线性代数补充习题解重点

1、与书p137习6及练习八、（4）相似题.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。4解：由四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,知对应齐次线性方程组的基础解系只有34一个解向量。由119页及129页性质知2 1-（ 2+3）=（ 1- 2）+（ 1- 3）=是对5应齐次线性方程组的一个解，由于其不等于0，于是它是一个基础解系，因此原非齐次线性2131，其中k为任意实数。方程组的通解为书p138习10设*是非齐次线性方程组 Ax=b的一个解，1，2/ , n是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:证明：（1 ）由*是非齐次线性方程组Ax

2、=b的一个解，1，n+是对应的齐次线（1） *，1， 2，z 线性无关；（2）*，*+，*+ n-r 线性无关。书本p59习10设a1,a2,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量 e ,e2r en能由它们线性表示，证明印耳，,an线性无关。证明：由于 任意n维向量均可由单位 坐标向量ei ,e2,en线性表示，所以向量组 aa2,an能由ee?,e.线性表示，又由题中条件 e-e?,e.能由aa2,an线性表示，于是ai,a2, ,an与eg, e.等价，因此它们的秩相等，又向量组的是a1,a2 ,an线性无关。秩为n，所以向量组aa2,，an的秩也为n,于性方程组的一个基础解系，于是有

3、 A *=b, A 0。设存在一组数k, k1 , k2,匕使 k + k1+ o o o + k n-r n-r=0,两边同时左乘 A,则有 kA + k11 + o o o + k n-r A n -r=0,即k A =kb=0 ,由 b = 0 知 k=0，于是 k1 广。+ kn-r n-r=0，由 1,2,，n_r线性无关知1= 2二二n丄=0,即* ,1 ,2/ , n_r线性无关；（2）设存在一组数 k , k1 , k2,kn使*+（口 *+ ） + ooo +kn-r （口 *+n-r）=0,即（k+匕 + k2 + kn 丄）+ k1 + ooo + kn-r -n-r =

4、0,两边同时左乘 A，则有（k+ & + k2 kn-r） A *+ k1 A +ooo + kn-rA n-r=0,可知 k+ k1 + k2 川川kn_r =0, 于是ki i + o oo + kn-r n-r =0 ,由1 ,2,，n线性无关知 1 = 2 =-n=0 ,从而k=0，于是 ， +冷，。oo, + =n-r线性无关。书p175习16 （3） 证明：由二次型性质，知存在正交矩阵p,正交变换x=py把人I二次型化为 f =xTAx =yT（PAP） y=yT 匕y = hy+nyn ,其中，人n j1, , n为A的特征值。由|x = 1，知I|y|=1，即y, yn2=1，

5、因此f的最大值为矩阵A的最大特征值。补充题1证明R（A）=1的充分必要条件是存在非零列向量:-及非零行向量bT ,使A=bT .证明：必要性：设A是m n矩阵，由R（A）=1,则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使vIf斗A= P0I-(1 0 0 反 Q,令0 =p400jmX0j及 bT= 1001 n Q,则100_0a03+030*卫00 一m610。1 n,则有PAQ=和b分别为非零列向量和非零行向量勺、a?tt充分性:设口 =:和b =(db2bn分别是非零列向量及非零行向量，由A=a b及补充性质 R (AB )_ minR(A),R(B),知aibita? biR(A)兰1,又 A

6、= 0( b =am bia-|b2a2 b2aamb?aibna2bn:,aibj不可能全为零，于是am bnR(A)=1.2设 bi= aia2,b2= a2a3,= a3 a ,b4= a a，证明向量组 b,b2,b3,线性相关。证明：由于bdb2I0b3b4于4,因此向量组3.设b = a, b2i 01 10 i0 0a2a3且矩阵bi,b2,b3,b4的秩也小于 ai a2 , br二 a1bi,b2/ ,br线性无关。证明向量组关。01 ai I0a2I010的行列式等于4，于是 bi ,b2,b3,b4线性相关。a20，于是其秩小 ar，且向量组 a,a2,，a线性无关,01

7、0可逆及补充性质知 b,b2,br线性无4.设 ai,a2,an是组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一 n维向量均可由它们线性表示。证明：必要性：若 a1,a2/ ,an线性无关，则对于任一 n维向量a，向量组a1,a2,an，a线性相关(p50页推论)，于是a可由a1,a2/ ,an线性表示；充分性：若任一 n维向量均可由ai,a2,，a.线性表示，则单位向量组 6,色命能由它们线性表示，又 ai耳，,an能由e g, en线性表示，于是 ai耳，,an与e , en等 价，它们的秩相等，所以 a1,a2 ,an线性无关.5设向量组 印忌,，am线性相关，且印=0,证明存在某个

