I2T2A 二H4d2-g(+l +)22nJ夸令豪題A A*=UABArA*3m洱8 寒&一七7>_3 丛.迪 A心.MAEH3E 苹>si> B 仏(A 人二 A=3>E£A二 0 0 00-00一 0 一 0o3 0OOJ25总令豪A 專汨话滋爭sZE0 也°L&f 从 f m-p =A也B 一肚川宁日底并琴S淄芷MF A二A色B

31、 -三电，芸匕由三曉.0 r 8J-£AWA违 8、4fA 石二 A Z厂丄o、> II厂5 、一、丄*a、llr<GE-6/1 丈 7&6-gflA=d6-g?5uJ &ag(G6so) &ag(l u 25=do-gFlq)diag(1200T12d-ag(lQ0)AAEgp -却P1HoO 2一 ：o oIo：o oIIO 2一 o II 4一 A二8一| 一 ni一 一Iro,_A- _B_ _c 二D_27总ah工5)X亨X总ts尝9aHO O O 0 0 20 2 0ahbhichdh二0(0 二送用擀 M>= 4 -3IA8HI

32、IA?H4IPKF=10,6.29.设n阶处阵A友s阶矩阵B朋'，炮求2 0)b 20 BA o)(GGCAcj3由北得A A BBC产EC4=O G=o C.=EflAsC4=OG=o a = BW o E5E“o zfn一一以(0'H'0 /-B'0丿OB)*0丫 B丿'=(D、q2 0)擀 M>= 4 -3IA8HIIA?H4IPKF=10,6.29.设n阶处阵A友s阶矩阵B朋'，炮求b 20 BA o)(GGCAcj3由北得A A BBC产EC4=O G=o C.=EflAsC4=OG=o a = BW o E5E“o zfn一一以

33、(0'H'0 /-B'0丿OB)*0丫 B丿'=(D、qZ、0 0 2 55 OC O O2 3 0 0 jII "03AII丄III0 0 2 一00 3 O O j 丿D-匚占 匚0 oDJI + BD CD2 + BDJI6 0 D 一 £DpOCDWDqo u yuljn>.rCD7 + BD4HE -Dip0 0 2 50 1-21-65、 丿o o o I- 4o o H - 31- 22411-/T21-21-8、第三草矩阵的初等变换与线性方程组1.把卜列短阵化为行最简形知阵:r132(33534<2 31 -3 -

34、7、120-2-4(4)3-2830<2 -3 7 43 丿-4 3 -4 I-2 0-2 一10 2(0 2 -3 1、2 0 31;(2)0 3-43（3 0 4 一3丿Io 4 -7 -1XZ10 2 -P5+(-2)斤，1 0 2 -P中（T）10 2 -rL2<102 -r2 0 310 0-130 0 1-30 0 1-3V 0 4 -3丿+(-3比J) 0 2 0 丿卄2)k0 0 1 0 ；k0 0 0 3 ;解<102 -rr2+3/：1r 0 2 -I'r,+(-2)r2n o o o'0 0 1-30 0 l 00 0 I 0lO 0 0

35、1 ?k0 0 0 l 丿,()0 0 1J"0 2-31、/*2><2+( - 3)斤P 2 -31，0 2 0 10、斤+21 0 5、0 3-430 0130 0 30 0 13,0 4 -7 -1 丿5+(-2)斤、0 0 -1 -3丿r +32Ko 0 0 0 丿、0 0 0 0,Z1 -13 -32 -2 3-3巧-3人/-13-43、厂2+(7)<1-13一43、00-488001-22D-2斤00-36-66+(-3)001-2200_510-10,1001_22>口-3人/G +(-5)X3 -4 3 '5 -4 13-2 04 -2

36、 -i;斤-37*2<1-102-3、001-22L2()00000000 )L2(2-I-2-412'UJ)P0012-10-1-2、-1r2+r30012-100-2、3000140001400000;0000丿rir2r?x(-1)10、023、2.设100010=456求A.00100789,/10I123、10r52、解：A=100456010122018、001J82,3.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵:(30_ 1、2110(T<3211 0032022(1)3150100-14-1 100-1()11-2230002-1 01J002-101K/解f72丄72丄3 0 02210 0630-1011-201 0-1-120