8、向量 ak（2乞km），使ak能由 印月2,ak-i线性表示。证明：反证法。假设对于任意向量 ak （2_k _m）， ak都不能由ai,a2,ak-i线性表示。 即a2不能由a1线性表示，亦即方程 a2 = x1 a1无解，由 印=0,知R（ a1）=1，于是必有R（ ai , a2 ）=2,即ai， a?线性无关；同理，a3不能由a， a?线性表示，亦即方程 a3 = xi ai + X2a2无解，由 R（aa2）=2,知 R（ &，a?， a3）=3，依此类推，知 am不能由 aa2,am-i线性表示，则有 R（ aa2,am）=m，即aa2,am线性无关，与已知 它们线性相关矛盾，于是

9、假设错误，即必存在某个向量ak （ 2 _ k _ m），使ak能由aid,ak-i线性表示。6.设向量组 b： bi ,b2 / br能由向量组A: ai,a2 / , as线性表示为bib, br)=（ai,a2/ ,as）K，其中 K 为s r矩阵,且A组线性无关，证明 B组线性无关的充分必要条件是矩阵证明：设K=K 的秩 R(K)=r.kiik 2iki2k 22kirk2r，由（bi,b2/ br)=( ai,a2/ ,a$)K 则有k sik s2k srb i = k iiai b 2 = k i2aik202ksiask22a2ks2as，设有一组数 、宀,r，使b r k i

10、raik2a2ksras(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +ibi + 2b2 川川br=0，即i (kiiaik2ia ksias) +2 (ki2ai+ k?2a2 +ks2as)+。+(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +r(kiraik2raksras)=0，整理得(ikii 2ki2rkijai(ik2i*入 2k22 +*-rk2r)a2 +(%寸$2 川泪：rksr)as =0由ai ,a2, as线性无关得I人i ksi * r ksrB组线性无关的充要

11、条件是该方程组只有零解，ki2k 22而该方程组只有零解的充分必要条件是系数矩阵K=kiik 2ik ir I k 2r的秩R（ K）=r。ksiks2k sr7已知3阶矩阵a与3维列向量x满足A3x = 3Ax - A 2x，且向量组x, Ax, A2x线性无关。（1 ）记 P=（ x. Ax，A2x ），求 3 阶矩阵 B,使 AP=PB ；（ 2 ）求 A。322解：由a x=3Ax-A x有 a ( A x +Ax-3x ) =0,假设 A式0,贝U A可逆，于是有A =0。A 2x+Ax-3x=0，与条件x, Ax， A 2x线性无关 矛盾，假设错误，即有(x. Ax，A2xa2i-

12、a3ia22a32a23a33=A(x. Ax , A2x ),由 A3x=3Ax-A2x 有(x. Ax，A2xaiia2i.a3iai2a22a32ai3 I/A 2典 3、a23 = (Ax , A x , A x )=a3323(Ax， A2x ,3Ax- A2x ),由矩阵乘法及x, Ax，A 2x线性无关可知aiiai2ai38设矩阵A= ( ai ， a2，a3，a4a2ia3ia 22a32），其中a2a23a33a3，0i0013_ia4线性无关,3i =2 a? -，向量b= ai + a? + a + a4,求万Ax=b的通解。解：由a?, a3, a4线性无关，ai =

13、2 a? - 知 r（A） =3，于是方程组Ax=0的基础解系只由向量组x,Ax , A2x线性无关知P可逆，再由AP=PB知B= PAP，贝y B唯一。设-aiiai2ai3aiiai2ai3B=a2ia22a23，则Pa2ia22a23=ap ,即a3ia32a33 _la3ia32a33 _ai2ai3I 1-2I 1I 01-2I 111是Ax=o的基础解系。又由 b= a-i + a2 + a3 + a4,即(a-, a2, a3, a)111丄=b,11-2是Ax=b的一个特解，于是该方程组的通解为+k1111 一1 111 10 一llI 1知,k为任意实数。有一个解向量。又由

14、a1 =2 a2 - a3 有 a1 -2 a2 + a3 +0 a4 =0，即(a1，a2，a3，a4)9.设X为n维列向量，xTx =1，令H=E-2 XXT,证明H是对称的正交阵。证明：Ht =(E -2xxt)t = Et -(2xxt)t 二 E-2xxT = H，因此 h 是对称阵。HH T = (E -2xxt)(E -2xxt) =E- 4xxT +4 xxTxxT,由 xTx =1 , 则HH t=E- 4xxT +4xxT =E，因此 H 为正交阵。10设A为正交阵，且 A = -1,证明=-1是A的特征值。证明：由A为正交阵，有A，=AT，又A二-1,则A + E| =|a(E +A)=|A E +A-* = E + A* = (E + A)T = E + A,于是有A + E，= 0 ,即九=-1是A的特征值。11.设 = 0是m阶矩阵Am nBn m的特征值，证明也是n阶矩阵BA的特征值。证明：由=0是m阶矩阵Am nBnm的特征值，设p是它对应的特征向量，则ABp= p,等式两端都左乘 B,有BABp= Bp，由7- 0 , p是特征向量也不等于 0,于是 Bp =0,且是一列向量，即知也是n阶矩阵BA的特征值，Bp是它对应的特征向量。12.设3阶矩阵a的特征值为 =2, 2 -2, 3 = 1 ；对应的